Lý thuyết nhóm  phần ii

N G Ư V Ễ N NGỌC GIA O LÝ THUYẾT NHỔM PHẦN II UYEN NGA plH VẠT LY L TỦ SÁCH TRƯỜNG Đ ^ l HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN ^ 1999 - Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! NGUYỄN NGỌC GIAO ^y°< LÝ THUYẾT NHÓM PHẨN II (Tài liệ u d ù n g cho sin h v iên ch u y ên n gàn h V ật lý lý th u yết) TỦ SÁCH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HQC Tự NHIÊN - 1999 - 0^& c vto*c d ’ftc c Cuốn “L ỷ thuyết nhóm - Phần II” trình bày kiến thức sở nhóm Lie đại sơ Lie, phép biểu diễn chúng áp dụng vào nhóm cụ thể có nhiều ứng dụng vật lý nhóm quay, nhóm Lorentz, nhóm S\J(n) Nội dung sách dựa trền giáo trình tác giả giáng dạy cho sinh viên khoa Vật lý Trường Đ H TH TP HCM suối iủ năm 1979 cho dến ngày nay, dã dược in ronéo từ năm 1983 Đây tài liệu học lập tham khảo sinh viên chuyền ngành Vật lý lý thuyết (đặc biệt Lý thuyết Hạt bún Hạt nhân) tất bạn trề hoạt động những.lĩnh vực cliun mơn có lièn quan Tác giả chân thành cám ơn Ban Xuất Trường ĐH KHTN cho đời sách TP HCM, tháng năm 1999 T c g iả CHƯƠNG I NHÓM LIE 81 NHỎM LĨE a) Một nhóm G = Ịg} vơ hạn gọi nhóm liên tục (nhóm tơpơ) g g' biến thiên liên tục tích gg' g '1 biến thiên liên tục Các nhóm liên tục có vơ số hay số hữu hạn tham số thực, th am số tạo nên khơng gian tham số hay khơng gian nhóm Mỗi phần tử nhóm điểm cúa khơng gian Nhóm liên tục có sơ tham sơ hữu hạn gọi nhóm Lie\ sơ tối thiếu tham sơ độc lập cần th iết đê đặc trưng cho phần tử nhóm gọi tham sơ cốt yếu Người ta chứng m inh nhóm Lie dẳng cấu với nhóm phép biến đối không gian vectơ hữu hạn chiều, hay nhóm ma trận Trong trường hợp sơ tham sô cốt yếu sô ma trậ n độc lập nhóm Vậy xét nhóm phép biến đồi tuyến tính, với phần tứ g = g (cci, -2 , otr) Các tham số (aj chọn cho lân cận cùa gốc tọa độ khơng gian nhóm tương ứng 1—1 với lân cận cùa phần tử đơn vị Nếu g(ai, a 2, a r)g(a’i, , a ’r) = g(a”i , a ”r) a ”k = Ọk (ai, a r ; a ’i, a ’r) Các hàm (Pk xác đinh pháp nhân nhổm , giả thiết khả vi theo biến Ngoài (Pk cịn phái thỏa mót sơ' điều kiên quy đinh bơi tiên đế nhổm Ta liệt kê sơ' nhóm Lie : Nhóm GL (n, C) gồm tấ t m a trậ n phức cấp n có dịnh thức * Nhóm có 2n2 th am số thực Nhóm SL (n, C) gồm tâ't m a trậ n phức cấp n có det = Sơ' tham sơ' 2n2 - Nhóm U(n) gồm m a trậ n unita cấp n, tức ma trận thỏa U U + = u +u = I- Số th am sơ' 2n2 - n = n Nhóm SU(n) với det = 1, có sơ tham sơ n — Nhóm trực giao O(n) nhóm thực U(n), thỏa o = T0 = I Sô' diều kiện ràng buộc n + —- sơ tham sơ' nhóm n - n — — — = —n ~ - 2 Ma trận trực giao có det = ± Nhóm SO(n) gồm ma trận trực giao với det = 1, sô' tham sô' \ ẫn n -~ "■ b) Xét kỹ thêm nhóm 0(3), gồm phép biến đổi A báo tồn dạng tồn phương khơng gian chiều

•), trị riêng A, trị riêng eA sò eu , e , (iv) det (eA) = exp (SpA) ? (V) eA“ = (eA):ỉ:, eA+ = (eA)+ e“A = (eAf Mớ rộng dối với nhóm G r - tham số người ta chứng minh *>* \ g(ai, ., ctr) = exp 1i E > J X> i ^ L -l— l Ngồi ra, yị tử cịn thóa hẻ thde giao hnáp ỊỊXj, Xjị - cjj x k , cj]ị- hăng số cấu trúc tức tập vi tử |Xjl tạo nên dại số Lie nhóm Lie G, với 'phép nhân Lie hệ thức giao hoán Hạng nhóm Lie số vi tử giao hốn lẫn b) Ví du : g(a, b o 11 ? Nhóm quay SO(3) : x' = X y‘= y COSƠ! Ỷ zsin Oiị z' = -y sin a -t* z c o s a N 11 ,0,0) = Ị cosot! sin «2 (,0 - sin OCỊ COSOC2 ) H fu tro o C Le 0 0, a c° Ặ ^ X - ^ >A = T - o i o - T h-1 o b -•> V " ’0 ^ ro o , /' x2 = o CỊ ( ^ ° ) Tương tự tv l^ Dễ dàng thấỵ vi tử thỏa hệ thức giao hoán [x ¡, X ị] = iẻi]kX kị eijk -te n x hoàn to àn p h ản xứng J "¡w no ÌÀ t ala n k tĩn !' v =>fXj~~- X j| M ặt Từ điều kiện unita uUuU + = uu +u == I =>(X khác det u = + iọj SpXj = => ^)pXj) = ! Như vi tử nhóm S U (n ) m a trậ n tự liên hơpllcó vết = C hẳng h n s u (2) : Xj = ^ °1= {°1 o) ’ ơ2 = ( ° Ợ j, ~o) ’ ° = (ỉ) - 0J nhữllg ma trận Pauli Các vi tử thỏa hệ thức giao hốn SO(3), tức có đại số Lie §3 TÍCH TRựC TIẾP, NỬA T R ựC T IẾ P .ai Cho nhóm Gi = tgil , G2 = lg2l Tập d ỵt cặp có thứ tự (gi, g2) với quy tắc n h ân X\ J Nhóm SU(n) Ở gần bậc th ấp n h ấ t ĩ g = U(a1, , a r ) = I + i a jXj - f * (gl, g2) (g'l, g'2) = (glg’l, g2g'2) tạo thành nhóm mới, gọi tích trực tiếp Gi ® G2- Đơn vị nhóm (ei, e2), cịn nghịch đáo (gi, g2) (gi, g2)-1 = ( g f \ g2-1)N,hnm OỊB Gj = Ị ( g i,e 2)Ị < Gj ® G đắng cấu với G i Tương tự đơi với G2 • Dễ dàng nghiệm thấy Ị g ị G2 = Gi ® G , Gj n G = (ex, e 2) b ) Ta có t h ể chứng minh đươc t â p l(Pil t ấ t cá phép - t ự đằng, cấu „của nhổm 'G lập thành nhổm ưui nhpm tư ổíliìỉ? cấu rua G : Aut G = lọi 1cpi : G - G } Bây cho nhóm G = Igl nhỏm Ịa | = lừ c Aut G, vố ỉĩét tập cặp có thứ tự (g I a ) với phép nhân ( g Í A ) ( g ’ lA’) = (gA(g’)|A A ’) Phần tử đơn vị tập (e!l), e - đơn vị G, I - phép tự đẳng cấu đơn vị, phần tứ nghịch đáo ( g ỉ a )-1 = (A_1(g_1)| A_1) Với định nghĩa tập cặp (g IA) lập thành nhóm, gọi tích nửa trực tiếp G ỵ> 'X Nhóm G a Aut G gọi nhóm tồn hỉnh cua nhóm G V —T, » \U_ Vmax v_ (4 bước) T_ (1 bước) \ (ii) Mỗi điếm biên ứng với trạn g trái, điểm lớp - trạn g thái, lớp - trạng thái, v.v ta hình tam giác; điểm bên hình tam giác ứng với số trạn g thái biên hình tam giác Ta có th ể hình dung giản đồ hình tháp (ta nhìn từ trê n xuống) có đáy hình cạnh, thu nhỏ dần cách đặn lên cao, đến đáy trẽn hình tam giác Như ứng với cặp (t3, y) ta có th ể có nhiều trạng thái, đê phân biệt cần thêm số lượng tử nữđ Đẽ ý dọc đường thẳng y = c± ta ln ln có [Tt, T2] = [T3, T2] = với T2 = - (T*T_ + T_T+) + T.f\ Vì ta đánh dấu trạng thái thêm trị riẻng t T2, T2 = t(t+l) Số trạng thái đường y = c± dì nhiên 2t + 1, tầng tháp bên 'CÓ t tảng tháp bên đơn vị Một vài biểu diễn đơn giản : 86 D( 1,0) = D (0,l) = 3* D (l,l) = C ần ý tro n g s u (3) biểu diễn biểu diền liên hợp 3* không tương đương nhau, khác với trường hợp nhóm s u (2) U 2*2 U*2v2 (tức Ti va - I ■; ỉ liên hệ với phép biên đổi đồng dạng C) B ằng phương pháp giản đồ ta có th ể thực hiện.các tích biêu diễn cách đê chồng giản đồ lên nhau, mồi diêm gian đổ trù n g với tâm cùa giản đố Ví dụ : ® Điểm bội điểm bìa bội So với gián đồ có điếm bìa bội 1, điểm bội ta suy : ^ đ õ = g â 87 Tương tự ta có th ể tìm dược : A \ 3đ = 6â 3f,3f;03fi = 6*â3 / 3 = 10đ â © \ © = 27 © 10 © 10* © © © Chú ỷ : dể mơ tả biểu diễn thay dừhg spinơ V a với ụ/c = ta có th ể dùng vectơ chiều Vi = ^ S p ( v ị/X i) Va = , i = l, 2, §4 NHĨM SU (N ) a) Nhóm SU(n) có (n2- l ) th am số Các vi tử x k, k = 1,2, , (n2 - 1) nhóm thỏa tín h chất SpXk = , X i = x k Hạng SU(n) (n-1), tức có n - vi tử giao hốn đơi (n - ma trậ n chéo hóa dược đồng thời) Người ta chọn điều kiện chuẩn hóa cho Sp(Xk Xi) = | tó Với yêu cầu vi tử SU(n) có th ể chọn dạng sau : x k = jCp.C'p , H a | , 88 a > p = 1, 2, , n; a = 1,2 n - (c ĩ ) \ Ha =|(8°‘8«i+5°i8#i) J2a(a + 1) Rõ rà n g ta có số m a tr ậ n c C’ —n (n -l), số m a tr ậ n chéo Ha (n -1 ), tổng cộng (n2 - 1) m a trậ n tấ t b) Đối với SU( n) ta có biểu diễn ù , phản u = liên hợp u * n h tro n g s u (2), dĩ nhiên ma trậ n u n X n Các spinơ h n g cao xây dựng qua tích trực tiếp u ® u ® u * ® ® u * ' f ^^ rị" Trước kh i x ét kỹ cách tích trực tiếp ta cần nêu loại spinơ dặc b iệ t : spinơ hạn g hai không gian Ej-j- : ô a , spinơ h n g n tenxơ hoàn toàn phản xứng tương ứng tro n g không gian E n EjY : eaia,^ a £ a l a '"^n Cá ba loại spinơ b ấ t biến dối với nhóm SU(n) Bây x ét cụ thế’ : 89 a- u ® u : khơng gian biểu diễn E2 Spinơ iỵa a phân tích thành spinơ bất khả quy ụ/aia2 - V ịa ^ l + vt'ta1a2J hoạt động tuơng ứng không gian b ất biến trực giao E?2 > (3 - n(n + l) „a n(n-l) chiều Eo , — - chiều 2 u ® u* : khơng gian biểu diễn EjY Ta có khai triến thành biểu diễn bất khả quy z r ĩf-° Số hạng đầu spinơ hợp có vêt = với (n - 1) thành phần, cịn sơ hạng sau b ất biên (1 th àn h phần) y - Đối với spinơ hạng cao, từ v aj a b ất kỳ ta Ị n ( n -1- l) (n + p - 1) và, với p < n, spinơ (p’ J n(n - l) (n - p -t-1) M»fn, „a I hoàn tồn phản xứng với thành phần (p < n số phải khác tấ t cả) Ngoài cịn tồn spinơ khác, đối xứng đốì với sơ cập chí số phăn xứng số cặp khác Tất ca spinơ diễn tả cách tiện lợi sơ đồ Young chứa nhiều ô, xác số phần xứng ứng 90 vứi ô tr n n g m ột, ¿ột, c h i - S ấ ý f r > g - c c trrm g m ồt hàng Ví d ụ : x ét VỊ/abc V labci = g (V a b c + ¥ b c a + V b ac + V cba + V cab + V a c b ) VỊkbc] = | ( V a b c - V b a c + V b ca - V cba + v cab - V a c b ) Vlarblc] = | ( V a b c + V b a c - V acb - V c a b ) V t a l H c l t - ị ( v abc + V a cb - V bac - V b c a ) T a có : Vabc = V labcl Sơ dồ Young + Vịabcl ị + V|a[bk] ị ị + VtalbkỊ 'l' Số th ả n h ph ần đôc lập tương ứng lẩn, lượt, lq ^7 n(n + l)(n + 2) - ì n(n - l)(n - 2) - n ( n -1) -n(n2-l) \ ’ Đối với spinơ phản biến hỗn hợp ta có thê dùng s a để chuyền hiệp biến tiến hành phân giải 91 Tuy nhiên cần lưu ý spinơ tương đương kiểu lại không tương đương m ặt v ật lý, trường hợp ta phải dùng hệ sơ dồ Young, số hiệp biến, số phản biến §5 NĨ I TH ÊM VỂ S ĐỒ YOUNG a) Mỗi biểu diễn b ấ t khả quy nhóm SU(n) có th ể đặc trưng ký hiệu (pi, P2,-> Pn), Pi ằ P2 ằ > Pn tương ứng với sơ đồ -> Pi n —»• Pn Ô Chú ý spinơ với n số phản xứng hóa SU(n) b ất biến, th ế ta có th ể bỏ di cột gồm n ô sơ đồ Young có thề có tối đa (n-1) hàng Vị dụ : (n-1>han 92 Spinơ cuối n ày ta có th ể v iết lại dạng Vị/ằ = e bblb2 bn-lVa[bj_b^ J vj v ỗ _ Rừ rà n g số th n h p h ầ n độc lập u/g fn2 - 1) : biểu diễn phó Sự tương ứng sơ đồ Young với ký hiệu spinơ ta có thê th iế t lập m ột cách tống quát n h sau Giả th iế t sơ đồ Young có r cột ơ, r cột ô, , r m cột m ô Khi spinơ tương ứng V'L với L = {a1 ai,}[b : (2 ) ® (1) = (31) â (22) â (212) (pi, ,pn) đ (m) : Ta thêm ó sị m ô vào sơ dồ ban đầu trên, ý cịt k h ơng dưrtr thêm q Ví dụ : n = : (3) đ (2) = (5) â (41) â (32) = I = (5) © (3) © (1) n = : (32) đ (3) = (63) â (531) â (432) © (33) = (63) © (42) © (21) © (0) hoặc, dạng số chiều biêu diễn đ 10 = â đ © ^ 95 (21) (3) = (51) © (42) © (412) © (321) = (51) © (42) © (3) â (21) 8đ10 = 35â 27â 10â bav t f y (pi P2),-.,Pn) ® (p’l, P p’n): ta tiến h ành đốì vđi hàng p’l trên, đến hàng p*2, v.v đồng thời tuân thú thêm quy tắc : đánh dấu hàng p ’i ‘‘i” sơ đồ thu ta đọc từ hàng xuống hàng theo thứ tự từ phải qua trái, ta dãy số mà vị trí ta th số sơ' “1” đứng trước > số “2” > > số “n ” Ví dụ n = : (22) đ (22) = (42) â (431) â (422) = (42) â (32) â (2) hay ẻ đ = 15 © 15 ; © ( 15* biểu d iễn k h c 15 n h iủ ig có số chiều), (21) ® (21) = (42) © (412) © (32) © (321) © (321) © (23) = (42).© (3) © (32) © (21) © (21) © (0) hay 8 = © 10* © © © 96 MỤC LỤC C h n g I - NHÓM L IE .1 Nhóm L i e Vi tử nhóm L ie 3 Tích trực tiếp, nửa trực tiế p Biểu diễn nhóm L ie .9 Biếu diễn nhóm com păc 12 C h n g II ĐẠI SỐ L IE 17 Các dại sô' L ie 17 Đại sỏ Lie nhóm L ie 21 Biếu diễn dại số Lie 24 Đại số k h ả giải, n ilp o te n t 27 P hân loại đại số Lie nửa đơn 30 C h n g II I : NHÓM Q U A Y 39 Nhóm SO(3 ) = ^ ) 39 Các biêu diễn b ất khả q u y 39 Các biếu diễn lưỡng tr ị 44 Tích biểu d iễ n 46 Ưng dụng 51 C h n g IV : NHÓM LORENTZ 55 < Nhóm L orentz 55 97 Các vi tử nhóm L orentz 57 Biểu diễn bất khả quy nhóm L * 60 Tích biểu d iễ n 62 Spinơ tenxơ nhóm Lorentz h \ 63 Biêu diễn bất khả quy nhóm Lorentz đầy đủ 65 "7" Nhóm Poincaré iA 68 Biếu diễn b ất khả quy nhóm ’JA 70 C hư ng V : NHÓM S U (n ) 76 Nhóm S (J(2 ) 76 Nhóm S (J(3) 80 Biêu diễn nhóm SU (3 ) 82 Nhóm S U (n ) 88 Nói thêm sơ đồ Young 92 T ài liệ u th a m k h ả o 98 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hoàng Phương - Lý thuyết nhóm ứng dụng vào v ậ t lý học lượng tử, NXB K H -K T, Hà Nội, 1972 A B arut, R Raczka - Theory of Group Representations and Applications, Pol Sc Publ., W arszawa, 1977 N Bourbaki - E lem ents de M athém atique; Groupes et Algèbres de Lie, Ed H erm ann, P aris, 1975 M Gourdin - Basics of Lie Groups, Ed Frontieres, P a ris , 1982 H Georgi — Lie A lgebras in P article Physics, Addison — W esley, 1992 LÝ THUYẾT NHĨM - PHAN II GS TỒ, NGUYỀN NGỌC GIAO Cìuu trách nhiêm xuất : PGG PTS NGƯYÉN VÃN ĐEN Chiu trách nhiệm thảo : GS TS NGƯYÊN NGỌC GIAO Sưu ban in : GS TS NGUYẺN NGOC GIAO Tnnh bay : PHẠM THI BÌNH Trinh hay bia : TRAN thị anh thơ BAN XUẤT BAN TRƯỜNG ĐH KHTN TP HCM 227 Nguyền Vân Cừ - Quận - TP Hố Chi Minh ĐT 8391030 ln khỏ 14,5 X 20,5 cm Xướng in Trường Đại học Khoa hoc Tự nhiên In xong nộp lưu chiểu tháng 8/1999 ('