1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Quảng Đại Mưa TÍCH BỆN CHUẨN VÀ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 1 BỘ GIÁO DỤC[.]
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Quảng Đại Mưa TÍCH BỆN CHUẨN VÀ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Quảng Đại Mưa TÍCH BỆN CHUẨN VÀ CÁC NHĨM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Bùi Xuân Hải Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, phịng Sau Đại học Khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường THPT An phước, Sở giáo dục tỉnh Ninh thuận, tạo điều kiện thuận lợi để học tập hoàn thành luận văn Xin chân thành cám ơn quý thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học chuyên nghành Đại số Lý thuyết số khóa 21, trang bị cho tơi kiến thức làm tảng quý báu cho q trình nghiên cứu tơi Đặc biệt tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS - TS Bùi Xuân Hải tận tình dạy, hướng dẫn tơi q trình thực luận văn Cám ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Cám ơn bạn lớp cao học chuyên nghành Đại số Lý thuyết số khóa 21 nhiệt tình giúp đỡ, động viên tinh thần để tơi hồn thành tốt luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, Ngày 24 tháng 09 năm 2012 Học viên Quảng Đại Mưa LỜI NĨI ĐẦU Các nhóm hốn vị đóng vai trị quan trọng lý thuyết nhóm theo Định lý Calley nhóm nhúng vào nhóm đối xứng Với hiểu biết cấu trúc nhóm hốn vị mang lại nhiều tiện lợi cho việc hiểu biết nhóm nói chung Vì vậy, khn khổ hạn hẹp đề tài, luận văn nghiên cứu xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm bất kì, sử dụng tích bện chuẩn để mơ tả nhóm Sylow nhóm đối xứng S n Để thực mục đích đó, luận chia thành hai chương gồm: Chương 1: Kiến thức sở Trong chương trình bày định nghĩa tính chất nhóm đối xứng, tác động nhóm lên tập hợp, p – nhóm hữu hạn, tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp cần thiết cho chương Chương 2: Xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm mơ tả nhóm Sylow nhóm đối xứng S n Trong chương xây dựng tích bện hai nhóm hốn vị, sau vận dụng Định lý Calley để xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm bất kì, vận dụng tích bện chuẩn để mơ tả nhóm Sylow nhóm đối xứng S n Cuối cho vài ví dụ để minh họa cụ thể MỤC LỤC CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng 1.2 Tác động nhóm lên tập hợp .10 1.3 p - nhóm hữu hạn 20 1.4 Tích trực tiếp tích nửa trực tiếp 26 CHƯƠNG XÂY DỰNG TÍCH BỆN CHUẨN VÀ MƠ TẢ CÁC NHĨM CON SYLOW CỦA NHĨM ĐỐI XỨNG S n 29 1.1 Tích bện 29 2.2 Mơ tả p- nhóm Sylow nhóm đối xứng S n 36 KẾT LUẬN .46 TÀI LIỆU THAM KHẢO .47 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng Định nghĩa 1.1.1 Cho X ≠ ∅ , tập hợp tất song ánh từ X → X nhóm với phép nhân phép hợp nối ánh xạ, gọi nhóm đối xứng tập X, kí hiệu S X , có phần tử trung hịa ánh xạ đồng − id X , phần tử nghịch đảo σ ∈ S X ánh xạ ngược σ Mỗi nhóm { nhóm S X gọi nhóm hốn vị tập X Nếu X = 1,2, ,n} ta dùng ký hiệu Sn để thay cho ký hiệu S X gọi Sn nhóm đối xứng bậc n tập X Mỗi phần tử σ nhóm Sn gọi hoán vị bậc n, viết dạng ma trận 1 n σ = , i i i i k n σ song ánh nên ik khác = σ (k) , ∀ k∈ {1, 2, ,n} Vì , chúng hoán vị n phần tử 1,2,…,n Như vậy, số hốn vị tập có n phần tử n! Ví dụ, với n =4, ta có nhóm đối xứng bậc 4, kí hiệu S4 , nhóm hữu hạn có cấp 4! = 24 Định nghĩa 1.1.2 Phần tử σ ∈ Sn gọi k – chu trình hay chu trình độ dài k tồn tập {i1 ,i2 , ,ik } ⊆ {1, 2, ,n} cho σ ( i1 ) =i2 ; σ (i2 ) =i3 ; ;σ (ik −1 ) = ik ; σ (ik ) = i , σ ( j ) = j,∀j ∈ {1, 2, ,n} \ {1 i 2,i , ,ik } Khi đó, phần tử σ viết đơn giản (i1 i2 i ) Một chu trình độ k dài chuyển vị Định nghĩa 1.1.3 Hai chu trình σ = ( ) τ = ( j j j ) gọi i i i k độc lập {i1,i2 , ,ik } ∩ { }= ∅ k j , j , , j k Như vậy, hai chu trình độc lập giao hốn với Do đó, chu trình đơi độc lập với giao hoán với Định lý 1.1.4 Cho id ≠ σ ∈ Sn Khi đó, σ phân tích thành tích chu trình đơi độc lập với Sự phân tích sai khác thứ tự chu trình độc lập Chứng minh Lấy { id ≠ σ ∈ Sn X = 1, 2, ,n} Ta nói hai phần tử x, y ∈ X tương đương với , kí hiệu: x y , tồn số nguyên n cho x = σ n y Khi đó, quan hệ quan hệ tương đương tập X Mỗi lớp tương đương gọi quỹ đạo σ Nếu x ∈ X , quỹ đạo σ chứa x , kí hiệu: x = {σ n x|n ∈ } c Do X tập hữu hạn nên tồn c ∈ + cho x = σ x Gọi m số nguyên dương nhỏ thỏa x = σ m x Khi { x = x,σ x, ,σ m−1 x} Xét chu trình độ dài m , τ = (x σ x x) Khi σ σ y, y ∈ x τy= y∉ x y, Giả sử σ có tất k quỹ đạo C1 ,C2 , ,Ck Ứng với quỹ đạo, ta m −1 có chu trình τ 1,τ , ,τ k (xây dựng theo cách làm trên) Do σ y, τi y = y, y ∈Ci ∉ y C Rõ ràng, i ≠ j Ci ∩ C j = ∅ , đói τi τ j chu trình độc lập với Ta chứng minh σ = τ1 τ2 τk Thậy vậy, với y ∈ X , đặt z = σ y Khi đó, y z nằm quỹ đạo Ci σ với τ i y = z , ∀i ∈1,k Rõ ràng , ∀i ≠ j , ta có τ j y = y τ j z = z Do τ1τ2 τk ( y ) = z = σ y , nên σ = 1τ 2τ τ k Giả sử, σ = β1β βl phân tích khác σ thành tích chu trình đơi độc lập với Vì phần tử tham gia vào chu trình β j tạo thành quỹ đạo Ci σ Do β j trùng với τ i (ứng với quỹ đạo Ci ) Vì hai phân tích khác thứ tự chu trình đơi độc lập với Hệ 1.1.5 Cấp hoán vị bội số chung nhỏ chiều dài chu trình phân tích hốn vị thành tích chu trình đơi độc lập với Chứng minh Để chứng minh Hệ 1.5, ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.1.6 Cho a, b hai phần tử giao hốn với nhóm G Giả sử a có cấp n, b có cấp m a ∩ b = eG Khi đó, cấp phần tử ab bội chung nhỏ m n =[ ] nên tồn t1 ,t2 ∈ + : d = mt1 = mt2 , mà Chứng minh Đặt d m,n d = = = d d= a n e, b m e Khi đó, ta có (ab ) = a b a nt1 b mt = e.e e Giả sử tồn ( )k = e Ta chứng minh d | k số nguyên dương k thỏa ab k = k∈ ( )k = e , suy a b − a ∩ b e Do đó, = vậy, ab k = Thật −k = a b e , nên m | k n | k Suy d = [ m,n] | k Vậy ab = a , b Ta chứng minh Hệ 1.1.5 Giả sử id ≠ σ ∈ Sn có phân tích thành chu trình đơi độc lập σ = σ σ2 σk Ta chứng minh σ = σ1 , σ2 , , σk Thật vậy, đặt d = σ1 , σ2 , , σ k Khi đó, ta có d d d ( σ ) (σ k ) = id k d σ d = (σ σ σ ) = (σ ) id Giả sử tồn số nguyên dương m thỏa m σ = Ta chứng minhd | m Thật vậy, với k = 2, ta có σ1 ,σ hai chu trình độc lập nên σ1 ∩ σ = id Áp dụng Bổ đề 1.1.6, ta d = σ1 , σ | m Giả sử điều khẳng định với trường hợp nhỏ k Vì σ i chu trình đơi độc lập nên ta có suy m id = σ m = (σ1 σ σ k )m = (σ 1.σ σ k −1) (σ k )m , (σ1.σ σ k −1 )m = (σ k )− m Hơn σ 1.σ2 σk −1 σ k hai chu trình độc lập nên σ 1.σ2 σ ∩ σ k = id k −1 Áp dụng Bổ đề 1.1.6, ta σ 1.σ2 σk −1 , σ | m k Theo giả thiết quy nạp σ 1.σ2 σk −1 = σ1 , σ2 , , σ k −1 Do d = σ1 , σ2 , , σ | m Như k σ = σ1 , σ2 , , σ k Định nghĩa 1.1.7 Các hoán vị σ τ gọi có cấu trúc chu trình σ = σ σ2 σk τ = τ1 τ2 τk phân tích σ τ thành tích chu trình độc lập cho đánh số lại thứ tự chu trình độc lập cần, ta ln ln có σ i τ i chu trình có độ dài (∀i ∈ 1,k ) Mệnh đề 1.1.8 Nếu σ ∈ Sn chu trình độ dài k ∀τ ∈ S , chu trình độ dài k n Chứng minh Giả sử σ = ( x x x τστ −1 ) Khi τ ( xi+1 ), i ∈1,k − , i i = x , i k τ ( ) = mà ∀k ∈ {1, 2, ,n} \ { xi}i∈1,k τστ −1 (τ k ) = k Do τστ −1 = (τ x1 τ x2 k τστ (τ x ) = τσ (x ) −1 − τ xk ) Vậyτστ chu trình độ dài k Hệ 1.1.9 σ ,τ ∈ S , chu trình n τστ −1 σ hốn vị có cấu trúc Chứng minh Giả sử σ phân tích thành tích chu trình đơi độc lập σ = σ σ2 σk Khi đó, ta có τσ2τ −1 ) (τσk τ −1 ) τστ −1 = τ (σ σ σ k )τ −1 = (τσ1τ −1 )( Vì σ i chu trình đơi độc lập nên τσ iτ −1,i =1,k chu trình đơi độc lập với Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.1.8 , τσiτ −1 σ i hai chu trình có độ dài , i = 1,k Do τστ −1 σ hốn vị có cấu trúc chu trình Mệnh đề 1.10 Mỗi hốn vị khác id phân tích thành tích chuyển vị ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Quảng Đại Mưa TÍCH BỆN CHUẨN VÀ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC... DỰNG TÍCH BỆN CHUẨN VÀ MƠ TẢ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG S n 29 1.1 Tích bện 29 2.2 Mô tả p- nhóm Sylow nhóm đối xứng S n 36 KẾT LUẬN .46 TÀI... tích bện hai nhóm hốn vị, sau vận dụng Định lý Calley để xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm bất kì, vận dụng tích bện chuẩn để mơ tả nhóm Sylow nhóm đối xứng S n Cuối chúng tơi cho vài ví dụ để