F E D C BA E F C D A Chuyênđề5(6tiết):ĐƯỜNGTRUNGBÌNHCỦATAMGIÁC,CỦAHÌNHTHANG *) Kiến thức cơ bản : 1. a) Đườngthẳng đi qua trung điểm một cạnh củatam giác và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. b) Đườngthẳng đi qua trung điểm một cạnh bên củahìnhthang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai. 2. a) Đườngtrungbìnhcủatam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh củatam giác. (h.8) b) Đường trungbìnhcủahìnhthang là đoạn nối trung điểm hai cạnh bên củahình thang.(h.9) h.8 h.9 NM D C BA 3.a) Đườngtrungbìnhcủatam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đấy. b) Đường trungbìnhcủahìnhthang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. Bổ sung : Trong hìnhthang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy. Trong h.10 : MN // AB // CD CD AB MN 2 . CÁC VÍ DỤ MINH HỌA *) Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng nếu AB CD MN 2 thì tứ giác ABCD là hình thang. O N M D C B A Giải : Gọi O là trung điểm của BD. Các đoạn thẳng OM, ON lần lượt là đườngtrungbìnhcủa ABD và BCD nên AB OM 2 và OM // AB ; (1) ON = CD 2 và ON // CD ; (2) Suy ra O nằm giữa M và N. Vậy ba điểm M, O, N thẳng hàng (3). Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác ABCD là hình thang. +) Nhận xét : Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nối hai điểm này ta chưa được đườngtrungbìnhcủatam giác nào cả. Vì thế ta đã vẽ thêm trung điểm củađường chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng được định lí đườngtrungbìnhcủatam giác để chứng minh. Việc vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳngđể vận dụng đườngtrungbìnhcủatam giác là việc vẽ đường phụ thường gặp khi giải bài toán hình học. *) Ví dụ 2 : P Q N M D C BA Cho hìnhthang ABCD ( đáy AB nhỏ hơn đáy CD ). Tìm điều kiện củahìnhthang này để hai đường chéo của nó chia đườngtrungbình thành ba phần bằng nhau. Giải : Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC ; MN cắt BD tại P, cắt AC tại Q ; MN là đườngtrungbìnhcủahìnhthang nên MN // AB // CD. Xét ABD có MA = MD ; MP // AB nên PB = PD Xét ADC có MA = MD ; MQ // CD nên QA = QC. MP và NQ lần lượt là đườngtrungbìnhcủa ABD và ABC nên AB MP NQ 2 . PQ là đoạn nối trung điểm hai đường chéo củahìnhthang ABCD nên CD AB PQ 2 . Ta có : MP = +Q = QN AB2 CD AB 2 2 AB CD AB CD 2.AB +) Nhận xét : F O D M B H N I G P K C E A Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB = 2.CD , chứng minh tương tự như trên ta vẫn có hai đường chéo chia đườngtrungbình thành ba phần bằng nhau. Tóm lại, nếu hìnhthang có một đáy gấp đôi đáy kia thì hai đường chéo của nó chia đườngtrungbình làm ba phần bằng nhau. *) Ví dụ 3 : Từ ba đỉnh của một tamgiác, hạ các đường vuông góc xuống một đườngthẳng d không cắt cạnh nào củatam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâmtam giác xuống đườngthẳng d. Giải : Giả sử ABC có ba đườngtrung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại O; các đoạn thẳng AG, BH, OI, CK đều vuông góc với đườngthẳng d. Ta phải chứng minh: AG + BH + CK = 3OI Từ trung điểm M của BO và từ E, ta hạ MN và EP vuông góc với d. Ta có BH // MN // OI // AG // EP //CK ( chúng cùng vuông góc với d). Vì O là tọng tâmcủatam giác ABC nên BM = MO = OE. Ta lại có HN = IN = IP (đường thẳng song song cách đều). Như vậy ta được ba hìnhthang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lượt có MN, OI, EP là các đườngtrung bình. Từ đó suy ra MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1) Nhưng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta được BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI. Ví dụ 4 : Cho một điểm C ở ngoài một đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác vuông cân ACA’, BCB’ ra ngoài tam giác ABC ( · · A'AC = CBB' = 1v ). Chứng minh rằng vị trí của điểm M ( trung điểm của A’B’) không phụ thuộc vào vị trí chọn điểm C. Giải : F EH C A N B B' M A' Hạ A’H, C E và B’F cùng vuông góc với đườngthẳng AB. Ta dễ dàng chứng minh được các cặp tam giác vuông sau đây bằng nhau : A'HA = AEC (1) B'FB = BEC (2) Suy ra AH = BF = CE. Gọi N là trung điểm của HF thì N cũng là trung điểm của AB. MN cũng là đườngtrungbìnhcủahìnhthang vuông A’HFB’ nên A'H + B'F MN AB vµ MN = 2 . Nhưng từ (1) và (2) ta có A’H = AE ; B’F = BE nên AE + BE AB MN = 2 2 . Vậy MN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB và AB MN = 2 , nghĩa là vị trí điểm M được hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc chọn điểm C ( C là điểm bất kì, C và M cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đườngthẳng AB). CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho tam giác ABC có µ A = . Trên cạnh CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Kẻ đườngthẳng xy qua trung điểm của AD và BC. tính góc do đườngthẳng xy tạo với AB. Bài 2 : Trên hai cạnh của góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD bằng nhau ( A nằm giữa O và B, C nằm giữa O và D). Các điẻm I và E lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng đườngthẳng IE song song với tia phân giác của góc xOy. Cho tam giác ABC. Dựng tam giác vuông cân ABD( vuông ở A, D và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), dựng tam giác vuông cân AEC ( vuông ở A, E và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC). Gọi K, I, M lần lượt là trung điểm của EC, BD và BC. Chứng minh rằng tam giác KMI vuông cân. Bài 4: Cho hai điểm A và B ở ngoài đườngthẳng xy. tìm hệ thức giữa khoảng cách từ trung điểm O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy. Bài5 : Cho tam giác ABC. Đườngthẳng xy đi qua đỉnh A. Gọi B’ và C’ là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí củađườngthẳng xy để tổng BB’ + CC’ đặt giá trị lớn nhất. . F E D C BA E F C D A Chuyên đề 5 (6tiết): ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG *) Kiến thức cơ bản : 1. a) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với. trung điểm hai cạnh của tam giác. (h.8) b) Đường trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. (h.9) h.8 h.9 NM D C BA 3.a) Đường trung bình của. trung điểm của cạnh thứ ba. b) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai. 2. a) Đường trung bình của tam