ĐẠI H Ọ C V I N H THƯ VIÊN 512 207 Ì LE H/98 )T 004406 iìtrủ SÁCH TRƯỜNG ĐHSP VINH Lê Quốc Hán LY I HU YET NHOIME (Dùng cho sinh viên ngành Toán học) TỦ SÁCH TRƯỜNG ĐHSP VINH Lê Quốc Hán LÝ THUYẾT NHÓ[.]
ĐẠI H Ọ C VINH THƯ VIÊN 512.207 Ì LE-H/98 )T.004406 iìtrủ SÁCH TRƯỜNG ĐHSP VINH Lê Quốc Hán L Y I H U Y E T NHOIME (Dùng cho sinh viên ngành Toán học) TỦ SÁCH TRƯỜNG ĐHSP VINH Lê Quốc Hán LÝ THUYẾT NHÓM (Dùng cho sinh viên ngành Toán học) - Vinh 1998 - MỤC L Ụ C Trang LỜI NĨI ĐẦU Chương ì Cơ SỞ LÝ THUYẾT NHĨM § Ì Định nghĩa nhóm - Bài tập Bài tập 15 §3 Đồng cấu nhóm thương Chương l i MỘT SỐ LỚP NHĨM QUAN TRỌNG §1 Nhóm hữu hạn Bài tập _ §2 Nhóm Nhóm chuẩn tắc 16 23 23 26 len Bài tập §3 Nhóm lũy linh Bài tập §4 Nhóm giải đư c 27 39 40 44 44 Bài tập 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 LỊI NĨI Đ Ầ U X ý thuyết nhóm lý thuyết quan trọng toán học đ i Sinh viên khoa Toán - Tin làm quen với lý thuyết chương trình đại số cao cấp năm đầu giai đoạn l i Giáo trình nhằm trình bày cách có hệ thống sở lý thuyết nhóm, nhằm giúp học sinh nắm kiến thức lý thuyết nhóm, tồ tiếp tục nghiên cứu vấn đề sâu sắc lý thuyết n h ó m lý thuyết khác tốn học đ i có liên quan Giáo trình gồm hai chương: Chương ì trình bày khái niệm lý thuyết nhóm Sinh viên đọc qua phần biết trình học đ i số cao cấp, dồng lại khái niêm nhận Chương l i dành cho việc trình bày lớp nhóm quan trọng nhất: nhóm Aben, nhóm hữu hạn, nhóm giải được, nhóm lũy linh Tuy nhiên, số d a i i chế, dồng lại việc trình bày khái niệm tính chất nhóm Những sinh viên muốn hiểu sáu vấn đề ấy, xem tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [7] Chúng tỏ lời cảm ơn PGS.PTS Nguyễn Quốc Thi PTS Ngơ Sĩ Tùng góp nhiều ỳ kiến đ ề cương nội dung cần thiết giáo trình nhiều lần trao đ ổ i Chúng xin chân thành cảm ơn thầy bạn đồng nghiệp tổ Đ i số trường Đ H S P Vĩnh góp nhiều ý kiến q báu động viên chúng tơi hồn thành giáo trình Cuối cùng, giáo trình viết chác chấn khơng thể tránh thiếu sót, chúng tơi mong nhận góp ý phê bình bạn đọc Vinh, ngày Ì tháng 10 năm 1997 T c giả Chương I Cơ SỎ LÝTBDỮYỂr NHÓM C h n g trình bày khái niệm lý thuyết nhóm Đ ể giáo trình khói q dài, chúng tơi bỏ qua chứng minh đơn gián mà độc giả biết giáo trình đ i số đ i cương §1 ĐỊNH NGHĨA iNHĨM H ệ tiên đẽ G i ả sử G tập hợp trang bị phép tốn hai ngơi mà ta kí hiệu theo l ố i nhân Phần tử e G g ọ i phàn [ử đơn vị, xe = ex = X với X thuộc G Phần tử đơn vị (nếu có ), nhừt Giá sử x e G Khi đó, phần tử x'e G gọi phần tử nghịch đảo X, xx' = XX = e Phần tử nghịch đảo X, có , nhừt, ký hiệu X \ Trong trường hợp này, ta nói phần từ X khả nghịch Ta đưa hai định nghĩa n h ó m Phép chứng minh tương đương hai định nghĩa xem tron"! [4Ị h Định n « ' Tập hợp G với phép tốn hai ngơi gọi nhom, nêu i) Phép tốn c ó tính chừt kết hợp, nghĩa (ab)c = a(bc), với a, b, c thuộc G li) Phép tốn có phần tử đơn vị * iiĩ) M ọ i phần tử G khả nghịch Định nghĩa Tập hợp G v i phép tốn hai ngơi gọi nhóm, nếu: ĩ i) Phép tốn có tính chừt kết họp li) Với m ọ i phần tử a b thuộc G, phương trình ax = b xa = b có nghiệm G Đang cấu Hai nhóm G G' gọi đẳng cấu, tồn ánh xạ một-một (p từ G lên G' bảo tồn p h é p tốn c h ú n g , nghĩa (p(ab) = (p(a).cp(b) với a, b thuộc G Ta dùng kí hiệu G = G' đẽ hai nhóm G G' đẳng cừu với Lý thuyết nhóm nghiên cứu nhóm với sai khác đẳng cấu Chẳng hạn, G nhóm nhân số thực dương G' nhóm cộng số thực, ánh xạ ọ : G -> xác định hộ thức (p(a) = lga đẳng cấu từ G lên G\ Như vậy, G G' có cấu trúc nhóm Do đó, nghiên cứu hai lớp nhóm đó, biết tính chất nhóm lớp nhóm Cấp nhóm Cấp phần tử Từ tính chất kết hặp nhóm, ta suy tích aia a khơng phụ a thuộc vào bố trí dấu ngoặc để thực tích Tích n phần cử bàng a đưặc gọi lũy thừa bậc n a đưặc kí hiệu a Dễ chứng n minh m, n số nguyên tùy ý a phần tử G, m +n m n 1 n n a a" = a'" , (a ) = a™, (a" )- = a", a = (a ) với qui ước a° = e Có thể xẩy trường hặp a m = e với m số nguyên khác khơng Khi đó, số ngun dương nhỏ n thỏa mãn điều kiện a" = e đưặc gọi cấp hay chu kỳ phần tử a, đưặc ký hiệu ! a I Nếu a" * e với số ngun dương n, ta nói phần tử a có cấp vơ hạn lạm dụng cách viết X3 ; Nhóm G đưặc gọi nhóm xoắn hay nhóm tn hồn, phần tử G có cấp hữu hạn Nếu cấp tất phần tử G đưặc giới hạn tập hặp hữu hạn, bội chung nhỏ cấp đưặc gọi chu kỷ nhóm Giả sử p số nguyên tố Nhóm tuần hồn mà cấp phần tử thuộc nhóm lũy thừa p đưặc gọi p-nhốm Lực lưặng I G I nhóm G đưặc gọi cấp nhóm Nếu lực lưặng hữu hạn G đưặc gọi nhóm hữu hạn Trong trường hặp ngưặc lại, G đưặc gọi nhóm vơ hạn Tích trực tiếp G nhóm Dễ kiểm tra đưặc rằng, tích đề Giả sử Gi, Gọ, n G = Gi x G ọ x X G với phép toán đưặc xác định hệ thức n ( ị ? , UT-, Voi' o2.t ư„) ••••> ( ợ \ on/*vo ơ'o lì ỊS li ' \ ••••> = /ơ,ơ', on/ Otữt V o l © Ì' ì ẳ i ỗ thành mót 2r,í?'„ì lầD ố n õ ti/ " r F u l o u u *U-Y«- nhóm Nó đưặc gọi tích đề nhóm Gi , i = 1,2, ,n nhóm Gi, i = Ì , 2, ,n đưặc gọi nhân tử Ta mở rộng khái niêm Giả sử { G a i a í} họ nhóm số hóa tập hợp ì G họ ánh xạ f: ì -> Ị J G a aeỉ thỏa mãn điều kiện: í'(a)e G a , ae ì Ta đưa vào G phép toán (f,g) M> fg xác định thức (fg)(a) = f(a).g(a), Vae ì Khi G trờ thành nhóm gọi lích đề ho nhóm { G a I (xe 1} ký hiệu f ] a G Giá trị ánh xạ f điữm a gọi phép chiếu phần tử f lên tập hợp G Tập hợp sup(f) = { a i f(a) * e} gọi giá ánh xạ f Rõ ràng tập hợp ánh xạ với giá hữu hạn tích đề nhóm G a lập thành nhóm với phép nhân ánh xạ Nó gọi tích trực tiếp nhóm G a ký hiệu Ị~Ị G a Nếu tập số ì hĩai hạn tích đề tích trúc tiếp họ nhóm { G a ì ae 1} trùng Sơ ììiơc ' ; nhóm Aben Nhom G dược gọi nhóm Aben hay nhóm giao hốn, phép lồn G giao hốn, nghĩa ab = ba với a, b thuộc G Khi đó, phép tốn G thường ký hiệu theo lối cộng Phần tử đem vị gọi phần tử không ký hiệu Phần tử nghịch đảo cựa a gọi phần tử đối a ký hiệu - a Tích trực tiếp họ hữu hạn nhóm G i , G ọ , G gọi tổng trực n tiếp nhóm kí hiệu GieG e G n Nếu tập số ì vơ hạn ta dùng kí hiệu: ] G a ] T G a đ ể aẩ ad tích đề tổng trực tiếp họ nhóm { G a ì oee í } Các ví dụ (1) Tập họp tất phần tử vành K, xét với phép cộng, nhóm Aben Nó gọi nhóm cộng tính vành K Chúng ta ký hiệu nhóm K Nói riêng, ta có nhóưi cộng số phức c, nhóm cộng số thực R, nhóm cộng số hữu ty ... Quốc Hán LÝ THUYẾT NHĨM (Dùng cho sinh viên ngành Tốn học) - Vinh 19 98 - MỤC L Ụ C Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương ì Cơ SỞ LÝ THUYẾT NHĨM § Ì Định nghĩa nhóm - Bài tập Bài tập 15 §3 Đồng cấu nhóm thương... nhóm lý thuyết quan trọng toán học đ i Sinh viên khoa Toán - Tin làm quen với lý thuyết chương trình đại số cao cấp năm đầu giai đoạn l i Giáo trình nhằm trình bày cách có hệ thống sở lý thuyết. .. thuyết nhóm, nhằm giúp học sinh nắm kiến thức lý thuyết nhóm, tồ tiếp tục nghiên cứu vấn đề sâu sắc lý thuyết n h ó m lý thuyết khác toán học đ i có liên quan Giáo trình gồm hai chương: Chương ì trình