1 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến gia đình Họ chính là người lo lắng cho tôi và động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng[.]
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình Họ người lo lắng cho động viên suốt trình làm luận văn Luận văn hồn thành hướng dẫn PGS.TS.MỵVinh Quang Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy: lựa chọn đề tài mà học nhiều kiến thức khác ngành khác hồn thành nó; quan tâm hướng dẫn thầy q trình tơi làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy PGS.TS.Trần Tuấn Nam, TS Trần Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xn Hải q thầy khoa Tốn giảng dạy cho tơi kiến thức Đại số Giải tích để từ tơi tự đọc thêm kiến thức hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Tốn Tin, lãnh đạo chunviên Phịng Khoa Học Cơng Nghệ - Sau Đại Học Trường tạo điều kiện thuận lợicho tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ q mến đến bạn bè tơi, họ sát cánh bên để vượt qua khó khăn sống ngày động viên, giúp đỡ học hành để tiến tới Tp Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 09 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Việt Nhân MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNGKÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các nhóm đặc trưng 1.1.1 Định nghĩa .7 1.1.2 Định lí 1.1.3 Nhóm Frattini 1.1.4 Nhóm Fitting 1.1.5 Mệnh đề 1.1.6 Nhóm dẫn xuất 1.1.7 Định lí 1.2 Cái chuẩn hóa,tâm hóa tử 1.2.1 Cái chuẩn hóa 1.2.2 Tâm hóa tử .9 1.2.3 Mệnh đề 1.2.2 1.2.4 Định lí 1.3 Định lí Sylow 10 1.3.1 Định nghĩa nhóm Sylow 10 1.3.2 Định lí 1.3.1 [6, Định lí Sylow, trang 39-40] .10 1.3.3 Hệ ( định lí Cauchy) .10 1.3.4 Hệ 10 1.3.5 Định lí 11 1.4 Nhóm giải 11 1.4.1 Định nghĩa .11 1.4.2 Định lí 12 1.4.3 Hệ 12 1.4.4 Định lí (Tính chất nhóm giải được) 12 1.4.5 Bổ đề 13 1.4.6 Định lí 14 1.4.7 Định lí ( định lí Burnside)[6] .14 1.4.8 Định lí[4, định lí 15.3, trang 53] 15 1.5 Nhóm lũy linh 15 1.5.1 Định nghĩa .15 1.5.2 Định lí 15 1.5.3 Định lí(Tính chất nhóm lũy linh) 16 1.5.4 Định lí 18 1.5.5 Hệ 18 1.5.6 Định lí [3, định lí 5.4.10, trang 66] .19 1.6 Nhóm Hall 19 1.6.1 Định nghĩa .19 1.6.2 Định lí[3, Định lí 4.1.4, trang 37-38] 19 1.6.3 Hệ 19 1.6.4 Định lí 20 1.6.5 Định lí(Định lí P.Hall) 20 1.6.6 Bổ đề 21 1.6.7 Định lí 22 1.6.8 Định lí [3, định lí 4.4.1, trang 47] 22 1.7 Nhóm p-lũy linh 22 1.7.1 Định nghĩa .22 1.7.2 Định lí [3, bổ đề 8, trang 265-266] 22 1.7.3 Định lí [7, định lí 10.1.8, trang 289] .23 CHƯƠNG : NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHĨM HỮU HẠN 24 2.1 Nhóm siêu giải 24 2.1.1 Định nghĩa .24 2.1.2 Định lí 24 2.1.3 Định lí (Tính chất nhóm siêu giải được) .25 2.1.4 Hệ 28 2.1.5 Hệ 28 2.1.6 Bổ đề 29 2.1.7 Định lí 29 2.1.8 Hệ (định lí Huppert) .31 2.2 Nhóm tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn 31 2.2.1 Định nghĩa .31 2.2.2 Ví dụ 32 2.2.3 Định lí 33 2.2.4 Hệ 34 2.3 Một tiêu chuẩn nhóm siêu giải 34 2.3.1 Định líSrinivasan 34 2.3.2 Định lí 35 2.3.3 Ví dụ 39 2.3.4 Định nghĩa .40 2.3.5 Mệnh đề 40 2.3.6 Định lí 41 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 BẢNGKÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu Ý nghĩa H ⊆G H nhóm G H ⊂G H nhóm thực G h H ⊆G H nhóm Hall G H G H nhóm chuẩn tắc G N G ( A) Cái chuẩn hóa A CG ( A) Tâm hóa tử A Z(G) Tâm G Φ (G ) Nhóm Fratini F (G ) Nhóm Fitting |G| Cấp nhóm G σ (G ) Tập ước nguyên tố |G| A× B Tích trực tiếp A B [A]B Tích nửa trực tiếp A B Aut(G) Nhóm tự đẳng cấu G [G:M] Chỉ số M G [a,b] [A,B] Hốn tử a b Nhóm hốn tửcủa A B Mx Nhóm liên hợp với M G′ Nhóm dẫn xuất G p′ , π ′ Phần bù p, π P MỞ ĐẦU Theo O.H.KEGEL, nhóm H nhóm G S-tựa chuẩn tắc G H giao hốn với nhóm Sylow G S.Srinisavan chứng minh rằng: “nếu nhóm tối đại nhóm Sylow G S-tựa chuẩn tắc G G nhóm siêu giải được” Hiện tại, vấn đề nghiên cứu Trong phạm vi luận văn này, dựa theo kết báo: “ On permutable subgroups of finite groups” M Asaad A.A Heliel, nghiên cứu số tính chất nhóm tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn, từ mở rộng cải tiến kết đề cập trên, điều kiện S-tựa chuẩn tắc thay điều kiệnZ -tựa chuẩn tắc Trong tồn viết này, ta ln giả thiết G nhóm hữu hạn Mục tiêu luận nghiên cứu số tính chất nhóm Z-tựa chuẩn tắc nhóm G từ đưa tiêu chuẩn tính siêu giải G Nội dung luận văn gồm chương Trong chương 1, ta định nghĩa khái niệm nhóm đặc trưng, nhóm giải được, nhóm lũy linh,…và chứng minh số kết quan trọng sử dụng việc chứng minh định lí chương Trong chương 2, ta tìm hiểu lớp nhóm siêu giải nhóm Z-tựa chuẩn tắc G bao gồm vài tính chất để thấy tác dụng hữu ích nhóm việc phân loại nhóm hữu hạn Mặt dù thân có nhiều cố gắng với thời gian kiến thức có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong ý kiến đóng góp, phê bình q Thầy bạn để luận văn hoàn chỉnh CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các nhóm đặc trưng 1.1.1 Định nghĩa Cho G nhóm, H ⊆ G , H gọi nhóm đặc trưng G α ( H ) ⊆ H với α ∈ Aut (G ) Hiển nhiên nhóm đặc trưng G chuẩn tắc G 1.1.2 Định lí Nếu H đặc trưng K K G H G Chứng minh −1 → K thỏa α ( x) = gxg Mà Với g ∈ G , K G nên tồn đồng cấu α g : K H đặc trưng K nên phải có α ( H ) = H Do đó, H nhóm chuẩn tắc G 1.1.3 Nhóm Frattini Nhóm Frattini G định nghĩa giao tất nhóm tối đại G kí hiệu Φ (G ) Nếu G nhóm khơng có nhóm tối đại ta quy ước Φ (G ) = G 1.1.4 Nhóm Fitting Nhóm sinh tất nhóm chuẩn tắc lũy linh G gọi nhóm Fitting G đượckí hiệu F(G) Nhận xét: F (G ) nhóm lũy linh G, nhóm chuẩn tắc lũy linh lớn (i) G (ii) F (G ) nhóm tầm thường G 1.1.5 Mệnh đề Cho G nhóm Khi F(G) Φ (G ) nhóm đặc trưng G 1.1.6 Nhóm dẫn xuất Cho G nhóm phần tử x1 , x2 , , xn G, phần tử [ x1 , x2 ] = x1−1 x2 −1 x1 x2 gọi hoán tử x y Tổng qt hơn, hốn tử có chiều dài n ≥ định nghĩa sau [ x1 , x2 , , xn ] = [ x1 , x2 , , xn−1 ] , xn với quy ước [ x1 ] = x1 Nhóm sinh tập hốn tử G gọi nhóm dẫn xuất G kí hiệu G′ = , cụ thể G′ [ x, y ] | x, y ∈ G 1.1.7 Định lí (i) G′ nhóm chuẩn tắc G (ii) G′ nhóm nhỏ cho nhóm G ′ nhóm Abel G (iii) G′ nhóm đặc trưng G Chứng minh Lấy a ∈ G′, g ∈ G ta có a −1 g −1ag ∈ G′ , g −1ag a ( a −1 g −1ag ) ∈ G′ = (i) (ii) Vậy G′ G (iii) Với x, y ∈ G ta có x −1 y −1 xy ∈ G′ , suy xyG′ = yxG′ (iv) Do G ′ nhóm Abel Giả sử H nhóm chuẩn tắc G cho G H G nhóm Abel, với x, y ∈ G ta có : xyH = yxH , suy x −1 y −1 xy ∈ H Vậy G′ ⊆ H (v) Giả sử α : G → G tự đẳng cấu G Khi đó, ∀x, y ∈ G ta có (vi) α ([ x, y ]) = α ( x −1 y −1 xy ) = (α ( x) ) (α ( y ) ) α ( x).α ( y ) ∈ [α ( x), α ( y ) ] ∈ G′ Do −1 −1 α (G′) ⊆ G′ , G′ nhóm đặc trưng G 1.2 Cái chuẩn hóa,tâm hóa tử Cho G nhóm, A nhóm G 1.2.1 Cái chuẩn hóa Tập hợp tất phần tử g ∈ G cho g −1 Ag = A gọi chuẩn hóa A G, kí hiệu N G ( A) N G ( A) nhóm G A nhóm chuẩn tắc củaG ⇔ N G ( A) = G Tập tất liên hợp A G gọi lớp liên hợp A, số phần tử lớp liên hợp với số N G ( A) G 1.2.2 Tâm hóa tử Tâm hóa tử A G,kí hiệu CG ( A) , tập hợp tất phần tử g ∈ G cho ga= ag , ∀a ∈ A CG ( A) nhóm G Với g ∈ G , CG ( g ) kí hiệu CG ( g ) Số phần tử lớp liên hợp phần tử g ∈ G số CG ( g ) G Nhóm CG (G ) gọi tâm G,thường viết Z (G ) 1.2.3 Mệnh đề 1.2.2 Nếu G nhóm hữu hạn = | G | | Z (G ) | + ∑ [G : CG ( xi ) ] , xi ∉ Z (G ) hh Chứng minh Xét tác động liên hợp nhóm G lên tập G ∗:G×G → G x ∗ g x −1 gx , ∀x, g ∈ G ( x, g ) = xi } { x ∈ G : xxi = xi x} = CG ( xi ) Ta có | G |= ∑ G : Gx , Gxi = { x ∈ G : xxi x −1 == i∈I i xi ∈ Z (G ) ⇔ CG ( xi ) = G Gọi J tập tập I thỏa mãn: i ∈ J | G | xi ∈ Z (G ) Do = ∑ G : G i∈J xi + ∑ [G : C i∈I \ J G ( xi ) ] Suy = | G | | Z (G ) | + ∑ [G : CG ( xi ) ] , xi ∉ Z (G ) hh 1.2.4 Định lí Cho G nhóm, H nhóm G.Khi CG ( H ) N G ( H ) N G ( H ) C ( H ) G đẳng cấu với nhóm củaAut(H) Chứng minh Với g ∈ N G ( H ) , xét đồng cấu α g : N G ( H ) → Aut ( H ) g β :H → H g −1 h g hg Ta có Ker (α g ) = id H } = h} = CG ( H ) { g ∈ NG ( H ) : β g = { g ∈ NG ( H ) : g −1hg = Do CG ( H ) N G ( H ) N G ( H ) C ( H ) ≅ α g ( N G ( H ) ⊆ AutH G 1.3 Định lí Sylow 1.3.1 Định nghĩa nhóm Sylow Cho G nhóm hữu hạn, p số nguyên tố Ta định nghĩa: a G gọi p- nhóm G có cấp lũy thừa p b Nhóm H G gọi p-nhóm G H làmột p-nhóm c Nhóm H G gọi p-nhóm Sylow G H phần tử tối đại tập p-nhóm G theo quan hệ bao hàm 1.3.2 Định lí 1.3.1 [6, Định lí Sylow, trang 39-40] n Cho p số nguyên tố, G nhóm hữu= hạn, | G | p= m, (m, p) Khi a Với ≤ k ≤ n , tồn G p-nhóm cấp p k Nói riêng, tồn G p-nhóm Sylow G b Mỗi p-nhóm conH G nằm p-nhóm Sylow G c Tất p-nhóm Sylow G liên hợp với d Số p-nhóm Sylow G ước M đồng dư với 1(mod p) 1.3.3 Hệ ( định lí Cauchy) Cho G nhóm, |G| chia hết cho số nguyên tố p Gcó chứa phần tử cấp p Chứng minh Ta phân tích | G |= p k m , (m, p ) = Khi theo định lí Sylow tồn pnhóm cấp p G, nhóm cyclic sinh phần tử cấp p 1.3.4 Hệ Nếu Glà p-nhóm Z (G ) ≠ Chứng minh 10 ... chất nhóm tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn, từ mở rộng cải tiến kết đề cập trên, điều kiện S -tựa chuẩn tắc thay điều kiệnZ -tựa chuẩn tắc Trong tồn viết này, ta ln giả thiết G nhóm hữu hạn Mục tiêu luận. .. số tính chất nhóm Z -tựa chuẩn tắc nhóm G từ đưa tiêu chuẩn tính siêu giải G Nội dung luận văn gồm chương Trong chương 1, ta định nghĩa khái niệm nhóm đặc trưng, nhóm giải được, nhóm lũy linh,…và... hiểu lớp nhóm siêu giải nhóm Z -tựa chuẩn tắc G bao gồm vài tính chất để thấy tác dụng hữu ích nhóm việc phân loại nhóm hữu hạn Mặt dù thân có nhiều cố gắng với thời gian kiến thức có hạn nên khơng