Bài Giải Lý Thuyết Nhóm

Bài 1. Cho X là tập các số thực nằm trong [0,1]. Trên X xây dựng phép toán (*) sau: a∗b= ab 1ab , ∀ a , b∈ X . Chứng minh rằng (S,*) là vị nhóm giao hoán. Giải :,,, xéttaXcba ∈∀ ( ) ( ) bcacab abccba ab ba ccba +++ +++ + + =∗=∗∗ 11 ( ) ( ) bcacab abccba bc cb acba +++ +++ + + =∗=∗∗ 11 ( ) ( ) .**** cbacba =⇒ aa cótaXa a a == ∈∀ + + 01 0 0* :, abba cótaXba ba ab ab ba ** :,, 11 === ∈∀ + + + + Từ đó ta suy ra (X,*) là vị nhóm giao hoán. (đpcm) Do đó (X,*) có tính kết hợp. 0 là phần tử trung hòa của (X,*) Do đó (X,*) giao hoán. Bài 2. Trong tập NNX ×= , ta định nghĩa một phép toán (*) như sau: (m,n)*(k,l)=(m+k,2 k n+l). Chứng minh rằng: a) (X,*) là vị nhóm. b) Phép toán (*) trong X là chính quy. Giải a) Giả sử (m,n), (k,l) và (p,q) ∈ X. Ta có: [(m,n)*(k,l)]*(p,q) = (m+k,2 k n+l)*(p,q) = (m+k+p,2 p+k n+2 p l+q) (m,n)*[(k,l)*(p,q)] = (m,n)*(k+p,2 p l+q) = (m+k+p,2 p+k n+2 p l+q) Do đó (X,*) có tính kết hợp. ∀ (m,n) ∈ X, ta có: (m,n)*(0,0) = (m+0,2 0 n+0) = (m,n). Do đó (0,0) là phần tử tung hòa của (X,*). Từ trên suy ra (X,*) là một vị nhóm. b) Giả sử (a 1 ,a 2 ), (b 1 ,b 2 ) và (c 1 ,c 2 ) ∈ X, ta xét: (a 1 ,a 2 )* (b 1 ,b 2 ) = (a 1 ,a 2 )* (c 1 ,c 2 ) ⇔ ( a 1+ b 1 ,2 b 1 a 2+ b 2 ) = (a 1+ c 1, 2 c 1 a 2+ c 2 ) Từ trên dễ dàng suy ra: (b 1 ,b 2 ) = (c 1 ,c 2 ) Do đó (*) là chính quy. . Bài 1. Cho X là tập các số thực nằm trong [0,1]. Trên X xây dựng phép toán (*) sau: a∗b= ab 1ab , ∀ a , b∈ X . Chứng minh rằng (S,*) là vị nhóm. ta suy ra (X,*) là vị nhóm giao hoán. (đpcm) Do đó (X,*) có tính kết hợp. 0 là phần tử trung hòa của (X,*) Do đó (X,*) giao hoán. Bài 2. Trong tập NNX