GT lý thuyết nhóm (phần 1)

B ộ G I Á O DỤC VÀ Đ À O TẠO Đ Ạ I H Ọ C THÁI N G U Y Ê N L Ê T H Ị T H A N H N H À N (chủ biên) VŨ M Ạ N H XUÂN G I A O T R I N H LÝ THUYẾT NHÓM (DÙNG CHO SINH VIÊN N G À N H T O Á N HỌC) NHÀ XUẤT B Ả N ĐẠI HỌC Q u ố c GIA HÀ N Ộ I SÁCH ĐƯỢC XUẤT BẢN BỞI s ự TÀI TRỢ CỦA D ự ÁN GIÁO DỤC ĐẠI HỌC MỤC LỤC Trang L i nói đ ầ u Chương V ì: N h ó m v n h ó m L I Định nghĩa nhóm ví dụ Ì 1.2 Một số tính chất 1.3 Nhóm 15 1.4 Nhóm nhóm xyclic 19 Chương 2: L p g h é p , đ n g c â u n h ó m 2.1 Lớp ghép, Định lý Lagrange 25 2.2 Nhóm chuẩn tắc, nhóm thương 30 2.3 Đồng cấu nhóm 34 2.4 Các định lý đồng cấu nhóm 39 Chương 3: T c đ ộ n g n h ó m lên t ậ p hợp 3.1 Nhóm đối xứng 45 3.2 G tập 53 3.3 Công thức lớp 56 3.4 Một ứng dụng vào tổ hợp 62 Chương 4: N h ó m h ữ u h n , Đ ị n h lý Sylow 4.1 p - nhóm 73 iii 4.2 Định lý Sylovv 80 4.3 Một số ứng dụng cùa Định lý Sylow 83 Chương 5: C h u ỗ i hợp t h n h , n h ó m giúi 5.1 Chuỗi hơp thành 87 5.2 Nhóm giải 94 Chương 6: N h ó m t ự do, p h â n tích t h n h t ổ n g t r ự c t i ế p 6.1 Nhóm tự loi 6.2 Biểu diễn nhóm bàng hệ sinh quan hệ 105 6.3 Phân tích nhóm thành tổng trực tiếp 113 Chương 7: N h ó m A b e l 7.1 Nhóm Abel tự 121 7.2 Nhóm Abel hữu hạn - Định lý sở 130 7.3 Nhóm Abel hữu hạn sinh 133 Tài liệu tham k h o 143 iv L Ờ I N Ó I Đ Â U M ụ c đích g i o trình cung cấp k i ế n thức n h ó m để phục vụ c n g tác giảng dạy học tập m ô n " L ý thuyết n h ó m " bậc đ i học G i o trình g m c h n g Chương Ì C h n g trình bày k i ế n thức sờ n h ó m , n h ó m con, lớp g h é p cáu n h ó m C h n g quan tâm đ ế n số kết mang tính kĩ thuật n h ó m tác động n h ó m lên tập hợp ứng dụng toán tổ hợp C h n g trình bày n h ó m hữu han Định lý Sylo\v ứng dụng toán p h â n loại n h ó m Chương viết chuỗi hợp thành n h ó m g i ả i được, m ộ t l o i n h ó m liên quan chặt chẽ với tính giải thức đa thức Chương quan tâm đ ế n n h ó m tự do, ứng dụng n h ó m tự toán biểu d i ễ n n h ó m b n g hệ sinh quan hệ toán p h â n tích n h ó m thành tổng trực tiếp Chương c u ố i trình bày c c vấn đề n h ó m A b e l Bạn đọc c ó t h ể tự học m n " L ý thuyết n h ó m " với giáo trình này, nêu trang bị số k i ế n thức sơ lược tập hợp, quan hệ, ánh xạ, số phức k h ô n g gian véc tơ N ế u học " Đ i số đ i c n g " c h n g trình đ i học có thê bỏ qua c h n g Ì để tiếp cận thẳng c c c h n g sau Đ ể n g i đọc dễ theo d õ i , suốt giáo trình, c c k h i n i ệ m kết đ ề u d i ễ n g i ả i chi tiết, có ví dụ m i n h hoa; c ụ m từ " h i ể n nhiên ta c ó " tránh d ù n g chứng m i n h ; phần tập thiết k ế sau vài mục nhỏ c h n g Trong toàn g i o trình, c c n h ó m kí hiệu G, H, Kị V đồng cấu n h ó m thường kí h i ệ u f , g , h, k ; lác đ ộ n g phần tử X n h ó m G lên phần tử s tập hợp s t h n g kí h i ệ u xs hay X • s; tập c c số tự n h i ê n , tập c c số n g u y ê n , tập c c số hữu tỷ, tập số thực tập c c số phức l ầ n lượt k í h i ệ u b i N , z , Q, R c Tài l i ệ u tham khảo c h í n h sử dụng g i o trình n y sách " G i i thiệu lý thuyết n h ó m " c ù a Joseph J Rotman [7] " Đ i số h i ệ n đ i " N g u y ễ n T ự C n g [ ] Ngồi ra, giáo trình n y viết sở tham k h ả o m ộ t số c u ố n s c h v ề Đ i số Bùi H u y H i ề n - Phan D o ã n T h o i [ ] , N g u y ễ n H ữ u V i ệ t H n g [3], M Aschbacher [ ] , s Lang [ ] , N g ô T h ú c L a n h [ ] Trong n h i ề u k i ế n thức lý thuyết n h ó m , đ ể c h ọ n n ộ i dung cần thiết v i ế t k h u ô n k h ổ m ộ t g i o trình n h ỏ p h ù hợp v i chương trình đ o tạo bậc đ i học k h ó k h ă n C c t c g i ả mong muốn nhận nhận xét, g ó p ý c c đ ổ n g n g h i ệ p , c c sinh viên đọc g i ả đ ể s c h h o n t h i ệ n h n Các tác g i ả x i n c h â n t h n h c ả m ơn Ban Đ o tạo Đ i học Thái N g u y ê n D ự n T R I G Đ i học T h i N g u y ê n thuộc D ự n G i o dục Đ i học h ỗ trợ k i n h p h í n h c c t h ủ tục thuận l ợ i đ ể giáo trình xuất Các tác giả vi C h n g N 1.1 h ó Ì m Định v n h ó m c o n nghĩa n h ó m v ví d ụ Để tiện theo dõi, trước định nghĩa nhóm, nhắc lại số khái n i ệ m liên quan đ ế n p h é p toán m ộ t tập hợp 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp Một phép tốn (hai ngơi) X m ộ t n h x từ X X X đ ế n X Nếu T phép tốn X thìảnh phần tử (o, b) € X X X qua T k í h i ệ u aTb Ta k í h i ệ u ảnh (a, b) ab n ế u p h é p tốn k í h i ệ u theo l ố i n h â n ã + b n ế u p h é p tốn k í h i ệ u theo l ố i cộng R õ r n g p h é p cộng t h ô n g thường p h é p toán N p h é p toán z P h é p trừ t h ô n g thường p h é p t o n z n h n g k h ô n g p h é p t o n N 1.1.2 Định nghĩa Cho X tập hợp có trang bị phép tốn T Tập Ả X g ọ i ổn định Ì ( v i p h é p toán X ) n ế u aTb e Ả với m ọ i a, b e Á K h i đ ó ta nói p h é p toán X cảm sinh p h é p toán Á Dễ thây tập s = {1,-1} phậnỔn định z với phép nhân thông thường, tập N phận ổ n định z với p h é p c ộ n g , n h n g k h ô n g ổ n định với p h é p trừ 1.1.3 Định nghĩa Cho X tập hợp T phép tốn X Ta nói T có tính chất kết hợp aT(bTc) = (aTb)Tc với m ọ i X P h é p toán T £/ứo /íoớ/í aTỎ = ỊTa với m ọ i ab toán Tphân phối với p h é p toán * X a r ( ò * c ) = (ỏ * c ) a = (6Ta) * ( c T a ) v i m ọ i a,6,c e a,h,c£ e X Phép {aTb)*(aTc) X Trên tập số z,ọ, R, phép cộng phép nhân thơng thường có tính chất kết hợp, giao h o n , p h é p n h â n p h â n p h ố i v i p h é p c ộ n g Tuy nhiên p h é p trừ p h é p chia k h ô n g c ó tính chất giao h o n , c ũ n g k h ô n g có tính chất kết hợp 1.1.4 Định nghĩa Cho X tập hợp với phép toán T Phần tử e € X g ọ i trung hoa trái cTa tự ta c ó khái n i ệ m trung hoa phải e g ọ i phần tử trung hoa = a với m ọ i ũ e X Tương N ế u e trung hoa hai p h í a G i ả sử X V i a, € X , ta nói ị p/ỉâV? rơ ngược T n g tự ta c ó khái n i ệ m phấn tử ngược phải c ó phần tử trung hoa trái a n ế u bTa e = e N ế u b p h ầ n tử n g ợ c hai phía ta nói b lã phần tử ngược a Phần tử a G X g ọ i quy phải x T a = y T a k é o theo X = y v i m ọ i X y e T n g tự ta c ó khái n i ệ m phần tử quy trái phía ta nói a quy X N ế u a c h í n h quy hai K h i ã c h í n h quy ta c ũ n g n ó i giản ước thực a Ta g ọ i phần tử trung hoa luật phần tử đơn vị p h é p tốn kí h i ệ u theo l ố i nhân, g ọ i phần tử không p h é p tốn kí hiệu theo l ố i cộng N ế u p h é p tốn k í hiệu theo l ố i nhân, phần tử ngược a g ọ i nghịch hiệu a~ l đảo a, kí K h i a c ó nghịch đảo, ta nói a khư nghịch Nếu phép tốn kí h i ệ u theo l ố i cộng, phần tử ngược a g ọ i đối xitng a, kí h i ệ u —a Dễ thấy phần tử trung hoa À' phép toán T (nếu có) nhất, n ế u e, é hai phần từ trung hoa e = cTe' = é Chú ý T c ó tính chất kết hợp phần tử ngược a (nếu có) nhất, b i n ế u b, V hai phần tử ngược a b = bTe = bT(aTƯ) = (bTa)TƯ = eTƯ = tí 1.1.5 Định nghĩa Phỏng nhóm tập hợp có trang bị p h é p tốn Nửa nhóm m ộ t n h ó m cho p h é p tốn c ó tính chất kết hợp Vị nhóm m ộ t nửa n h ó m c ó phần tử trung hoa Cho X ^ tập hợp K í hiệu r tập c c n h xạ từ X đ ế n X V i p h é p hợp t h n h c c n h xạ, n h xạ đồng Ì X đ ó n g vai trò phần tử đ e n vị r , phần tử / G r k h ả nghịch k h i k h i / song n h Vì p h é p hợp thành c c n h x c ó tính chất k ế t hợp n ê n r m ộ t vị n h ó m T v ề sau, n ế u k h ô n g nói rõ t h ê m , ta quy ước p h é p tốn kí hiệu theo l ố i n h â n 1.1.6 Đ ị n h nghĩa Nhóm m ộ t vị n h ó m m m ọ i phần tử đ ề u k h ả nghịch N h vậy, m ộ t tập G c ù n g v i m ộ t p h é p toán l m t h n h n h ó m n ó thoa m ã n c c đ i ề u k i ệ n (i) P h é p toán c ó tính kết hợp: a(bc) = (ab)c, Va, 6, c € (li) G c ó đơn vị: Be e G cho ex = xe = X, Vx e ( i i i ) M ọ i phần tử G đ ề u k h ả nghịch: x~ l £ G cho xx~ l = X~ X G G Với X e G, tồn — e Một nhóm G gọi nhổm ụao hốn (hay nhóm Abel) p h é p tốn giao h o n N ế u G c ó hữu hạn phần tử số p h ầ n tử G g ọ i cấp G N ế u G c ó vơ hạn phần tử ta nói G có cấp vơ hạn Trong phần c ị n l i mục này, c h ú n g ta đ a m ộ t số ví d ụ nhóm 1.1.7 Ví dụ Các tập hợp Z,Q, E,c với phép cộng thơng thường n h ó m giao h o n cấp v ô hạn T ậ p hợp Q* c c số hữu tỷ k h c (tập R* số thực k h c 0, tập c* c c số phức k h c 0) v i p h é p n h â n thông thường n h ó m giao h o n cấp v hạn 1.1.8 Ví dụ Cho X tập hợp khác rỗng Một phép í hể X hay ììốn vị tập X m ộ t song n h từ X S ( X ) tập c c p h é p t h ế X đến X Kí hiệu K h i đ ó S ( X ) c ù n g v i p h é p hợp t h n h n h xạ m ộ t n h ó m v i đ n vị n h xạ đ ổ n g l ỵ nghịch đảo phần tử / € S ( X ) n h xạ ngược / S ( X ) g ọ i nhóm X Khi X đối xíùĩg X hay nhóm _ / N h ó m phép c ó n phần tử S ( X ) kí h i ệ u S C c p h ầ n tử n s„ c ó thể đồng v i c c song n h từ tập { , , , n} c h í n h n ó C h ú ý S n đến c ó cấp nì n h ó m k h n g giao h o n k h i n > N ế u ri k h ô n g lớn, n g i ta thường v i ế t m ỗ i phần tử s e S n c c h liệt kê c c phần tử X E { , , , n } c c giá trị t n g {xHx- I X G}, tập c c n h ó m liên hợp v i H: n h ó m đảng hướng H CH = {xeG ị x// = //./•} 3.3.7 Mệnh đề Cho G nhóm s G-tập Các phát biểu sau đáy (ì) Gs Ỷ với s € s di) s = u Gs ses (Hi) Gs = G r /ỉoặc G's n Gr = vớ/ m ọ / s.r e s ctúừig minh (i), (li) Vì s = e.s € Gs nên GsỹẺ: với s € s Vì = ỊJGa (iii) G i ả sử G.s n G r / K h i đ ó t n t i X y e G cho JS = yr Suy s = es = x~ xs = I~ yr l Cho as Gs Ta có as = {ax~ y)r e Gr Do Gs c Gr Tương tự l G r c Gs, t h ế s = G r • Mệnh đề 3.3.7 tập quỹ đạo s phép p h â n hoạch s 3.3.8 Định lý Cho G lù nhóm, s G-tập s e s Ki hiệu G/G tập lớp ghép trái nhóm ứng ỉ : G/G s đẳng hướng G s Khi — > Gs cho f ( x G ) = xs song ánh s thiết thêm s tập hữu hạn Khi số G s số phần tử quỹ đạo Gs Hơn nữa, Gsị 58 , Gs t tươỉìg chinh lả Giả quỹ đạo đôi rời s t t C a r d ( S ) = C a n ! ( u G.s,) 1=1 C a r d ( ) số phần chi sơ cùa nhóm đắng Cìúnig minh x ys = s Do đ ó í/s = _ G i ả sử xG ánh Cho f(.rG ) hướng s G s (*) G 1=1 s ),i = Ì , ,t, E G/G s Khi c G Suy s Vì t h ế / ánh xạ R õ ràng / tồn — f(ụG ) s • sX tử s (G : G — yG s = K h i đ ó xs = ys s Suy ỉ ' " ỉ/ e G D o đ ó rG' = yG s s s Do đ ó (x~ y)s = s l Vì t h ế / đơn ánh Suy / song n h G i ả sử s tập hữu hạn K h i đ ó quỹ đạo Gs tập hữu hạn với m ọ i s s Do / song n h nên (G : G ) = C a r d ( G s ) với m ọ i s € Vì t h ế c n g thức (*) chứng minh • s C n g thức (*) Đ ị n h lý 3.3.8 g ọ i công thức 3.3.9 C h ú ý G i ả sử G n h ó m hữu hạn s G—tập lớp VỚI s G s, theo Định lý 3.3.8, số phần tử quỹ đạo Gs số n h ó m đẳng hướng G , t h ế n ó ước cấp G Sử dụng Định lý 3.3.8, ta c ó c ô n g thức sau 3.3.10 M ệ n h đ ề Nêu H , K nhóm nhóm hữu hạn G ta có dưd(HK) Chứng minh Câĩd(H n K) = C a r d ( t f ) C ard(A') K í h i ệ u s tập c c lớp g h é p trái K G Xét tác đ ộ n g n h ó m H lên tập s p h é p n h â n : h • (aK) — với m ọ i h e H, aK £ s H = {he eK H e s N h ó m đẳng hướng ứng v i eK I heK = K ) = {h e H 59 I I h e K} haK = H n K Card(tf) Vì thê chi sơ n h ó m đắng hướng ứng v i eK ——77777: ISV ° C a r d ( r í r i ri) K í hiệu / / • e K l q u ỹ đ o c ủ a e K K h i đ ó H»eK = {hK ị h € Hị Chú ý hK hK n h'K có C a r d ( A ' ) phần tử hK = H n nữa, y hK = Ỷ h'K v i h, h! e H Vì t h ế số phần tử hen quỹ đ a o H»eKìầ C ™ ( \ Theo Đ i n h lý Card(A) d H K Caxd(HK) 3.3.8 Card(ií) Card(K) Card(if n K) • B A I T Ạ P 86 Cho G nhóm A nhóm G Chứng minh A n h ó m chuẩn tắc A c ó đ ú n g m ộ t n h ó m liên hợp 87 Cho G n h ó m hữu hạn Ả n h ó m G Chứng minh B n h ó m liên hợp v i A A B c ó cấp 88 Cho G n h ó m Chứng minh quy tắc X • a = xa, với X, a G tác động G lên c h í n h n ó Ta g ọ i t c đ ộ n g n y tác động quy hay phép chuyển dịch 89 Cho G n h ó m K í h i ệ u s tập c c tập G Chứng minh quy tắc X • H = xHx~ , với m ọ i X G G m ọ i H € , l tác đ ộ n g G lên Ta g ọ i tác đ ộ n g n y phép c c tập liên hợp G 90 Cho ứ n h ó m Ả n h ó m G K í h i ệ u s tập lớp g h é p trái Ả Chứng m i n h quy tắc x*gA= 60 (xg)A tác đ ộ n g G lên s Ta g ọ i tác động phép nhân ghép trái lớp A G i ả sử G n h ó m s G - t ậ p Chứng minh (a) với m ỗ i X