Bai giang phep tinh bien phan

Phép tính biến phân 2021 - 2022 (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 / 88 (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 / 88 Tài liệu tham khảo • Đào Bích Huy , Phép tính biến phân NXB ĐHQGHN 2002 • I M Gelfand, S V Fomin, Calculus of Variations, Dover Publications (2000) ã Hansjăorg Kielhăofer, Calculus of Variations: An Introduction to the One-Dimensional Theory with Examples and Exercises, Springer 2018 (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 / 88 Không gian hàm Khơng gian tuyến tính Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng X gọi khơng gian tuyến tính (thực) X ta trang bị hai phép toán cộng phần tử X phép nhân với số thoả mãn tiên đề sau: i) x + y = y + x với x, y ∈ X , ii) (x + y ) + z = x + (y + z) với x, y , z ∈ X , iii) tồn phần tử cho x + = x với x ∈ X , iv) với x ∈ X , tồn phần tử đối −x cho x + (−x) = 0, v) 1.x = x với x ∈ X , vi) α(βx) = (αβ)x, với α, β ∈ R, x ∈ X , vii) (α + β)x = αx + βx với α, β ∈ R, x ∈ X , viii) α(x + y ) = αx + αy , với α ∈ R, x, y ∈ X , Mỗi phần tử khơng gian tuyến tính X gọi vector (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 / 88 Ví dụ Khơng gian Rn (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 / 88 Ví dụ Khơng gian Rn Không gian hàm liên tục đoạn [a, b] : C [a, b] := {y : [a, b] → R|y liên tục} (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 / 88 Ví dụ Khơng gian Rn Không gian hàm liên tục đoạn [a, b] : C [a, b] := {y : [a, b] → R|y liên tục} Không gian hàm khả vi liên tục tới cấp n đoạn [a, b] : C n [a, b] := {y : [a, b] → R|y khả vi liên tục tới cấp n} (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 / 88 Không gian định chuẩn Định nghĩa Cho X khơng gian tuyến tính Một hàm || · || : X → R gọi chuẩn thoản mãn tính chất sau: i) ||x|| ≥ với x ∈ X ||x|| = x = 0, ii) ||αx|| = |α|||x|| với α ∈ R, x ∈ X , iii) ||x + y || ≤ ||x|| + ||y || với x, y , z ∈ X Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi khơng gian định chuẩn Ví dụ Khơng gian C [a, b] hàm liên tục đoạn [a, b]: với chuẩn ||y ||0 = max |y (x)|, a≤x≤b (HDU) Phép tính biến phân y ∈ C [a, b] 2021 - 2022 / 88 Không gian C [a, b] hàm khả vi liên tục đoạn [a, b]: với chuẩn ||y ||1 = max |y (x)| + max |y (x)|, a≤x≤b a≤x≤b y ∈ C [a, b] Không gian hàm khả vi liên tục tới cấp n đoạn [a, b]: C n [a, b] := {y : [a, b] → R|y khả vi liên tục tới cấp n} với chuẩn n max |y (i) (x)|, ||y ||n = i=0 (HDU) a≤x≤b Phép tính biến phân y ∈ C [a, b] 2021 - 2022 / 88 Định nghĩa Cho X Y không gian định chuẩn J : X → Y Ánh xạ J gọi liên tục x0 ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho ||J(x) − J(x0 )||Y < ε với x thoả mãn ||x − x0 ||X < δ Ánh xạ J gọi liên tục liên tục x ∈ X Định nghĩa Cho X Y không gian định chuẩn J : X → Y Ánh xạ J gọi tuyến tính với α, β ∈ R x, y ∈ X , ta có J(αx + βy ) = αJ(x) + βJ(y ) (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 / 88 Ví dụ Khảo sát điều kiện Jacobi cho đường cực trị phiếm hàm a J[y ] = (y + y + x )dx qua điểm A(0, 0) B(a, 0) (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 76 / 88 Nếu dọc theo đường y = y (x), phiếm hàm b J[y ] = F (x, y , y )dx a đạt cực trị thì: (i) Đường y = y (x) thoả mãn phương trình Euler: Fy − d Fy = dx (ii) Điều kiện Legendre thoả mãn dọc y = y (x): Fy y Fy (x, y (x), y (x)) ≥ y (x, y (x), y (x)) ≤ − cực tiểu − cực đại (iii) Khoảng (a, b) không chứa điểm liên hợp với a (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 77 / 88 Điều kiện đủ cực trị yếu Thiết lập điều kiện đủ để y = y (x) cực trị phiếm hàm b J[y ] = F (x, y , y )dx, với y (a) = A, y (b) = B a (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 78 / 88 Điều kiện đủ cực trị yếu Thiết lập điều kiện đủ để y = y (x) cực trị phiếm hàm b J[y ] = F (x, y , y )dx, với y (a) = A, y (b) = B a Xét điều kiện: (i) y = y (x) thoả mãn phương trình Euler: Fy − d Fy = dx (ii) Dọc đường y = y (x) P(x) = Fy (HDU) y (x, y (x), y (x)) > (làm mạnh điều kiện Legendre) Phép tính biến phân 2021 - 2022 78 / 88 (iii) Đoạn [a, b] không chứa điểm liên hợp với điểm x = a (làm mạnh điều kiện Jacobi): nghĩa phương trình − d (Ph ) + Qh = dx với điều kiện h(a) = 0, h (a) = cho nghiệm khác không đoạn [a, b] (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 79 / 88 (iii) Đoạn [a, b] không chứa điểm liên hợp với điểm x = a (làm mạnh điều kiện Jacobi): nghĩa phương trình − d (Ph ) + Qh = dx với điều kiện h(a) = 0, h (a) = cho nghiệm khác không đoạn [a, b] Định lý Nếu y = y (x) thoả mãn điều kiện (i)-(iii), cực tiểu phiếm hàm cho (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 79 / 88 Chứng minh Nếu đoạn [a, b] không chứa điểm liên hợp với a P(x) > với x ∈ [a, b], tính chất liên tục p nghiệm phương trình Jacobi, tồn ε > cho tính chất với đoạn a, b+ε] Xét phiếm hàm toàn phương b b (Ph + Qh2 )dx − α2 a h dx (∗) a phương trình tương ứng − d [(P − α2 )h ] + Qh = dx (∗∗) Với α đủ nhỏ, ta có +) P(x) − α2 > 0, ∀x ∈ [a, b] +) Nghiệm phương trình (**) với điều kiện đầu h(a) = 0, h (a) = không không với a < x ≤ b (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 80 / 88 Từ suy phiếm hàm (*) xác đinh dương với α đủ nhỏ, tức tồn c > cho b b (Ph + Qh2 )dx > c a h dx (∗ ∗ ∗) a Điều kiện suy đường cực trị phiếm hàm đạt cực tiểu Thật vậy, xét y (x) + h(x) gần với y (x), ta có b J[y + h] − J[y ] = b (Qh2 + Ph )dx + a (ζh2 + ηh )dx a với ζ, η → đoạn [a, b] ||h||1 → Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, x h2 (x) = h dx x ≤ (x − a) a b h dx ≤ (x − a) a h dx a Suy b a (HDU) h2 dx ≤ (b − a)2 Phép tính biến phân b h dx a 2021 - 2022 81 / 88 Do đó, b a (ζh2 + ηh )dx ≤ ε + (b − a)2 b h dx a |zeta(x)| ≤ ε, |η(x)| ≤ ε Vì ε lấy nhỏ tuỳ ý, nên theo (***), ta có J[y + h] − J[y ] > với ||h||1 đủ nhỏ Nghĩa là, phiếm hàm đạt cực trị đường y = y (x) (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 82 / 88 Ví dụ Nghiên cứu cực trị phiếm hàm a J[y ] = y dx với y (0) = 0, (HDU) y (a) = b, a > 0, b > Phép tính biến phân 2021 - 2022 83 / 88 Ví dụ Nghiên cứu cực trị phiếm hàm a J[y ] = (y + 2yy − 16y )dx với y (0) = 0, (HDU) y (a) = 0, a > Phép tính biến phân 2021 - 2022 84 / 88 (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 85 / 88 (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 86 / 88 (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 87 / 88 (HDU) Phép tính biến phân 2021 - 2022 88 / 88