Về nhóm con của nhóm so(3)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ VIỆT HÙNG VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3) Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VŨ THẾ KHƠI THÁI NGUN - 2008 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Nhóm phép quay SO(3) xuất nhiỊu c¸c lÜnh vùc kh¸c cđa to¸n häc đối tượng kinh điển đà nghiên cứu nhiều nhà toán học Đối tượng trình bày luận văn nhóm nhãm SO(3) sinh bëi hai phÐp quay cã bËc h÷u hạn quanh trục vuông góc Nhóm phép quay quan tâm nghiên cứu có ứng dơng lÝ thut Tilings, mét lÝ thut nghiªn cøu trình phủ không gian copy số hữu hạn hình đa diện cho trước Tuy nhiên khuôn khổ luận văn Cao học, tập trung tìm hiểu kết đại số tuý mà không trình bày lí thuyết Tilings Bài toán đại số nghiên cứu luận văn tìm hiểu cấu trúc đại số nhãm G(p, q) sinh bëi hai phÐp quay quanh hai trục vuông góc với góc quay 2/p 2/q Chúng ta nghiên cứu nhóm với ý ta đà có số kết bước đầu sau: Nếu p q 1, G(p, q) nhóm Cyclic hữu hạn; p q 2, G(p, q) nhóm nhị diện hữu hạn; G(4, 4) nhóm đối xứng hình lập phương; tất trường hợp khác G(p, q) trù mật SO(3) Luận văn trình bày theo báo [4] hai tác giả C.radin L.Sadun (năm 1998) Kết luận văn định lí cấu trúc (Định lí 2.1.2), nhóm G(p, q) đẳng cấu với tích tự tích tự với nhóm chung nhóm đơn giản nhóm cyclic hay nhóm nhị diện Kết định lí dạng chuẩn tắc phần tư nãi r»ng mäi phÇn tư cđa nhãm G(p, q) ®Ịu cã thĨ biĨu diƠn mét c¸ch nhÊt d­íi dạng tích số phần tử có dạng cụ thể (Xem định lí 2.2.1 2.2.6) Ngoài phần cuối luận văn nghiên cứu ví dụ vỊ nhãm cđa nhãm SO(3) sinh bëi hai phÐp quay với góc quay tích với số vô tỉ hay siêu việt Bằng cách sử dụng kĩ thuật phần đầu, luận văn chứng minh số trường hợp nhóm ví dụ ®¼ng cÊu víi nhãm tù sinh bëi hai phần tử Luận văn gồm chương Chương dành để giới thiệu khái niệm, tính chất đặc trưng ví dụ minh họa phép quay vµ ma trËn phÐp quay; nhãm tù do; tÝch tù do; tÝch tù víi nhãm chung nh»m phơc vụ cho chương sau Chương chương trình bày nội dung luận văn gồm hai phần Phần trình bày biểu diễn cho nhóm dạng tắc cho phần tử nhóm G(p, q) Phần trình bày G(p, q) Chương trình bày thêm ví dụ nghiên cứu nhóm phép quay G(v, 4) có góc quay v số vô tỉ cho trước nhân với Sau trình bày ví dụ nghiên cứu bước đầu nhóm G(, 4) với ei (tương đương cos()) siêu việt Luận văn hoàn thành với hướng dẫn tận tình Thầy Ts Vũ Thế Khôi Tôi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi xin trân trọng cám ơn ban lÃnh đạo khoa toán ĐHSP Thái Nguyên, khoa sau đại học ĐHSP Thái Nguyên, cám ơn thầy cô giáo đà trang bị cho kiến thức sở Tôi xin trân trọng cám ơn ban giám hiệu bạn đồng nghiệp trường THPT chuyên Hà Giang, xin trận trọng cám ơn người thân, bạn bè lớp cao học toán K14 đà động viên giúp đỡ qua trình hoàn thành luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị Luận văn cần số định nghĩa kết sau 1.1 Phép quay ma trận phép quay Phép quay nói chung phần tử nhóm SO(3) Sau ta định nghĩa phép quay quanh c¸c trơc Ox, Oy, Oz cđa hƯ trơc tọa độ Oxyz không gian chiều với góc quay 1.1.1 Định nghĩa Phép quay quanh trục Ox víi gãc quay ϕ kh«ng gian chiỊu víi hệ trục toạ độ đề vuông góc Oxyz phần tử nhóm SO(3) có ma trận tương øng lµ   0 0 cosϕ sinϕ −sinϕ cosϕ KÝ hiÖu Rxϕ hay   0 Rxϕ = 0 cosϕ sinϕ sin cos Ta định nghĩa tương tự phép quay Ryϕ , Rzϕ t­¬ng øng quanh trơc Oy, Oz với ma trận tương ứng    cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ   vµ −sinϕ cosϕ 0 −sinϕ cosϕ 0 VỊ ma trËn cđa ánh xạ tuyến tính xem thêm [2] Phần trình bày lý thuyết nhóm tự do, biểu diƠn cho nhãm, tÝch tù do, tÝch tù víi nhãm chung theo [3] 1.2 Nhãm tù 1.2.1 Định nghĩa Một tập S nhóm F gọi sở tự F hµm ϕ : S −→ G tõ mét tËp S ®Õn nhãm G ®Ịu cã thĨ më réng nhÊt thành đồng cấu e : F G cho ϕ(s) e = ϕ(s), ∀s ∈ S vµ ta có sơ đồ S HH Một nhóm F gọi F HH H HH H j H nhãm tù ∃!ϕ e ? G nÕu có tập sở tự F 1.2.2 Ví dụ Ta xét nhóm Cyclic vô hạn luỹ thừa phần tử a, C (được viết theo lối nhân) bao gồm C có dạng C = { , a−2 , a−1 , = a0 , a = a1 , a2 , a3 , }, phép nhân định nghĩa aj Khi C nhóm tự với së tù lµ tËp S = {a} ThËt vËy, nÕu cÊu më réng ϕ : S −→ G lµ hàm (a) = g G đồng e : C G định nghÜa bëi ϕ(a e i ) = g i Hiển nhiên e mở rộng Chú ý tập C có sở tự khác {a1 }, hai c¬ së tù nhÊt cđa C T­¬ng tự ta có nhóm số nguyên = ai+j với i, j Z Z (đẳng cấu với C ) nhóm tự với hai sở tù {1} vµ {−1} 1.3 BiĨu diƠn nhãm phần tử sinh hệ thức Ta muốn mô tả nhóm cách viết vài phần tử sinh nhóm đưa vài quan hƯ gi÷a chóng Ta th­êng dïng kÝ hiƯu G = ha1 , a2 , a3 , |u1 = v1 , u2 = v2 , i, kí tự uj , vj từ tạo bëi Do nhãm tho¶ m·n u = v ⇔ uv −1 = 1, v× thÕ ta cã thể biểu diễn cho nhóm dạng tương đương G = ha1 , a2 , |r1 = 1, r2 = 1, i, ®ã ri = ui vi−1 víi i = 1, 2, 3, để đơn giản ta kÝ hiÖu G = ha1 , a2 , |r1 , r2 , i 1.3.1 Định nghĩa S Một biểu diễn phần tử sinh Nhóm biểu diễn tập P = hS|Di cặp bao gồm tập D từ S gọi hệ tử định nghĩa P , kí hiệu gp(P ) nhóm FS /ND FS nhóm tự với sở tự S ND bao đóng chuẩn tắc D FS , nhóm chn t¾c nhá nhÊt cđa FS chøa D Do r D r ND v× thÕ r = 1gp(P ) NÕu G = gp(P ) ta th­êng viÕt lµ G = hS|Di không cần thiết phân biệt nhóm miêu tả nhóm Một biểu diễn sinh S có hữu hạn phần tử phần tử Nếu P = hS|Di gọi hữu hạn quan hệ hữu hạn D có hữu hạn S D có hữu hạn phần tử P biểu diễn hữu hạn Nếu S = {a1 , a2 , a3 , }, D = {r1 , r2 , r3 , } ta sư dơng kÝ hiƯu P = ha1 , a2 , a3 , |r1 , r2 , r3 , i, trường hợp ri gọi hệ tử P = ha1 , a2 , |r1 = 1, r2 = 1, i, ri = gọi hệ thức 1.3.2 Ví dụ sinh (1) Nhóm Cyclic vô hạn a, có biểu diễn C = ha|i với hệ tử định nghĩa rỗng Tổng quát nhóm tự FS với c¬ së tù S cã biĨu diƠn F = hS|i (2) Nhóm Cyclic hữu hạn 1.4 Cn có bậc n, cã biĨu diƠn Cn = ha|an = 1i TÝch tự 1.4.1 Định nghĩa C viết theo lối nhân với phần tử Giả sử H K hai nhóm Nhóm L gọi tích tự H K có đồng cấu: iH : H −→ L vµ iK : K −→ L thoả mÃn điều kiện sau: Với cặp đồng cấu : H G : H G G nhóm bất kì, cã nhÊt ®ång cÊu γ : L −→ G cho α = γ ◦ iH vµ β = γ ◦ iK Ta cã biĨu ®å iH H @ α@ @ R @ L i K K ∃!γ ? G Qua theo dõi biểu đồ dễ dàng thÊy r»ng tÝch tù cđa nhÊt (sai kh¸c mét đẳng cấu) Ta kí hiệu H K lµ H ? K DƠ dµng thÊy r»ng tÝch tự tồn ta viết biĨu diƠn cho H ? K Gi¶ sư H K cho biểu diễn H = hS|Di K = hT |Ei Bằng cách thay đổi chữ cần thiết ta giả thiết S T dời nhau, tức S ∩ T = ∅ Th× biĨu diƠn cho H ? K cã d¹ng H ? K = hS ∪ T |D Ei Do định nghĩa đòi hỏi ánh xạ iH iK đồng cấu cảm sinh bao hàm phần tử sinh nên hai đơn cấu Thật vậy, ta định nghĩa : H ? K H cho t­¬ng øng s 7→ s, t 7→ víi mäi s ∈ H t ∈ K th× ϕ đồng cấu iH đồng cấu đồng H , iH đơn cấu ta có Cuối cho ®ång cÊu H ∩ K = {1} T­¬ng tù iK đơn cấu , định nghĩa, ®­ỵc cho bëi γ(s) = α(s) víi mäi s ∈ S vµ γ(t) = β(t) víi mäi t ∈ T xác định đồng cấu Như từ định nghĩa cho ta ánh xạ xác định Trong định nghĩa tích tù H ? K lµ nhãm tù chøa H K Nhóm H , K gọi nhân tử tự H ? K 1.4.2 VÝ dô Cho Zp = hα|αp = 1i, Zq = hβ|β q = 1i th× Zp ? Zq = hα, β|αp = 1, β q = 1i, hc Zp ? Zq = hα, β|αp , β q i Một biểu thức hay từ luân phiên H ? K tích có dạng h1 k1 h2 k2 · · · hm km ®ã hi ∈ H vµ ki ∈ K Theo quy ­íc ta thừa nhận hai h1 km không biểu diễn, tức phần đầu ci cđa biĨu thøc cã thĨ kh«ng cã Nh­ vËy biĨu thøc cã thĨ cã mét d¹ng: h1 k1 h2 k2 · · · hm km hc k1 h2 k2 · · · hm km ®ã h1 không biểu diễn, h1 k1 h2 k2 à à à hm km không biểu diễn, hc k1 h2 k2 h2 · · · hm km không biểu diễn Số nhân tử biểu diễn gọi độ dài từ Ta thừa nhận biểu thức rỗng có độ dài Một biểu thức luân phiên gọi rút gọn hi 6= 1H ki 6= 1K biểu diễn Nếu biểu thức luân phiên không rút gọn biểu thức luân phiên ngắn thu cách di dời hạng tử gộp chúng lại Do biểu thức luân phiên thức luân phiên hi = 1H , h1 k1 · · · ki−1 hi ki · · · hm km cã thÓ thay thÕ b»ng biÓu h1 k1 · · · hi−1 (ki−1 ki )hi+1 · à à hm km có luân phiên biểu diễn nhóm phần tử Tiếp tục theo cách cuối ta đến biểu thức luân phiên rút gọn biểu diễn nhóm phần tử nguyên Chú ý biểu thức rỗng biểu thức đà rút gọn Từ lí luận ta có định lí (có thể xem chứng minh chi tiết [3], tr.33) 1.4.3 Định lý (Định lí dạng chuẩn tắc) Mỗi phần tử có dạng H ?K biểu diễn biểu thức luân phiên h1 k1 h2 k2 à à à hm km 10 víi hi 6= 1H vµ ki 6= 1K Sự H ? K, cã nghÜa lµ nÕu hai biĨu thøc b»ng h1 k1 · · · hm km = h01 k10 à à à h0n kn0 H 1.5 ki = ki0 K víi mäi H ?K th× cụ thể n = m hi = h0i i = 1, 2, , m TÝch tù với nhóm chung Ta tổng quát hoá việc xây dựng tích tự sau: Giả sử H K có đẳng cấu nhóm con, có cặp phép nhúng ( đơn cấu ) : M −→ H vµ τ : M −→ K Ta muèn d¹ng nhãm "tù nhÊt" chøa H vµ K mµ nhãm cđa chóng σ(M ) vµ τ (M ) lµ trïng nhau, tøc lµ H ∩ K = (M ) = (M ) 1.5.1 Định nghĩa chung Nhóm L gọi tích tự cđa H vµ K víi nhãm M nÕu cã ánh xạ iH : H L iK : K −→ L cho iH ◦ σ = iK thoả mÃn điều kiện sau: Mỗi cặp đồng cấu : H G : K −→ G cho α ◦ σ = G nhóm có đồng cấu : L G thoả mÃn: = iH = γ ◦ iK Ta cã biĨu ®å M σ H iH @ α @ @ R @ L @ τ @ @ R @  iK K ∃!γ ? G Theo dõi biểu đồ ta dễ dµng chØ r»ng tÝch tù víi nhãm chung L cđa H vµ K M lµ nhÊt (sai khác đẳng cấu) Ta kí hiệu L = H ? K M Cịng dƠ dµng chØ r»ng tÝch tù víi nhãm chung lµ tån ta viết biểu diễn cho diƠn L = H ? K Gi¶ sư H K cho biểu M H = hS|Di K = hT |Ei, giả sử M = hQ|V i Bằng cách thay đổi chữ cần thiết ta giả thiết diễn cho S ∩ T = ∅ Th× biĨu H ? K thu tham gia đồng ảnh M 11 M có dạng H ? K = hS ∪ T |D ∪ E, σ(q) = (q), q Qi M Các ánh xạ iH , iK đòi hỏi đồng cấu cảm sinh tác động lên phần tử sinh Cả hai đơn cấu, ta H K Cuối cho đồng cấu = σ(M ) = τ (M ) α vµ β nh­ định nghĩa, cho (s) = (s), ∀s ∈ S vµ γ(t) = β(t), ∀t ∈ T xác định đồng cấu đồng cấu thoả mÃn định nghĩa Trong trường hợp tầm thường M nhóm H ? K quy vÒ tÝch tù H ? K M Có cách kí hiệu phù hợp khác thường sử dụng Đó là, cho A = (M ) H B = (M ) K A, B đẳng cấu với qua đồng cấu = τ ◦ σ −1 : A −→ B Khi ®ã tÝch tù víi nhãm chung A = B thường kí hiệu H ? K A=B biểu diễn dạng tương đương sau H ? K = hS ∪ T |D ∪ E, a = ϕ(a), ∀a ∈ σ(Q)i A=B 1.5.2 VÝ dô XÐt hai nhóm Cyclic cấp vô hạn nhóm tương ứng qua ánh xạ c2 H = hc|i K = hd|i với A = hc2 i B = hd3 i, A B đẳng cấu với d3 tích tự tương ứng chúng lµ G = H ? K = hc, d| c2 = d3 i A=B Để sử dụng có hiệu tÝch tù víi nhãm chung ta cÇn mét biểu thức tắc hay dạng "chuẩn tắc" cho phần tử cho phương pháp để tính toán chúng để chứng minh biểu thức Cho G = H ? K lµ mét tÝch tù víi nhãm chung KÝ hiƯu mét tõ A=B hay biểu thức luân phiên giống phần tích tự Rõ ràng phần tử g G biểu thức luân phiên Nhưng có số ý cần thiết ta chưa biết chắn H K đà nhúng vào G hay chưa, ta coi biểu thức dÃy mà có ảnh tự nhiên ë 12 G cã thÓ trõ an đặt khoảng (m/4, m/4) Sau ta lại sử dụng (2.18) để đưa bi (trừ b1 , bn+1 ) trường hợp Điều cho biểu thức dạng (2.19) với vµ ∈ (−m/4, m/4) 6= 0, trõ an khác không an (m/2, m/2), bi = trõ b1 lµ cã thĨ b»ng Đặt W = S b1 , an (m/4, m/4) ta đặt E = S bn+1 , trường hợp lại ta đặt E = T m/2 S bn+1 cho ta dạng (2.16) Trường hợp NÕu m chia hÕt cho Ta tiÕp tôc làm để có dạng (2.19) với bi lẻ không chia hết cho chia hết cho m/2 Nếu (khác a1 an ) m/4 Ta rút gọn độ dài g sau Đầu tiên ta sử dụng (2.18) để quy bi = sau sử dụng hệ thức SU S = U SU, SU S = U SU (2.21) ®Ĩ biÕn ®ỉi T ai−1 ST ±m/4 ST ai+1 thµnh T ai−1 ±m/4 ST ai+1 ±m/4 T m/4 = U, T −m/4 = T 3m/4 = U nªn ST ±m/4 S = T ±m/4 ST ±m/4 ) (vì Trong kết có sè mị cđa T chia hÕt cho m/2, ta sư dụng (2.20) quy từ có độ dài lớn Do từ ban đầu có độ dài hữu hạn cuối ta thu dạng (2.19), không số nµo (trõ a1 vµ an ) lµ chia hÕt cho m/4 f = S b1 T a1 (v× ®ã T a1 ∈ H ), cßn a1 chia hÕt cho m/4 ta đặt W f = S b1 lại ta đặt W Nếu e = ST an S bn+1 ( T an H ) , lại an chia hết cho m/4 ta đặt E e = S bn+1 ta đặt E Nếu Trong trường hợp g có dạng f S b1 T a1 · · · S bn T an E, e g=W víi f, E e ∈ H = G(4, 4, 4) , bi lẻ không chia hết cho m/4 W 28 (2.22) Đây gần giống với dạng (2.16) Để có hạn chế cần thiết W, E, , bi ta làm từ trái qua phải, đẩy nhân tử theo hướng phải Cho phần tử H1 lµ nhãm H sinh bëi S vµ SU S Trong hai phần tử sinh S giao hoán qua nhân tử S b T a (biến đổi thành S b T a ) Trong SU S hấp thụ vào vào nhân tử ST a : SU S −1 ST a = SU T a = ST a+m/4 , mà không thay đổi điều kiện (2.23) không chia hết cho m/4 Nhân tử f di chuyển theo hướng phải Từ H = H1 bị bỏ di từ W f thành I, S U mà sau ta H1 ∪ S H1 ∪ U H1 , ta biến đổi W gọi W Sau ta làm việc từ trái qua phải, sử dơng (2.18) ®Ĩ thay ®ỉi mét sè bi tõ thành sử dụng (2.20) để (m/4, m/4) Cuối e , lại ta đặt E = E e Theo nhân tử U ta an < ta đặt E = U E đặt an (0, m/4), ta thu dạng (2.16) Chứng minh (Bổ đề 2.2.4) Giả thiết ta đà có g = W ST a1 à · · ST an E, vµ 0 g −1 = W ST a1 · · · ST an0 E , với hạn chế riêng cho W, , E, W , a0i , E Ta sÏ chØ r»ng cã nhÊt c¸ch chän cho chóng ta biĨu thøc W , n0 , a0i , E Mỗi cách chọn khác 0 W ST a1 · · · ST an EW ST a1 · · · ST an0 E dạng tổng quát W S b1 T a1 · · · S bN T aN E, víi bi lẻ không chia hết cho (2.24) m/4, W, E H Theo bổ đề 2.1.3 biểu thức đơn vị, mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.3 ta xét trường hợp gg −1 = I Nh­ chøng minh m Gi¶ sư m lẻ Ta phải chọn W thoả mÃn EW S luỹ thừa chẵn S NÕu sù lùa chän W ST a1 · · · ST an (EW S)T nµy a01 · · · ST không a0n0 thực E lại cã d¹ng (2.24) Do W ∈ {I, S } nên có xác cách chọn Bây từ EW S luỹ thừa chẵn S Nó giao hoán qua tất nhân tử 0 ST a , cho ta biĨu thøc d¹ng W ST a1 · · · ST an T a1 · · · ST an0 E , 29 sè cị, vµ E míi lµ EW S lÇn sè cị NÕu an + a01 6= ta lại có dạng (2.24) ta phải có an + a01 = hay a01 = −an B©y ta lại đẩy nhân tử S theo hướng phải tìm thấy giá trị a02 thoả mÃn để tránh dạng (2.24) Tiếp tục trình với a0i xác định an+1i ta đà làm trước Ta có để lại vài luỹ thõa cđa tiªu NÕu n0 6= n ST a (hoặc ST a ) không bị triệt n = n0 a0i chọn đúng, cuối ta thu dạng W ì (sự di chuyên luỹ thừa S ) ì E Đó chọn lựa E làm cho biểu thức đơn vị Giả sử m = 2k, k lẻ Cách lí luận tương tự, E luỹ thừa S cã thĨ nh©n U Nh­ tr­íc nÕu luỹ thừa lẻ, ta phải chọn W = I, dó luỹ thừa chẵn ta ph¶i chän W = S NÕu lựa chọn không thực hiện, ta giao hoán nhân tử U phía phải thu dạng (2.24), I Nếu lựa chọn thực EW S luỹ thừa chẵn S , nhân U giao hoán qua nhân tử ST a Sau tiếp tục làm tương tự với = an+1i với E xác định nhân tử lại sau nhân tử ST a bị triệt tiêu Cuối giả sử m chia hÕt cho Cịng lÝ ln t­¬ng tù víi mét vài bổ xung bước phức tạp ®Õn tõ l thõa cđa cã phÇn tư nhãm H1 cđa H sinh bëi SU S −1 vµ S phần tử giao hoán qua (hoặc hấp thu vào) dạng U Nhắc l¹i r»ng ta ST a Ta viÕt gg −1 d­íi 0 W ST a1 · · · ST an S −1 (SEW )ST a1 · · · ST an0 E SEW biểu thị xh, x {I, S , U } vµ h ∈ H1 Ta đẩy h theo tất cách bên phải cho biểu thức có dạng 0 W ST a1 · · · ST an S −1 xST a1 · · · ST an0 E NÕu (2.25) x = S , biểu thức lại có dạng (2.24) I Nếu x = U ta lại sử dụng đồng thức S −1 U S = U S U vµ hÊp thơ l thõa cđa U vµo T an T a1 để đặt biểu thức vào dạng (2.24) Do có 30 cách làm cho gg = I x = I tương đương víi SEW ∈ H1 Cïng h­íng víi sù kiểm tra đó, với mÃn E H có nhÊt W ∈ {I, S , U } thoả SEW H1 Một dạng W chọn h đẩy bên phải, ta cã mét biÓu thøc cã 0 W ST a1 · · · ST an T a1 · · à ST an0 E , a0 E xác định số cũ tương ứng Nếu an + a01 không chia hết cho dạng (2.24) không ma trận đơn vị Từ a01 trị m/4 (m/4, m/4) có hai giá a01 để an + a01 chia hết cho m/4, mét lµ an + a01 = 0, vµ tr­êng hợp khác an + a01 = m/4 Nếu an + a01 = m/4 ta sử dụng đẳng thức (2.21) tính chất an1 a02 chia hết cho phải có a01 m/4 để có dạng (2.24) Do ta = an Tương tự a02 xác định an1 tiếp tục ta phải có n = n0 Sau n − b­íc gi¶n ­íc ta cã biÓu thøc: W ST a1 T an (biÕn ®ỉi l thõa cđa S )hE Tại điểm lí luận bị hạn chế (2.26) a1 + a0n 6= m/4 Dù a0n (0, m/4) Một hai a1 m/4 a1 , hai, (0, m/4) Đây giá trị an0 mà giữ cho (2.26) từ dạng (2.24) Một hai cách lựa chọn thực hiện, W ST a1 T an (biÕn ®ỉi l thõa cđa S )h H , E phải chọn phần tử nghịch đảo phần tử Bây ta quay trở lại dạng tắc cho nhóm ban đầu ta có 2/p A = Rx 2π/q , B = Rz NÕu G(p, q) tổng quát Như p, q lẻ , G(p, q) tích tự do, phần tử viết dạng Aa1 B b1 · · · Aan B bn , víi (2.27) ∈ (−p/2, p/2), bj ∈ (−q/2, q/2) vµ tÊt số mũ (có thể trừ a1 an ) khác không Nếu p q chia hÕt cho th× G(p, q) = G([p, q], 4, 1) dạng tắc cung cấp Định lí 2.2.1 Nhưng 31 p chẵn q không chia hết cho 4? Ta xét dạng tắc Định lí 2.2.6 định nghĩa dạng tắc cho trường hợp Tuỳ thuộc vào việc áp dụng mà ta sử dụng dạng tắc hiệu 2.2.5 Định nghĩa với (Các dạng tắc) Cho p, q số tự nhiên > p chẵn q không chia hÕt cho Mét tÝch (2.27) víi tÊt c¶ số mũ khác không trừ a1 bn gọi L-dạng tắc nếu: Với i > 1, ∈ (−p/4, p/4]; a1 ∈ (−p/2, p/2]; b1 ∈ (−q/2, q/2] vµ cã thĨ b1 = q/2 nÕu n = 1; víi j > 1, bj ∈ (q/2, q/2) q lẻ bj (q/4, q/4) q chẵn R-dạng tắc nếu: Với b»ng i < n, ∈ (−p/4, p/4]; an ∈ (−p/2, p/2] vµ p/2 nÕu n = 1; bn ∈ (−q/2, q/2]; víi j < n, bj ∈ (−q/2, q/2) q lẻ bj (q/4, q/4) q chẵn C-dạng tắc nếu: Với i > 1, ∈ (−p/4, p/4]; a1 ∈ (−p/2, p/2]; bn ∈ (−q/2, q/2]; víi j < n, bj ∈ (−q/2, q/2) nÕu q lẻ bj (q/4, q/4) q chẵn Thực chất khác biệt dạng tắc vị trí đặt nhân tử Rx Rz Trong L-dạng tắc chúng đặt bên trái, R-dạng tắc chúng đặt bên phải, C-dạng tắc chuyển sang trái Rx di Rz di chuyển sang phải Nếu q lẻ , Rz không xuất L-dạng tắc C-dạng tắc trùng 2.2.6 Định lý (Các dạng tắc cho nhóm số nguyên dương G(p, q) >3 với p chẵn q G(p, q)) Cho p, q không chia hết cho Mỗi phần tử viết dưói L-dạng tắc (hoặc R-dạng tắc C-dạng tắc) Chứng minh Chứng minh ta chia làm số bước chung Đầu tiên ta phần tử G(p, q) đặt dạng tắc Tiếp theo ta có R-dạng tắc có phần tử ®ång 32 nhÊt lµ A0 B Sau ®ã ta R-dạng tắc cách phần tử L-dạng tắc có phần tử nghịch đảo R-dạng tắc Cuối ta L-và C-dạng tắc quan hệ chúng với R-dạng tắc có độ dài Ta chứng minh định lí với ý ta đà có Định lí 2.1.2, ta áp dụng tính chất định lí với đồng Bước1 Từ tư cđa α víi A vµ β víi B A vµ B sinh nhãm G(p, q) vµ tõ Ap = B q = I nên phần G(p, q) viết dạng (2.27) với ∈ (−p/2, p/2], bj ∈ (−q/2, q/2] vµ víi tất số mũ khác không trừ a1 bn Nếu = p/2 (trừ a1 ) ta cã thĨ sư dơng 0 Aa B b Ap/2 B b = Aa+p/2 B b −b ®Ĩ rút gọn biểu thức (theo Định lí 2.1.2 ta có αp/2 βαp/2 β = ⇒ β b αp/2 = αp/2 β −b hay B b Ap/2 = Ap/2 B b ) Tương tự, bj = q/2 (trừ bn ) ta cã thĨ rót gän biĨu thøc b»ng cách sử dụng từ Định lí 2.1.2 ta có (2.27) với 0 Aa B q/2 Aa B b = Aa−a B b+q/2 (còng B q/2 Aa = A−a B q/2 ) Do ®ã ta cã thĨ thu dạng i > 1, 6= (p/2, p/2) với j < n, 6= bj (q/2, q/2) Giả sử q lẻ Để đặt biểu thức ta dạng L-chính tắc (hoặc C-chính tắc) ta phải điều chỉnh số mũ , i > mà không thuộc (p/4, p/4] p/2 (cũng giống phần chứng minh Định lí 2.1.2 Nếu ∈ (p/4, p/2) ta viÕt = − p/2 + p/2 th× − p/2 ∈ (−p/4, 0) vµ ta coi lóc nµy lµ − p/2, tương tự (p/2, p/4] ta coi lúc + p/2) cách sử dơng hƯ thøc Aai−1 B b Aai ±p/2 = Aai−1 B b A±p/2 Aai = Aai−1 Ap/2 B −b Aai = Aai1 +p/2 B b Aai , (áp dụng Định lí 2.1.2) Ta bắt đầu điều chỉnh từ an với sử dụng an1 bn1 , sau víi an−1 cïng víi sù sư dơng an−2 vµ bn−2 , tiếp tục tất ∈ (−p/4, p/4] (cã thÓ trõ a1 ) Trong trình số bj bị đổi dấu không làm thay đổi điều kiện 33 bj ∈ (−q/2, q/2), bj 6= Ngoµi b1 ban đầu không chia hết cho q/2, bj lại không chia hết cho q/2 Để đặt biểu thức ta dạng R-chính tắc, ta điều chØnh a1 cïng víi sù sư dơng b1 vµ a2 cách sử dụng hệ thức (chú ý ta còng cã Aai−1 ±p/2 B b Aai = Aai−1 B −b Aai +p/2 ), sau ®ã ®iỊu chØnh a2 an1 Ta thấy rõ ràng biểu thức L-dạng tắc biến đổi thành biểu thức R-dạng tắc độ dài ngược lại Giả sử q chẵn Để đặt biểu thức dạng tắc, ta ®iỊu chØnh sè mị bj b»ng c¸ch sư dơng hƯ thøc: B bi Aa B bi+1 +q/2 = B bi +q/2 A−a B bi+1 ®Ĩ bj ∈ (−q/4, q/4) chuyển L-dạng tắc ( áp dụng B bi +q/2 Aa B bi+1 = B bi A−a B bi+1 +q/2 , chuyển R C-dạng tắc) TiÕp theo sù ®iỊu chØnh cịng gièng nh­ tr­êng hợp điều kiện q lẻ Nhận thấy điều kiện bj (q/4, q/4) tương đương với bj (q/4, q/4) nên điều chỉnh không ảnh hưởng tới điều kiện bj Hơn nữa, rõ ràng chuyển đổi từ dạng tắc sang dạng tắc khác không làm thay đổi độ dài từ Bước Ta phải từ không tầm thường R-dạng tắc đơn vị Thực chất giống lí luận chứng minh Định lí 2.1.2 Nhúng sinh 2/m T = Rx G(p, q) vào G(m, 4, 1), m = pq , G(m, 4, 1) vµ Ta viÕt lại từ số mũ vài nhân tư π/2 S = Ry Chó ý r»ng A = T q , B = S T p S A vµ B bëi mét tõ b»ng S T Mặc dù tất S từ lẻ, biểu thức giống dạng (2.24), T m/4 xuất Ta loại bỏ điều cách sử dụng hệ thức 0 T b S T m/4 ST b = T b−m/4 S T b +m/4 (do S U S = U S U nªn S T m/4 S = T −m/4 S T m/4 ) Trừ từ nguyên A0 B ; A0 B q/2 ; Ap/2 B hc Ap/2 B q/2 , kết biến đổi dạng (2.24) theo Bổ đề 2.1.3 34 đơn vị Ba trường hợp đặc biệt Ap/2 B , A0 B q/2 Ap/2 B q/2 tách kiểm tra không đơn vị Bước Ta từ L-dạng tắc có nhiêu nghịch đảo R-dạng tắc Ta viÕt 0 0 g = Aa1 B b1 · · · Aan B bn , g −1 = Aa1 B b1 · · · Aan0 B bn0 , g L-dạng tắc, g R-dạng tắc Ta rằng, trừ a0i b0i lựa chọn xác, tích gg đặt R-dạng tắc, không ma trận đơn vị Ta chứng minh điều quy nạp Sự phần tử nghịch đảo dễ dàng kiểm tra với tử nghịch đảo cho n = Phần Aa B b , với a, b khác không, A0 B b Aa B , trừ q chẵn b (q/4, q/4), trường hợp phần tử nghịch đảo A0 B q/2b Aa B q/2 Phần tử nghịch đảo Aa B Aa B , phần tử nghịch đảo nhÊt cđa cho A0 B b lµ A0 B −b , phần tử nghịch đảo A0 B A0 B Bây ta giả sử điều khẳng định chứng minh với biểu thøc cđa (trõ an n = k vµ ta có g có độ dài n = k + NÕu bn = 0, ta ph¶i cã a01 = −an = p/4, trường hợp a01 = p/4) tích 0 0 gg −1 = Aa1 B b1 · · · Aan +a1 B b1 · · · Aan0 B bn0 Nếu a01 lựa chọn đúng, sè mị an + a1 kh«ng chia hÕt cho p/2, thế, cách di chuyển luỹ thừa Ap/2 B q/2 từ trái qua phải, biểu thức đặt R-dạng tắc không tầm thường, đơn vị Khi a01 lựa chọn đúng, gAa1 từ có ®é ®µi n − = k Nã cã thể biến đổi sang L-dạng tắc theo giả thiết quy nạp, nghịch đảo R-dạng tắc xác định Nhưng dạng nghịch đảo xác 0 A0 B b · · · Aan0 B bn, , b1 , a2 , xác định nhÊt NÕu bn 6= 0, ta ph¶i cã a1 = hc 0 gg −1 = Aa1 B b1 · · · Aan B bn Aa1 B b1 · · · Aan0 , 35 cã thĨ t­¬ng tự vận động vào R-dạng tắc không tầm thường Bằng lí luận tương tự ta phải có b01 b»ng = −bn Nh­ng gB b1 lµ từ có độ dài k + với số mũ cuối 0, phần tử nghịch đảo xác định suy luận phần trước Do phần tử g G(p, q) đặt dạng L-chính tắc, điều phần tử g G(p, q) có dạng nghịch đảo R-dạng tắc Do g = (g )1 có R-dạng tắc Bước Ta đếm số từ có độ dài n cho dạng đặc biệt cách nhân số cách chọn cho bi Số lẻ pq(p/2 1)n1 (q − 1)n−1 nÕu q pq(p/2 − 1)n−1 (q/2 − 1)n1 q chẵn, cho dạng tắc Bây xét tập hợp tất R-dạng tắc có độ dài n nhỏ Ta đà chúng chuyển sang L-dạng tắc có độ dài n nhỏ Do số L-dạng tắc số R-dạng tắc, dạng R-chính tắc tương ứng với phân tử phân biệt G(p, q), L-dạng tắc thu xác theo cách Do dạng L-chính tắc phân biệt có độ dài n nhỏ tương ứng với R-dạng tắc phân biệt, dẫn đến phần tử phân biệt G(p, q) Vì n tuỳ ý, điều L-dạng tắc Lí luận tương tự ta C-dạng tắc 2.2.7 Nhận xét dương Nếu Trên ta đà xét nhóm G(p, q) với p, q số nguyên p q âm ta đặt p0 = p q = −q ta cã nhãm G(p0 , q ) Xét thêm trường hợp p, q sè h÷u tØ hay p = t/k, q = r/s víi t, r > k, s 6= NhËn thÊy: Rx2π/p = Rx2πk/t = (Rx2π/t )k ∈ G(t, r), vµ Rz2π/q = (Rz2π/r )s ∈ G(t, r) 36 ®ã G(p, q) ⊂ G(t, r) Nh­ vËy d¹ng chÝnh tắc cho nhóm G(p, q) dễ dàng suy từ nhóm G(t, r) đà xét Còn trường hợp p, q số vô tỉ hay siêu việt? Chương sau ta xét trường hợp đặc biệt có quay p số vô tỉ trường hợp có góc mà ei siêu việt 37 Chương Phép quay đại số siêu việt Trong chương trình bày ví dụ nghiên cứu vÒ nhãm G(v, 4) 2π/4 hRxv , Ry = i v tích số vô tỉ cho trước với Sau có định lí nghiên cứu bước đầu nhóm 2/4 G(, 4) = hRx , Ry i với ei siêu việt 3.1 BiĨu diƠn cho nhãm G(v,4) Cho v = tan−1 (1/2) = tan−1 (4/3) Trong kh«ng gian chiỊu, xÐt nhãm π/2 G(v, 4, 4) sinh bëi T = Rxv , Rx vµ π/2 Ry XÐt nhãm G(v, 4, 1) sinh bëi π/2 T = Rxv vµ Ry , xa nhóm G(v, 1, v) Ta cịng cã mét sè kÕt qđa t­¬ng tù nh­ trường hợp số hữu tỉ 3.1.1 Bổ đề Một biểu thøc d¹ng W S b1 T a1 · · · S bn T an E, víi W, E ∈ G(1, 4, 1), bi lẻ, 6= 0, n > 0, (3.1) đơn vị Chứng minh Giống bổ đề 2.1.3, ta xét tích Fa ST a , Fa nhân tử số Ta tất phần tư cđa ma trËn thc vµnh R, vµ chØ phần tử (1,2), (1,3), (2,2) (2,3) không thuộc iđêan tối đại I Trong bổ đề Ta thấy R = Z, I iđêan (5), R/I = Z5 , vµ Fa = 5|a| tan v = 1/2 ⇒ cos v = 3/5, sin v = 4/5 nên cos nv sin nv tương ứng phần thực phần ảo (3 + 4i)n /5n Nếu n 38 > phần thực phần ảo (3 + 4i)n theo thứ tự (mod 5) (Bằng cách sử dụng tính chất đồng dư ta dễ dàng chứng minh điều quy nạp) Do đó, với số nguyên dương a, 5a cos(av) 5a sin(av) sè tù nhiªn nh­ng a < 0, 5−a cos(av) = 5a cos(av) không chia hết cho Ngược lại 5a sin(av) = 5a sin(av) số nguyên không chia hết cho Vì S bi T có dạng (2.7) (2.8) nên Fai S bi T cã d¹ng   ε β 0 γ δ  ( mod 5), 0 (3.2) với , , , phần tử khác không Z5 Nhưng tích hai hay nhiều phần tử dạng lại có dạng thÕ F = F S b1 T a1 S b2 T a2 · · · S bn T bn , Qn i=1 Fai , lại có dạng Ma trËn nhãm G(1, 4, 1) nh©n víi ma trận khác ma trận trở thành ma trận đổi dấu hoán vị Vì ma trËn F W S b1 T a1 S b2 T a2 · · · S bn T bn E cã phần tử khác không Z5 Nhưng F nhân với ma trận đơn vị ma trËn theo modulo 5, ®ã 3.1.2 F W S b1 T a1 S b2 T a2 · · · S bn T bn E kh«ng thĨ b»ng ma ttrận đơn vị Định lý Nhóm G(v, 4, 1) sinh bëi S vµ T cã biĨu diƠn lµ hα, β|β , β αβ αi víi phÐp ®ång nhÊt α → T, β → S Chøng minh nh xạ cho tương ứng trừu tượng tới T S đồng cấu từ nhãm G(v, 4, 1) vµ nã lµ toµn cÊu Ta phải đẳng cấu Sử dụng hệ thức đà cho ( viết theo αa = α−a β , β = 1) , từ viết dạng luỹ thừa viết dạng bW a1 a2 à à · βαan β bE , ®ã n > 6= Theo bổ đề 3.1.1, ảnh biểu thức vị Chỉ có nhÊt l thõa cđa 3.1.3 HƯ qu¶ Nhãm G(v, 4, 1) khác đơn qua ánh xạ đơn vị = G(v, 1, v) nhóm G(v, 4, 1) đẳng cấu với nhóm tự sinh phần tử, với phần tử sinh tương ứng Chứng minh T S T S Mỗi từ không tầm thường viết T S T S có dạng (3.1), không đơn vị 39 3.2 Nhóm G( ,4) 3.2.1 Định lý = ei X V Ta định nghĩa phép quay (tương đương với cos() X = Rx V = S XS = Rz , ) siêu việt Thì nhóm sinh nhóm tự với hai phần tử sinh Chứng minh Mỗi từ nhóm sinh X V có dạng X b1 V d1 X b2 · · · e e e hc V d1 X b1 V d2 · · · , ta biểu thị dạng X b1 S X d1 SX b2 · · · hc e e e S X d1 SX b1 S X d2 · · · B»ng c¸ch sư dơng hƯ thøc S X a = X a S ta đặt biểu thức d­íi d¹ng S a SX c1 SX c2 · · · SX cn S b , ®ã (3.3) a, b, cj số nguyên Theo định nghĩa nhóm tự tất ta phải làm n > S a SX c1 SX c2 · · · SX cn S b ma trận đơn vị Mỗi nhân tư SX cj cã d¹ng   −sej cej  cej sej  , −1 0 ®ã cej (3.4) = cos(cj ω) = (ξ cj + ξ −cj )/2, sej = sin(cj ω) = (ξ cj − ξ −cj )/2i SX c1 SX c2 · · à SX cn tổng số hạng Mỗi số Q Q hạng tích j cos(cj ) = j (( cj + cj )/2) phần tử (2,2) tất Phần tử (2,2) ma trận nhân tử SX cj , đa thức bậc cao Các số hạng lại số hạng chứa nhiều luỹ thừa phần tử (3,1) -1, đa thức bậc thấp số hạng đầu tích Q j Tổng đa thức với cos(cj ) Từ siêu việt, đa thức Nhân tử ma trận S a S b làm đối dấu, hoán vị ma trận, vài phần tử S a SX c1 SX c2 · · · SX cn S b phải 1, S a SX c1 SX c2 · · · SX cn S b đơn vị 40 Kết luận Trong luận văn này, đà trình bày sơ lược số khái niệm phép quay ma trËn phÐp quay; Nhãm tù do; TÝch tù cđa; TÝch tù víi nhãm chung Sau ®ã đà trình bày chứng minh cách tỉ mỉ phần báo [4] Charles Radin Lorenzo Sadun nghiên cứu cấu trúc dạng tắc nhóm G(p, q) nhóm nhóm SO(3) thông qua định lí quan trọng Định lí 2.1.2, Định lí 2.2.1 2.2.6 Cuối luận văn trình bày nghiên cứu nhóm 2π/4 Ry ®ã G(v, 4) sinh bëi Rxv v tích số vô tỉ với Sau trình bày ví dụ nghiên cứu bước đầu vÒ nhãm 2π/4 G(ω, 4) = hRxω , Ry i với ei siêu việt Nếu có điều kiện muốn nghiên cứu thêm nhóm p, l, q số nguyên dương 41 G(p, l, q) với Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm Văn Hùng (2006), Các giảng số học (Tập 1+2), Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Ngô Việt Trung (2002), Giáo trình đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Charles F.Miller III (2004), Combinatorial Group Theory, www.ms.unimelb.edu.au/ cfm/ notes/ cgt-notes.pdf [4] Charles Radin, Lorenzo Sadun (1998), "Subgroups of SO(3) Associated with Tilings", Jounal of Algebra 202, pp 611-633 42