1 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Mỵ Vinh Quang, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy[.]
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Mỵ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tổ môn Đại số Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (ĐHQG TPHCM) trực tiếp giảng dạy trang bị cho đầy đủ kiến thức cần thiết làm tảng trình viết luận văn Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân giúp đỡ vật chất tinh thần để tơi hồn thành luận văn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm .6 1.2 Định lý Sylow .7 1.3 Nhóm giải 11 1.4 Nhóm lũy linh 12 1.5 Nhóm Frattini nhóm Fitting 14 1.6 π–Nhóm Hall p- nhóm lũy linh .16 1.7 Nhóm siêu giải 20 CHƯƠNG 2: NHÓM CON C – CHUẨN TẮC TỐI ĐẠI VÀ TỐI TIỂU CỦA NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM HỮU HẠN 22 2.1 Nhóm c – chuẩn tắc 22 2.2 Các bổ đề 24 2.3 Kết .33 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 BẢNG KÍ HIỆU H ≤ G, H < G H nhóm con, nhóm thật G H G H nhóm chuẩn tắc G H < ⋅G H nhóm tối đại G xy y −1 xy [ x, y ] x −1 y −1 xy CG ( H ), N G ( H ) Tâm hóa tử, chuẩn hóa tử H G Hg g −1Hg HG Phần chuẩn tắc (core) H G Aut (G ) Nhóm tự đẳng cấu nhóm G G ' = [G, G ] Nhóm dẫn xuất nhóm G Z (G ) Tâm nhóm G F (G ) Nhóm Fitting nhóm G Φ (G ) Nhóm Fratini nhóm G LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết nhóm hữu hạn có vai trị đặc biệt quan trọng lý thuyết nhóm nói riêng đại số nói chung Việc tìm mối quan hệ tính chất nhóm tối đại nhóm tối tiểu nhóm với tính chất cấu trúc nhóm hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học thực nhóm hữu hạn Năm 1970, Buckley chứng minh nhóm hữu hạn có cấp lẻ nhóm siêu giải nhóm tối tiểu chuẩn tắc Năm 1980, Srinivasan nhóm hữu hạn siêu giải nhóm tối đại nhóm Sylow chuẩn tắc Đến năm 1996, Wang giới thiệu khái niệm nhóm c – chuẩn tắc nhóm hữu hạn Theo định nghĩa mà ơng đưa rõ ràng nhóm chuẩn tắc nhóm hữu hạn nhóm c – chuẩn tắc nhóm điều ngược lại chưa Do câu hỏi tự nhiên đặt tính chất với nhóm thỏa mãn điều kiện liên quan đến nhóm chuẩn tắc nhóm cịn ta thay chúng với nhóm c – chuẩn tắc? Ông ứng dụng khái niệm vào việc nghiên cứu nhóm hữu hạn cách thay điều kiện chuẩn tắc điều kiện yếu c – chuẩn tắc Từ nhà tốn học thu nhiều kết sâu sắc thú vị mở rộng kết biết trước Trong phạm vi đề tài này, chúng tơi xét đến nhóm hữu hạn Chúng tơi trình bày số điều kiện liên quan đến nhóm c – chuẩn tắc nhóm hữu hạn G để G nằm họ bão hòa chứa lớp nhóm siêu giải từ xem xét vài tiêu chuẩn để nhóm hữu hạn siêu giải có bảo tồn thay điều kiện cho nhóm chuẩn tắc chúng điều kiện với lớp nhóm hẹp hơn, nhóm c – chuẩn tắc Nội dung luận văn dựa báo [10] Luận văn chia làm chương sau: Chương I Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm tính chất bản, chứng minh số định lý bổ đề dùng luận văn Chương II Nhóm c – chuẩn tắc tối đại tối tiểu nhóm Sylow nhóm hữu hạn Đây chương luận văn, chương gồm phần sau: Phần 1: Nêu khái niệm nhóm c – chuẩn tắc số tính chất nhóm c – chuẩn tắc Phần 2: Đưa bổ đề thể mối quan hệ nhóm c – chuẩn tắc, nhóm chuẩn tắc, nhóm lũy linh, nhóm giải được, nhóm siêu giải …, tính chất cần thiết để sử dụng trình chứng minh kết phần Phần 3: Chứng minh, làm rõ định lý luận văn Qua nêu lên số tiêu chuẩn để nhóm hữu hạn nhóm siêu giải dựa điều kiện có liên quan đến nhóm c – chuẩn tắc chúng Dù cố gắng luận văn khó tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy bạn đọc đóng góp để luận văn hoàn chỉnh CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Cho G nhóm, H nhóm G Khi đó: NG ( H ) = H } gọi chuẩn hóa tử H G {g ∈ G : H g = CG ( H ) = Z (G ) = {g ∈ G : h {g ∈ G : g x g = h, ∀h ∈ H } gọi tâm hóa tử H G = g , ∀x ∈ G} gọi tâm G 1.1.2 Định nghĩa phần chuẩn tắc Cho G nhóm X tập khác rỗng G Phần chuẩn tắc (hay core hay normal interior) X G hợp tất nhóm chuẩn tắc G chứa X , kí hiệu X G hay coreG ( X ) Nếu khơng có nhóm ta quy ước X G = Nhận xét Cho H nhóm nhóm G Khi H G nhóm chuẩn tắc lớn G chứa H H G = g∈G g −1Hg 1.1.3 Mệnh đề (Luật Modular Dedekind) [6, 1.3.14] Cho H , K , L nhóm G K ⊆ L Khi HK ∩ L = ( H ∩ L) K 1.1.4 Định nghĩa nhóm chuẩn tắc tối đại tối tiểu Cho G nhóm H G H gọi nhóm chuẩn tắc tối đại G H < G không tồn N G cho H < N < G H gọi nhóm chuẩn tắc tối tiểu G H < G không tồn K G cho < K < H 1.1.5 Định nghĩa nhóm đặc trưng Cho G nhóm H ≤ G H gọi nhóm đặc trưng G , kí hiệu H char G , với f ∈ Aut ( G ) ta có f ( H ) = H 1.1.6 Tính chất nhóm đặc trưng [1, Mệnh đề 8.2] i) Nếu H char G H G ii) Nếu H char K , K char G H char G iii) Nếu H char K , K G H G 1.1.7 Định nghĩa nhóm chuẩn tắc Một nhóm H G gọi nhóm chuẩn tắc G tồn dãy H H1 H H n = G 1.1.8 Định nghĩa Nhóm G gọi thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc hóa nhóm thực G thực chứa chuẩn hóa tử nó, nghĩa H < N G ( H ) với H < G 1.1.9 Định nghĩa PN – nhóm Một nhóm G gọi PN − nhóm nhóm tối tiểu, nghĩa nhóm có cấp nguyên tố, chuẩn tắc G 1.1.10 Định nghĩa Nếu cấp phần tử nhóm G hữu hạn bị chặn G gọi có số mũ hữu hạn Khi đó, số mũ G bội chung nhỏ cấp tất phần tử G Kí hiệu: exp ( G ) 1.1.11 Định nghĩa Một nhân tử nhóm G nhóm thương H K với H , K G H K nhóm chuẩn tắc tối tiểu G K 1.2 Định lý Sylow 1.2.1 Định nghĩa tác động nhóm lên tập hợp Cho ( G ,.) nhóm, X tập hợp khác rỗng Tác động trái nhóm G lên tập X ánh xạ *: G × X → X ( g, x) g * x thỏa mãn hai điều kiện: i) 1* x = x, ∀x ∈ X ii) ∀g1 , g ∈ G, ∀x ∈ X , ta có ( g1.g ) * x = g1 * ( g * x ) Khi với x ∈ X , Gx = x} nhóm G , gọi nhóm {g ∈ G : g * x = ổn định x G Tập G ( x) = { g * x ∈ X : g ∈ G} gọi quỹ đạo x X 1.2.2 Mệnh đề i) Hai quỹ đạo rời ii) X = = G ( x ) G ( x ) (hợp rời) i x∈X i∈I iii) Nếu X tập hữu hạn = X G ( x ) ∑ G : G ∑= i i∈I i∈I xi iv) Nếu G nhóm hữu hạn G Z ( G ) + ∑ G : Gxi = i∈I 1.2.3 Định nghĩa Cho G nhóm p số nguyên tố Khi đó: i) G gọi p − nhóm phần tử G có cấp lũy thừa p ii) Nhóm H G gọi p − nhóm G H p − nhóm iii) Nhóm H G gọi p − nhóm Sylow G H phần tử tối đại tập p − nhóm G theo quan hệ bao hàm Nhận xét Một nhóm G hữu hạn p − nhóm cấp G lũy thừa p 1.2.4 Định lý Sylow [6, 1.6.16] n = m, ( m, p ) Khi đó: với G p= Cho p số nguyên tố G nhóm hữu hạn i) Với ≤ k ≤ n , tồn G p − nhóm cấp p k Nói riêng, tồn G p − nhóm Sylow G ii) Mọi p − nhóm H G nằm p − nhóm Sylow G iii) Tất p − nhóm Sylow G liên hợp với iv) Số p − nhóm Sylow G ước m đồng dư với 1(mod p ) 1.2.5 Định lý Cauchy [1, Định lý 6.2] Nếu G nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho số nguyên tố p G chứa phần tử cấp p 1.2.6 Mệnh đề i) Nếu G p − nhóm hữu hạn G ≠ Z (G ) ≠ ii) Nếu G p − nhóm hữu hạn H nhóm chuẩn tắc khơng tầm thường G H ∩ Z (G ) ≠ Chứng minh i) Xem [1, định lý 6.4] ii) Xét tác động G × H → H , với g ∗ h ghg −1 ∈ H ta có cơng thức thành quỹ = H Z ( G ) + ∑ G : C ( hi ) hi ∉ H Z ( G ) nên C ( hi ) nhóm thực đạo: H i∈I G , suy G : C ( hi ) lũy thừa p ; từ suy H Z ( G ) bội p 1.2.7 Mệnh đề Cho G nhóm hữu hạn P p − nhóm Sylow G Khi P p − nhóm Sylow G P chuẩn tắc G Chứng minh Giả sử P p − nhóm Sylow chuẩn tắc Khi đó, theo định lý Sylow p − nhóm Sylow G liên hợp với P Do tính chuẩn tắc P , nhóm P Vậy P p − nhóm Sylow G Ngược lại, giả sử P p − nhóm Sylow G Khi đó, nhóm liên hợp với P có cấp với P nên chúng p − nhóm Sylow G Vì tính P nên nhóm liên hợp P Suy P p − nhóm Sylow chuẩn tắc 1.2.8 Mệnh đề Cho P p − nhóm Sylow nhóm hữu hạn G Khi đó: i) Nếu N G ( P ) ≤ H ≤ G H = N G ( H ) ii) Nếu N G P ∩ N p − nhóm Sylow N PN N p − nhóm Sylow G N Chứng minh i) Hiển nhiên H ≤ N G ( H ) Với x ∈ N G ( H ) , P ≤ H N G ( H ) nên P x ≤ H x ≤ H Khi P P x p − nhóm Sylow H nên P P x liên hợp với H Suy tồn h ∈ H cho P x = P h Do xh −1 ∈ N G ( P ) ≤ H hay x ∈ H Vậy H = NG ( H ) ii) Ta có N ] [ PN = : P] [ N : P ∩= PN = : P n với (n, p ) = Mà P ∩ N ≤ P nên P ∩ N p − nhóm G Mặt khác, P ∩ N ≤ N nên P ∩ N p − nhóm N Do N : P ∩ N= [ N : P ∩ N=] n với (n, p ) = nên P ∩ N p − nhóm Sylow N Chứng minh tương tự ta PN N p − nhóm Sylow G N 1.2.9 Mệnh đề Nếu H nhóm chuẩn tắc hữu hạn nhóm G P p − nhóm Sylow H G = N G ( P ) H Chứng minh Cho g ∈ G , P g ≤ H (do tính chuẩn tắc H ) P g p − nhóm Sylow H Theo định lý Sylow, tồn h ∈ H cho P g = P h Do gh −1 ∈ N G ( P ) hay g ∈ NG ( P ) H 1.2.10 Định nghĩa Với G p − nhóm, nhóm sinh phần tử x cho x p = kí hiệu k Ωk ( G ) 1.2.11 Mệnh đề Một p − nhóm G PN − nhóm Ω1 ( G ) ≤ Z ( G ) Chứng minh Do G p − nhóm nên nhóm chuẩn tắc không tầm thường G giao với Z ( G ) không tầm thường Xét tác động G × H → H , g * h ghg −1 ∈ H Ta có cơng thức thành quỹ đạo H = H ∩ Z ( G ) + ∑ G : C ( hi ) hi ∉ H ∩ Z ( G ) nên C ( hi ) i∈I nhóm thực G , suy G : C ( hi ) lũy thừa p ; từ suy H ∩ Z ( G ) bội p Ω1 ( G ) p − nhóm abel sơ cấp nên Ω1 ( G )= yi y1 × y2 × × yk nhóm cấp p nên chúng nhóm tối tiểu G Theo tính chất PN − nhóm chúng nhóm chuẩn tắc G Suy yi ∩ Z ( G ) ≠ , tính chất tối tiểu yi nên yi ∩ Z ( G ) = yi , từ ta có yi ≤ Z ( G ) , ∀i dẫn đến Ω1 ( G ) ≤ Z ( G ) 10 ... 2: NHÓM CON C – CHUẨN T? ?C TỐI ĐẠI VÀ TỐI TIỂU C? ??A NHÓM CON SYLOW C? ??A NHÓM HỮU HẠN 22 2.1 Nhóm c – chuẩn t? ?c 22 2.2 C? ?c bổ đề 24 2.3 Kết .33 KẾT LUẬN... đến nhóm chuẩn t? ?c nhóm c? ??n ta thay chúng với nhóm c – chuẩn t? ?c? Ông ứng dụng khái niệm vào vi? ?c nghiên c? ??u nhóm hữu hạn c? ?ch thay điều kiện chuẩn t? ?c điều kiện yếu c – chuẩn t? ?c Từ nhà tốn h? ?c. .. khái niệm nhóm c – chuẩn t? ?c nhóm hữu hạn Theo định nghĩa mà ơng đưa rõ ràng nhóm chuẩn t? ?c nhóm hữu hạn nhóm c – chuẩn t? ?c nhóm điều ngư? ?c lại chưa Do c? ?u hỏi tự nhiên đặt tính chất với nhóm thỏa