Các đặc trưng của nhóm con mờ tự do và nhóm con mờ của nhóm Abel

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HUỲNH TIẾN SĨ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM CON MỜ TỰ DO VÀ NHÓM CON MỜ CỦA NHÓM ABEL Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 1 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lịch sử phát triển lý thuyết cấu trúc đại số (trong có nhóm-vành -trường) trải qua thời kỳ huy hoàng từ kỷ trước nhu cầu nghiên cứu phát sinh từ nhiều lĩnh vực toán học, vật lý, tin học, ngày tỏ rõ vai trò quan trọng nhiều công trình Năm 1965 Lofti A Zadeh đưa khái niệm tập mờ tập hợp phương pháp biểu diễn tình trạng không chắn hay không rõ ràng Năm 1971 Zadeh Rosenfield đưa khái niệm tập mờ bối cảnh lý thuyết nhóm sau trình bày có hệ thống nhóm mờ nhóm Trong năm gần (1998-2005), có nhiều nhà toán học nghiên cứu nhóm mờ Rosenfield, Vasantha, Kim, Kyung Ho, Jun, Năm 1982 Liu định nghĩa nghiên cứu vành mờ iđêan mờ Sau Zhang có đóng góp tích cực cho việc phát triển lĩnh vực vành trường mờ Vasantha, Xia, Xiang-yun, Mordeson, Kim, Chang Bum, có công trình sáng giá đóng góp cho lĩnh vực từ đầu kỷ 21 đến Tuy nhiên, điều cần lưu ý khái niệm nhóm - vành - trường làm mờ hoá được, nghĩa số khái niệm kết nhóm vành - trường chuyển qua hệ mờ tương ứng Những điều chuyển có ứng dụng thiết thực lĩnh vực rõ mờ Gần đây, người ta tìm ứng dụng số cấu trúc đại số mờ nhóm mờ, vành mờ trường mờ chủ yếu vào lĩnh vực ôtômat mờ mà ôtômat mờ lại có ứng dụng thú vị hệ chuyên gia, mạng nơ-ron, lý thuyết nhận dạng, Xuất phát từ nhu cầu phát triển lý thuyết đại số mờ ứng dụng nó, định chọn đề tài với tên: "Các đặc trưng nhóm Footer Page of 126 2 Header Page of 126 mờ tự nhóm mờ nhóm Abel" để tiến hành nghiên cứu Chúng hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu Lý thuyết nhóm mờ hy vọng tìm số ví dụ minh họa đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm tìm hiểu khái niệm nhóm mờ tự do, nhóm mờ nhóm Abel nghiên cứu tính chất Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài khảo sát nhóm mờ, nhóm mờ tự nhóm mờ nhóm Abel Chúng tìm hiểu khái niệm hệ sinh độc lập, nhóm mờ nguyên sơ, nhóm mờ chia được, nhóm tuý mờ xác định hệ đầy đủ bất biến nhóm mờ Phương pháp nghiên cứu Thu thập, phân tích, tổng hợp làm sáng tỏ kết báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến lý thuyết nhóm mờ, cụ thể đặc trưng nhóm mờ, nhóm mờ tự do, nhóm mờ nhóm Abel Tham gia buổi seminar tuần để trao đổi kết nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến nhóm mờ tự nhóm mờ nhóm Abel nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu lý thuyết nhóm mờ Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm ba chương: Chương Tập mờ nhóm mờ Chương Nhóm mờ tự thể nhóm mờ Chương Nhóm mờ nhóm Abel Footer Page of 126 3 Header Page of 126 Chương TẬP CON MỜ VÀ NHÓM CON MỜ Trong chương ta ký hiệu X, Y, Z tập hợp khác rỗng 1.1 Tập mờ Trong mục ta trình bày số khái niệm lý thuyết tập mờ, xem [18] Định nghĩa 1.1.1 Một tập mờ X hàm µ : X −→ [0; 1] Tập hợp tất tập mờ X gọi tập lũy thừa mờ X ký hiệu FP(X) Định nghĩa 1.1.2 Cho µ ∈ FP(X) Khi đó, tập hợp {µ(x) | x ∈ X} gọi ảnh µ ký hiệu µ(X) hay Im(µ) Tập hợp µ∗ = {x ∈ X | µ(x) > 0} gọi giá µ Đặc biệt, µ gọi tập mờ hữu hạn (tương ứng, tập mờ vô hạn) µ∗ tập hữu hạn (tương ứng, vô hạn) Định nghĩa 1.1.3 Cho Y tập hợp tập hợp X a ∈ [0; 1] Ta định nghĩa aY ∈ FP(X) sau: ∀x ∈ X, aY (x) = a với x ∈ Y với x ∈ X \ Y Đặc biệt, tập Y gồm phần tử, Y = {y}, a{y} gọi điểm mờ ký hiệu ay Ký hiệu 1Y hàm đặc trưng Y Định nghĩa 1.1.4 Cho µ, ν ∈ FP(X) Nếu µ(x) ≤ ν(x), ∀x ∈ X, µ gọi chứa ν (hay ν chứa µ), ta viết µ ⊆ ν (hay ν ⊇ µ) Nếu µ(x) = ν(x), ∀x ∈ X, µ = ν Footer Page of 126 4 Header Page of 126 Định nghĩa 1.1.5 Cho µ, ν ∈ FP(X) Ta định nghĩa : (µ ∪ ν)(x) = µ(x) ∨ ν(x) := max{µ(x), ν(x)}, (µ ∩ ν)(x) = µ(x) ∧ ν(x) := min{µ(x), ν(x)}, ∀x ∈ X Khi đó, µ ∪ ν µ ∩ ν gọi hợp giao µ ν Ngoài ra, ν gọi phần bù µ ν(x) = − µ(x), ∀x ∈ X Bằng quy nạp mở rộng phép toán hợp giao cho nhiều hai tập mờ Một cách tổng quát, với họ {µi |i ∈ I} tập mờ X, I tập số khác rỗng, ta định nghĩa: ( ( i∈I µi )(x) = i∈I µi (x) := supµi (x), i∈I µi )(x) = i∈I µi (x) := in f µi (x) i∈I i∈I Định nghĩa 1.1.6 Cho µ ∈ FP(X) Với a ∈ [0, 1] ta định nghĩa µa = {x ∈ X|µ(x) ≥ a} Tập µa gọi a – lát cắt hay a – tập mức µ Định nghĩa 1.1.7 Cho f hàm từ X vào Y, µ ∈ FP(X) ν ∈ FP(Y ) Khi tập mờ f (µ) ∈ FP(Y ) f −1 (ν) ∈ FP(X) định nghĩa sau: ∀y ∈ Y , f (µ)(y) := ∨{µ(x)|x ∈ X, f (x) = y} f −1 (y) = ∅ trường hợp lại ∀x ∈ X, f −1 (ν)(x) = ν(f (x)) Khi f (µ) gọi ảnh µ f f −1 (ν)được gọi ảnh ngược hay tạo ảnh ν f Mệnh đề 1.1.1 Cho f g hàm từ X vào Y từ Y vào Z 1) Với µi ∈ FP(X), i ∈ I, f (∪i∈I µi ) = ∪i∈I f (µi ) µ1 ⊆ µ2 =⇒ f (µ1 ) ⊆ f (µ2 ), ∀µ1 , µ2 ∈ FP(X) 2) Với νj ∈ FP(Y ), j ∈ J, Với J tập số khác rỗng f −1 (∪j∈J νj ) = ∪j∈J f −1 (νj ), f −1 (∩j∈J νj ) = ∩j∈J f −1 (νj ), ν1 ⊆ ν2 =⇒ f −1 (ν1 ) ⊆ f −1 (ν2 ), ∀ν1 , ν2 ∈ FP(Y ) 3) f −1 (f (µ)) ⊇ µ, ∀µ ∈ FP(X) Đặc biệt, f đơn ánh f −1 (f (µ)) = µ, ∀µ ∈ FP(X) Nghĩa µ −→ f (µ) đơn ánh từ FP(X) vào FP(Y ) ν −→ f −1 (ν) toàn ánh từ FP(Y ) lên FP(X) 4) f (f −1 (ν)) ⊆ ν, ∀ν ∈ FP(Y ) Đặc biệt, f toàn ánh Footer Page of 126 5 Header Page of 126 f (f −1 (ν)) = ν, ∀ν ∈ F P(Y ) µ −→ f (µ) toàn ánh từ FP(X) lên FP(Y ) ν −→ f −1 (ν) đơn ánh từ FP(Y ) vào FP(X) 5) f (µ) ⊆ ν ⇐⇒ ν ⊆ f −1 (ν), ∀µ ∈ FP(X), ∀ν ∈ FP(Y ) 6) g(f (µ)) = (g ◦ f )(µ), ∀µ ∈ FP(X) f −1 (g −1 (ξ)) = (g ◦ f )−1 (ξ), ∀ξ ∈ FP(Z) 1.2 Nhóm mờ Từ sau không nói thêm ta xem G nhóm nhân với phần tử đơn vị e Có thể tìm hiểu khái niệm nhóm mờ kết liên quan mục [13] đặc biệt [14] Định nghĩa 1.2.1 Cho µ ∈ FP(G) Khi µ gọi nhóm mờ G µ thỏa mãn hai điều kiện sau: ∀x, y ∈ G, 1) µ(xy) ≥ µ(x) ∧ µ(y), 2) µ(x−1 ) ≥ µ(x) Tập tất nhóm mờ nhóm G kí hiệu F(G) Rõ ràng, µ ∈ F(G) H nhóm G µ|H ∈ F(H) Ví dụ 1.2.1 Xét nhóm cộng số nguyên Z hàm µ xác định sau: µ(x) = a x ∈ 2Z x ∈ 2Z + 1, với a, b ∈ [0, 1] b ≤ a Khi µ nhóm mờ Z Mệnh đề 1.2.1 Cho µ ∈ F(G) Khi với x ∈ G, 1) µ(e) ≥ µ(x) 2) µ(x) = µ(x−1 ) Mệnh đề 1.2.2 Cho µ ∈ FP(G) Khi khẳng định sau tương đương: 1) µ ∈ F(G) 2) µ(x−1 y) ≥ µ(x) ∧ µ(y) 3) µa nhóm G với a ∈ µ(G) ∪ [0, µ(e)] Footer Page of 126 6 Header Page of 126 Định nghĩa 1.2.2 Ta định nghĩa tích hai tập mờ nghịch đảo tập mờ sau: ∀µ, ν ∈ FP(G) ∀x ∈ G, (µ◦ν)(x) = ∨{µ(y) ∧ ν(z)|y, z ∈ G, yz = x}, µ−1 (x) = µ(x−1 ) µ ◦ ν µ−1 gọi tích µ ν nghịch đảo µ Dễ thấy phép toán ◦ có tính chất kết hợp Nhận xét 1.2.1 µ ◦ ν µ−1 tập mờ G Mệnh đề 1.2.3 Cho µ, ν, µi ∈ F P(G), i ∈ I a = ∨{µ(x)|x ∈ G} Khi đó, 1) µ ◦ ν(x) = ∨y∈G (µ(y) ∧ ν(y −1 x)) = ∨y∈G (µ(xy −1 ) ∧ ν(y)), ∀x ∈ G 2) (ay ◦ µ)(x) = µ(y −1 x), ∀x, y ∈ G 3) (µ ◦ ay )(x) = µ(xy −1 ), ∀x, y ∈ G 4) (µ−1 )−1 = µ 5) µ ⊆ µ−1 ⇐⇒ µ−1 ⊆ µ ⇐⇒ µ = µ−1 ⇐⇒ µ(x) ≤ µ(x−1 ), ∀x ∈ G ⇐⇒ µ(x−1 ) ≤ µ(x), ∀x ∈ G ⇐⇒ µ(x) = µ(x−1 ), ∀x ∈ G 6) µ ⊆ ν ⇐⇒ µ−1 ⊆ ν −1 7) ( i∈I µi )−1 = i∈I µ−1 i 8) ( i∈I µi )−1 = i∈I µ−1 i 9) (µ ◦ ν)−1 = ν −1 ◦ µ−1 Mệnh đề 1.2.4 Cho µ ∈ FP(G) Khi µ ∈ F(G) 1) µ ◦ µ ⊆ µ 2) µ−1 ⊇ µ Mệnh đề 1.2.5 Cho µ, ν ∈ F(G) Khi µ ◦ ν ∈ F(G) ⇐⇒ µ ◦ ν = ν ◦ µ Mệnh đề 1.2.6 Cho f : G −→ H đồng cấu nhóm, µ ∈ F(G) ν ∈ F(H) Khi f (µ) ∈ F(H) f −1 (ν) ∈ F(G) Mệnh đề 1.2.7 Cho {µi |i ∈ I} ⊆ F(G) Khi i∈I µi ∈ F(G) Định nghĩa 1.2.3 Cho µ ∈ FP(G) Khi nhóm mờ < µ >= {ν|µ ⊆ ν, ν ∈ F(G)} gọi nhóm mờ G sinh µ Rõ ràng < µ > nhóm mờ nhỏ G chứa µ Footer Page of 126 7 Header Page of 126 1.3 Nhóm mờ chuẩn tắc Các khái niệm kết mục trích dẫn từ [12], [13], [14] Định nghĩa 1.3.1 Cho µ ∈ F(G) Khi µ gọi nhóm mờ chuẩn tắc G µ tập mờ Abel G, nghĩa µ(xy) = µ(yx), ∀x, y ∈ G Tập hợp tất nhóm mờ chuẩn tắc G kí hiệu N F (G) Mệnh đề 1.3.1 Cho µ ∈ F(G) Khi mệnh đề sau tương đương: 1) µ ∈ N F(G) 2) µ(xyx−1 ) = µ(y), ∀x, y ∈ G 3) µa nhóm chuẩn tắc G, ∀a ∈ µ(G) ∪ [0, µ(e)] 4) µ(xyx−1 ) ≥ µ(y), ∀x, y ∈ G 5) µ(xyx−1 ) ≤ µ(y), ∀x, y ∈ G 6) µ ◦ ν = ν ◦ µ, ∀ν ∈ FP(G) Mệnh đề 1.3.2 Cho µ ∈ N F(G) Khi µ∗ ✁ G µ∗ ✁ G Định nghĩa 1.3.2 Cho µ ∈ F(G) x ∈ G Khi tập mờ µ(e){x} ◦µ µ ◦ µ(e){x} gọi lớp kề trái lớp kề phải µ theo x viết xµ µx Nếu µ ∈ N F(G) xµ = µx Trong trường hợp ta gọi xµ lớp kề Lưu ý, (µ(e){x} ◦ µ)(z) = µ(x−1 z) (Theo Mệnh đề 1.2.3) Mệnh đề 1.3.3 Cho µ ∈ F(G) Khi với x, y ∈ G, 1) xµ = yµ ⇐⇒ xµ∗ = yµ∗ 2) µx = µy ⇐⇒ µ∗ x = µ∗ y Mệnh đề 1.3.4 Cho µ ∈ N F(G) x, y ∈ G Nếu xµ = yµ µ(x) = µ(y) Mệnh đề 1.3.5 Cho µ ∈ N F(G) Đặt G/µ = {xµ|x ∈ G} Khi 1) xµ ◦ yµ = (xy)µ, ∀x, y ∈ G 2) (G/µ, ◦) nhóm 3) G/µ ∼ = G/µ∗ 4) Cho µ(∗) ∈ FP(G/µ) xác định µ(∗) (xµ) = µ(x), ∀x ∈ G Khi µ(∗) ∈ N F(G/µ) Footer Page of 126 8 Header Page of 126 Định nghĩa 1.3.3 Nhóm G/µ gọi nhóm thương G theo nhóm mờ chuẩn tắc µ Mệnh đề 1.3.6 Cho ν ∈ F(G) N nhóm chuẩn tắc nhóm G Ta định nghĩa ξ ∈ FP(G) sau: ξ(xN ) = ∨{ν(z)|z ∈ xN }, ∀x ∈ G Khi ξ ∈ F(G/N ) Định nghĩa 1.3.4 Nhóm mờ ξ xác định Mệnh đề 1.3.6 gọi nhóm mờ thương theo nhóm mờ ν G theo nhóm chuẩn tắc N G kí hiệu ν/N Mệnh đề 1.3.7 Cho µ ∈ N F(G) ν ∈ N F(H), với H nhóm Giả sử f toàn cấu nhóm từ G lên H Khi 1) f (µ) ∈ N F(H) 2) f −1 (ν) ∈ N F(G) Định nghĩa 1.3.5 Cho µ, ν ∈ F(G) µ ⊆ ν Khi đó, µ gọi nhóm mờ chuẩn tắc nhóm mờ ν, kí hiệu µ ✁ ν, µ(xyx−1 ) ≥ µ(y) ∧ ν(x), ∀x, y ∈ G Mệnh đề 1.3.8 Cho µ, ν ∈ F(G) µ ⊆ ν Các mệnh đề sau tương đương: 1) µ ✁ ν 2) µ(yx) ≥ µ(xy) ∧ ν(y), ∀x, y ∈ G 3) µa ✁ νa , ∀a ∈ [0, µ(e)] 4) µ(e){x} ◦ µ ⊇ (µ ◦ µ(e){x} ) ∩ ν, ∀x ∈ G Mệnh đề 1.3.9 Cho µ, ν ∈ F(G) µ ✁ ν Khi µ∗ ✁ ν∗ µ∗ ✁ ν ∗ Mệnh đề 1.3.10 Cho f : G −→ H đồng cấu nhóm Khi 1) Nếu µ, ν ∈ F(G), µ ✁ ν f (µ) ✁ f (ν) 2) Nếu µ, ν ∈ F(H), µ ✁ ν f −1 (µ) ✁ f −1 (ν) 1.4 Đồng cấu đẳng cấu Tương tự mục trước, mục mục có khái niệm kết trích dẫn [12], [13], [14] Footer Page of 126 9 Header Page 10 of 126 Định nghĩa 1.4.1 Cho G H nhóm µ ∈ F(G), ν ∈ F(H) 1) Một toàn cấu f : G −→ H gọi đồng cấu yếu từ µ vào ν f f (µ) ⊆ ν Khi ta nói µ đồng cấu yếu với ν, kí hiệu µ ∼ ν µ ∼ ν 2) Một đẳng cấu f : G −→ H gọi đẳng cấu yếu từ µ vào ν f f (µ) ⊆ ν Khi ta nói µ đẳng cấu yếu với ν, kí hiệu µ ≃ ν µ ≃ ν 3) Một toàn cấu f : G −→ H gọi đồng cấu từ µ vào ν f f (µ) = ν Khi ta nói µ đồng cấu với ν, kí hiệu µ ≈ ν µ ≈ ν 4) Một đẳng cấu f : G −→ H gọi đẳng cấu từ µ vào ν f f (µ) = ν Khi ta nói µ đẳng cấu với ν, kí hiệu µ ∼ = ν µ ∼ = ν Cho µ, ν ∈ F(G) µ ✁ ν Theo Mệnh đề 1.3.9, µ∗ ✁ ν ∗ Rõ ràng, ν|ν ∗ nhóm mờ ν ∗ Theo Mệnh đề 1.3.6, nhóm mờ thương ν|ν ∗ theo nhóm chuẩn tắc µ∗ tồn tại, kí hiệu: (ν|ν ∗ )/µ∗ := ν/µ gọi nhóm thương ν theo µ Bổ đề 1.4.1 Cho f : G → Y ánh xạ µ ∈ F P(G) Khi (f (µ))∗ = f (µ∗ ) Mệnh đề 1.4.1 Cho µ ∈ N F(G) ν ∈ F(G) cho µ(e) = ν(e) Khi ν/(µ ∩ ν) ≃ (µ ◦ ν)µ Mệnh đề 1.4.2 Cho µ, ν, ξ ∈ F(G) cho µ ν nhóm mờ chuẩn tắc ξ µ ⊆ ν Khi (ξ/µ)/(ν/µ) ∼ = ξ/ν 1.5 Cấp mờ nhóm mờ Định nghĩa 1.5.1 Cho µ ∈ F(G) x ∈ G Nếu tồn số nguyên dương n cho µ(xn ) = µ(e)(1.5) số nguyên dương nhỏ thỏa mãn (1.5) gọi cấp mờ x µ, kí hiệu F Oµ (x) Nếu không tồn số nguyên dương n thỏa mãn (1.5) ta nói x có cấp mờ vô hạn µ Mệnh đề 1.5.1 Cho µ ∈ F(G), x ∈ G F Oµ (x) = n Khi đó: 1) Nếu m số nguyên dương cho µ(xm ) = µ(e) n|m n 2) Với số nguyên dương m ta có F Oµ (xm ) = (n, m) Footer Page 10 of 126 10 Header Page 11 of 126 3) Nếu x, y ∈ G cho xy = yx (F Oµ (x), F Oµ (y)) = F Oµ (xy) = F Oµ (x).F Oµ (y) 1.6 Tích trực tiếp đầy đủ yếu Các khái niệm kết mục trích dẫn từ [13] Mệnh đề 1.6.1 Cho {Gi |i ∈ I} họ nhóm với ei phần tử đơn vị Gi , i ∈ I Nếu G = F(G), ∀(xi )i∈I , ( ∼ ∼ i∈I Gi µi ∈ F(Gi ), ∀i ∈ I G = i∈I µi )((xi )i∈I ) Định nghĩa 1.6.1 Nhóm mờ ∼ i∈I µi ∼ i∈I µi ∈ = ∧i∈I µi (xi ) G gọi tích trực tiếp đầy đủ µi , i ∈ I Mệnh đề 1.6.2 Cho µi ∈ N F(Gi ), i ∈ I Khi µ = ∼ i∈I µi ∈ N F(G) Định nghĩa 1.6.2 Với i ∈ I, giả sử µi ∈ FP(G) Ta định nghĩa tập mờ µ G sau: µ(x) = ∨{∧i∈I µi (xi )|xi ∈ G, i ∈ I, xi = x}, ∀x ∈ G Khi µ gọi tích yếu µi kí hiệu µ = ∗ i∈I µi Mệnh đề 1.6.3 Với i ∈ I, giả sử µi ∈ F(G) µ = ∗ i∈I µi Khi mệnh đề sau đúng: ∗ 1) µ∗ ⊇ i∈I (µi )∗ 2) Nếu ∨{(∪i∈I µi (G)) \ {µ(e)}} < µ(e) µ∗ = ∗ 3) µ∗ = ∗ i∈I (µi )∗ ∗ i∈I (µi ) Mệnh đề 1.6.4 Cho µi ∈ F(G), ∀i ∈ I, cho µi (e) = µj (e), ∀i, j ∈ I Đặt µ = µ∗i ∗ i∈I µi Giả sử H Hi , i ∈ I, nhóm G cho ⊆ Hi , ∀i ∈ I, H tích trực tiếp yếu Hi , H = • i∈I Hi mệnh đề sau đúng: 1) µ ∈ F(G) 2) Mỗi µi nhóm mờ chuẩn tắc nhóm mờ µ 3) µi ∩ ( ∗ i∈I\{j} µi ) = µ(e){e} , ∀j ∈ I 4) Nếu µi |H ∈ N F(H), ∀i ∈ I, µ|H ∈ N F(H) Footer Page 11 of 126 Khi 11 Header Page 12 of 126 Định nghĩa 1.6.3 Cho µ ∈ F(G) µi ∈ F(G), ∀i ∈ I Giả sử µi (e) = µj (e), ∀i, j ∈ I Khi µ gọi tích trực tiếp yếu µi , kí hiệu µ= • i∈I µi , ∗ 1) µ = thỏa mãn điều kiện sau: i∈I µi , 2) Mỗi µi nhóm mờ chuẩn tắc µ, 3) µj ∩ ( ∗ i∈I\{j} µi ) = µ(e){e} , ∀j ∈ I • • • Nếu I = {1, 2, , n}, n ∈ N, ta kí hiệu µ1 ⊗ µ2 ⊗ ⊗ µn gọi tích trực tiếp µi Nhận xét 1.6.1 Nếu µ thỏa điều kiện Mệnh đề 1.6.4 µ tích trực tiếp yếu µi , i ∈ I Định lí 1.6.1 Cho µ ∈ F(G) µi ∈ F(G), ∀i ∈ I Giả sử µi (e) = µj (e), ∀i, j ∈ I Khi µ= • i∈I µi ⇐⇒ µ = ∗ ∗ i∈I µi µ = • ∗ i∈I µi Mệnh đề 1.6.5 Cho µ ∈ F(G) {µi |i ∈ I} họ nhóm mờ G cho µi ⊆ µ, ∀i ∈ I Giả sử hai mệnh đề sau thỏa mãn: 1) ∩i∈I |µi (G)| hữu hạn Hoặc 2) µ∗ = • ∗ i∈I µi ∗ Khi µ = i∈I\{j} µi µa = ∗ i∈I\{j} (µi )a , ∀a ∈ [0, µ(e)] Mệnh đề 1.6.6 Cho µ ∈ F(G) {µi |i ∈ I} họ nhóm mờ G cho µi ⊆ µ, ∀i ∈ I Giả sử µi (e) = µj (e), ∀i, j ∈ I Khi µ= • i∈I µi ⇐⇒ µa = • i∈I (µi )a , ∀a ∈ (0, µ(e)] Mệnh đề 1.6.7 Cho µ ∈ F(G) {µi |i ∈ I} họ nhóm mờ G cho µi ⊆ µ, ∀i ∈ I Giả sử µ = µ∗ = • i∈I (µi )∗ Footer Page 12 of 126 • i∈I µi µ∗ = ∗ i∈I (µi )∗ Khi 12 Header Page 13 of 126 Chương NHÓM CON MỜ TỰ DO VÀ SỰ THỂ HIỆN CỦA NHÓM CON MỜ Trong chương này, khái niệm nhóm mờ tự với khái niệm dẫn xuất kết liên quan tìm thấy [5], [10], [13], [14], [15] 2.1 Nhóm mờ tự Khái niệm điểm mờ trình bày Chương (Định nghĩa 1.1.3), chương ta nhắc lại với thay đổi cách kí hiệu để thuận tiện cho việc trình bày Định nghĩa 2.1.1 Cho X tập hợp Một điểm mờ xt X, với x ∈ X, t ∈ [0, 1], tập mờ X xác định bởi: ∀y ∈ X, xt (y) = t y = x y = x Khi x t gọi chân mức xt Mệnh đề 2.1.1 Cho G nhóm xt , ys điểm mờ G Khi xt ys = (xy)t∧s (xt )−1 = (x−1 )t Định lí 2.1.1 Mọi nhóm ảnh đồng cấu nhóm tự Định lí 2.1.2 Cho G nhóm sinh tập B = {gi |i ∈ I} X = {xi |i ∈ I} chữ Khi hàm m : X −→ B định nghĩa m(xi ) = gi , ∀xi ∈ X, mở rộng thành toàn cấu m ˆ : F (X) −→ G cho m([x]) ˆ = m(x), ∀x ∈ X Footer Page 13 of 126 13 Header Page 14 of 126 Định nghĩa 2.1.2 Cho G, H nhóm Cho µ ν nhóm mờ G H Ta nói ν ảnh đồng cấu µ tồn toàn cấu h : G −→ H cho h(µ) = ν Nếu h đẳng cấu ta nói µ ν đẳng cấu (xem Định nghĩa 1.4.1) Mỗi chữ w ∈ ∗ e(k) e(1) e(2) viết cách dạng w = xi1 xi2 xik , e(i) = ±1, x1 = x Ta gọi tập {i1 , i2 , , ik } tập I− số w −e(1) −e(k) −e(k−1) xi1 xik−1 kí hiệu I(w) Chữ nghịch đảo chữ w w−1 = xik Định nghĩa 2.1.3 Cho T = {ti ∈ [0, 1]|i ∈ I}, t ∈ [0, 1] cho t ≥ ∨{s|s ∈ T } Ta định nghĩa tập mờ f (X; T, t) F (X) sau: ∀i ∈ F (X), f (X; T, t)(y) = ∨{∧{t ∧ ti |i ∈ I(w)}|w ∈ y} Khi X gọi tập sinh, T gọi tập mức sinh, t gọi độ cao f (X; T, t) Với i ∈ I, ti gọi mức xi x−1 i Mệnh đề 2.1.2 Tập mờ f (X; T, t) nhóm mờ F (X) Định nghĩa 2.1.4 Nhóm mờ f (X; T, t) F (X) gọi nhóm mờ tự F (X) theo X, T t Định lí 2.1.3 Mọi nhóm mờ ảnh đồng cấu nhóm mờ tự Định nghĩa 2.1.5 Với tập S bất kì, đặt SP = {xt |x ∈ S, t ∈ [0, 1]} tập hợp gồm tất điểm mờ S Nếu Q ⊆ SP chân Q tập f oot(Q) = {x ∈ S|xt ∈ Q} Định nghĩa 2.1.6 Cho ν ∈ F(G) J ⊆ [0, 1] Một họ {Bi |i ∈ J} gồm tập khác rỗng GP gọi sinh ν thỏa mãn điều kiện sau: 1) ν(e) ∈ J es(e) ∈ Bs(e) , với e đơn vị G, 2) Với xt ∈ GP , với i ∈ J mà xt ∈ Bi t = ν(x) = i, 3) Với x ∈ G, tồn hữu hạn x1 , x2 , , xk ∈ f oot(∪i≥ν(x) Bi ) cho x= e(j) k j=1 xj , với e(j) = ±1, j = 1, 2, , k Mệnh đề 2.1.3 Cho ν ∈ F(G) x ∈ G Nếu {Bi |i ∈ J} sinh ν 1) Tồn hữu hạn phần tử x1 , x2 , , xk ∈ f oot(∪i∈J Bi )sao cho x= Footer Page 14 of 126 e(j) k j=1 xj ν(x) = ν(x1 ) ∧ ν(x2 ) ∧ ∧ ν(xk ) (2.1d) 14 Header Page 15 of 126 2) Tồn hữu hạn (x1 )ν(x1 ) , (x2 )ν(x2 ) , , (xk )ν(xk ) ∈ ∪i∈j Bi cho xν(x) = k e(j) j=1 ((xj )ν(xj ) ) (2.1e) Định lí 2.1.4 Cho {Bi |i ∈ J} tập sinh nhóm mờ ν G Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) {Xi |i ∈ J} họ tập hợp kí hiệu đôi rời cho với i ∈ J tồn song ánh mi : Xi −→ Bi , 2) X = ∪i∈J Xi m : X −→ G ánh xạ xác định m(x) = f oot(mi (x)), với x ∈ Xi Khi tồn toàn cấu h : F (X) −→ G cho khẳng định sau đúng: 3) h([x]) = m(x), ∀x ∈ X, 4) h(f (X; T, t)) = ν, T = {ν(m(x))|x ∈ X} t = ν(e) Chú ý 2.1.1 Trong nhóm mờ f (X; T, t) Định lí 2.1.4, mức x Xi i Do biết {Xi |i ∈ J} xác định rõ T Hơn nữa, eν(e) ∈ Bν(e) nên việc xác định t = ν(e) không cần thiết Vì X = ∪i∈J Xi nên X, T, t xác định biết {Xi |i ∈ J} Vì kí hiệu f (X; T, t) viết đơn giản f ({Xi |i ∈ J}) 2.2 Sự thể nhóm mờ Khái niệm thương cần thiết để định nghĩa thể Vì vậy, trước hết ta nhắc lại khái niệm nhóm mờ thương (xem Mệnh đề 1.3.6 Định nghĩa 1.3.4) với thay đổi kí hiệu để thuận tiện cho việc trình bày Trong mục này, ta kí hiệu G nhóm Ví dụ 2.2.1 Xét nhóm cộng số nguyên môđulô 12, Z12 Một nhóm mờ ρ Z12 định nghĩa sau: ∀x ∈ Z12 ,  x = x = 6,  1 ρ(x) = 1/2 x = x = 9,   1/3 trường hợp lại Khi nhóm mờ ρ có thể hiện: x1 , s1 , t1/2 , u1/3 |z = e, s2 = e, s = t2 , t = u3 Footer Page 15 of 126 15 Header Page 16 of 126 Ví dụ 2.2.2 Xét nhóm Dihedral D4 = a, b|a4 = e, b2 = e, ba = a3 b Cho ρ nhóm mờ D4 xác      1/2 ρ(x) =  1/3    1/4 định sau: x = e x = a2 b x ∈ {a2 , b} x ∈ {a, a3 , ab, a3 b} Khi ta có thể hiện: e1 , w1/2 , x1/3 , y1/3 , z1/4 |w = xy, z = e, y = e, x = z , yz = z y dấu gạch ngang phần tử sinh bỏ 2.3 Xây dựng nhóm mờ tự Định nghĩa 2.3.1 Cho X tập hợp χ tập mờ X Khi cặp (X, χ) gọi tập mờ Nếu G nhóm µ nhóm mờ G (G, µ) gọi nhóm mờ Định nghĩa 2.3.2 Cho (F, µ) nhóm mờ (X, χ) tập mờ, X ⊆ F Khi (F, µ) gọi nhóm mờ tự (X, χ) điều kiện sau thỏa mãn: 1) (X, χ) sinh (F, µ) 2) Nếu (G, ν) nhóm mờ có tập mờ sinh (Y, η) với toàn ánh f : (X, χ) −→ (Y, η) tùy ý, tồn toàn cấu f ∗ : (F, µ) −→ (G, ν) cho f ∗ (x) = f (x), ∀x ∈ X Tập mờ (X, χ) gọi sở mờ tự nhóm mờ(F, µ) Mệnh đề 2.3.1 Cho (F1 , µ1 ), (F2 , µ2 ) nhóm mờ tự (X1 , χ1 ), (X2 , χ) Nếu f : X1 −→ X2 song ánh cho f (χ1 ) = χ2 tồn đẳng cấu nhóm mờ từ (F1 , µ1 ) lên (F2 , µ2 ) Mệnh đề 2.3.2 Trong tập mờ (Σ∗ , ξ) cho trên, ξ nhóm mờ Σ∗ Mệnh đề 2.3.3 Cho µ tập mờ nhóm G Khi µ (x) = ∨{r|x ∈ µr , r < ∨µ} Định lí 2.3.1 Mọi nhóm mờ ảnh đồng cấu nhóm mờ tự Footer Page 16 of 126 16 Header Page 17 of 126 Chương NHÓM CON MỜ CỦA NHÓM ABEL Trong chương này, khái niệm nhóm mờ nhóm Abel với khái niệm dẫn xuất kết liên quan tìm thấy [6], [7], [8], [9], [12], [13], [16], [17] Trong chương ta xét G nhóm (cộng) Abel 3.1 Tổng trực tiếp tập sinh cực tiểu Kí hiệu I tập số khác rỗng Tổng x = i∈I xi hiểu tất cả, trừ số hữu hạn, xi Nếu {µi |i ∈ I} họ nhóm mờ G tập mờ ( i∈I i∈I µi G định nghĩa sau: ∀x ∈ G µi )(x) = ∨{∧i∈I µi (xi )|x = i∈I xi } Định nghĩa tương tự định nghĩa tích yếu (Định nghĩa 1.6.2) Do kết Chương tích trực tiếp yếu Từ sau ta nói tổng trực tiếp yếu thay cho tích trực tiếp yếu thay kí hiệu • • ⊗ kí hiệu ⊕ Định nghĩa 3.1.1 Cho µ nhóm mờ G Đặt F(µ) = {ν ∈ F(G)|ν ⊆ µ} Giả sử χ tập mờ G cho χ ⊆ µ Kí hiệu χ giao tất nhóm mờ γ ∈ F(µ) cho χ ⊆ γ Khi χ gọi tập sinh χ µ Rõ ràng, χ nhóm mờ G nhóm mờ bé G F(µ) chứa χ Định nghĩa 3.1.2 Cho µ nhóm mờ G Kí hiệu S tập hợp gồm điểm mờ cho xa , xb ∈ S a = b > x = Tập mờ Footer Page 17 of 126 17 Header Page 18 of 126 χ(S) G đinh nghĩa sau: ∀x ∈ G, χ(S)(x) = a xa ∈ S / S xa ∈ Đặt S = χ(S) Khi S gọi tập tập sinh cực tiểu µ µ = S ∪ 0µ(0) µ ⊃ S\{xa } ∪ 0µ(0) , ∀xa ∈ S Mệnh đề 3.1.1 Cho µ nhóm mờ G Nếu x1 , x2 , , xn ∈ G thỏa mãn ∧n−1 i=1 µ(xi ) > µ(xn ) µ(x1 + x2 + + xn ) = µ(xn ) Mệnh đề 3.1.2 Cho µ nhóm G µ(G)\{0} = {a0 , a1 , , an } Giả sử ai−1 > , ∀i ∈ I\{0}, với I = {0, 1, 2, , n} Nếu với i ∈ I\{0} tồn nhóm Hi µai cho µai = µai−1 ⊕ Hi tồn µi ∈ F(G), i ∈ I, cho µ = ⊕i∈I µi , µ∗0 = µa0 µ∗i = Hi , ∀i ∈ I\{0} Mệnh đề 3.1.3 Cho µ nhóm G µ(G)\{0} = {a0 , a1 , , an } Giả sử ai−1 > , ∀i ∈ I\{0} với I = {0, 1, , n} Nếu pµ∗ = {0} với p số nguyên tố µ tổng trực tiếp yếu nhóm mờ có giá cyclic Mệnh đề 3.1.4 Cho µ nhóm mờ G χ tập mờ G cho χ ⊆ µ Giả sử σ tập mờ G định nghĩa sau: ∀y ∈ G, σ(y) = ∨{(e1 (x1 )a1 + + en (xn )an )(y)|xi ∈ G, ∈ [0, 1], χ(xi ) = , ei = ±1, i = 1, 2, , n, n ∈ N} Khi σ = χ Định lí 3.1.1 Cho µ nhóm mờ G Giả sử µ∗ = x , với x ∈ µ∗ Với u ∈ µ(G), kí hiệu nu số nguyên dương bé cho µu = nu x Khi {(nu x)u |u ∈ µ(G)\{0}} tập sinh cực tiểu µ Mệnh đề 3.1.5 Cho µ nhóm mờ G {µj |j ∈ J} ⊆ F(µ), J tập số khác rỗng Giả sử µ∗ = ⊕j∈J (µj )∗ , đó, với j ∈ J, (µj )∗ = xj , với xj ∈ G Giả sử Sj = {((nj )uj xj )uj |uj ∈ µj (G), (nj )uj ∈ N} tập sinh cực tiểu µj , j ∈ J Khi mệnh đề sau 1) ∪j∈J Sj tập sinh cực tiểu ⊕j∈J µj 2) ∪j∈J Sj tập sinh cực tiểu µ µ = ⊕j∈J µj Footer Page 18 of 126 18 Header Page 19 of 126 Mệnh đề 3.1.6 Giả sử G = ⊕m i=1 Gi , Gi nhóm cyclic G, i = 1, 2, , m Giả sử tồn nhóm cyclic H G cho H không chứa hạng tử trực tiếp G Khi tồn nhóm mờ µ G cho µ không tổng trực tiếp nhóm mờ có giá cyclic G 3.2 Hệ sinh độc lập Để thuận tiện, ta thiết lập khái niệm độc lập tuyến tính tập hợp gồm điểm mờ nhằm lựa chọn sở cho tổng trực tiếp nhóm mờ cyclic Giả sử n ∈ N xa điểm mờ G Khi kí hiệu nxa nxa = xa + xa + + xa Ta có n lần nxa = xa + xa + + xa = (x + + x)a∧ ∧a = (nx)a Định nghĩa 3.2.1 Cho µ nhóm mờ G Một hệ điểm mờ {(x1 )a1 , (x2 )a2 , (xk )ak }, với < ≤ µ(xi ), i = 1, 2, , k, gọi độc lập tuyến tính µ n1 (x1 )a1 + n2 (x2 )a2 + + nk (xk )ak = 0a kéo theo n1 x1 = n2 x2 = = nk xk = ni ∈ Z, i = 1, 2, , k a ∈ (0, 1] Một hệ điểm mờ gọi phụ thuộc tuyến tính hệ không độc lập tuyến tính Một hệ S tùy ý gồm điểm mờ độc lập µ hệ hữu hạn S độc lập µ Ta kí hiệu S hệ điểm mờ cho ∀xa ∈ S, < a ≤ µ(x) Kí hiệu S ∗ = {x|xa ∈ S} Sa = µa ∩ S ∗ , ∀a ∈ (0, µ(0)] Mệnh đề 3.2.1 Cho µ nhóm mờ G Khi mệnh đề sau tương đương: 1) S độc lập µ, 2) S ∗ độc lập µ∗ , 3) Sa độc lập µa , ∀a ∈ (0, µ(0)] Định nghĩa 3.2.2 Cho µ nhóm mờ G Một hệ độc lập M gồm điểm mờ µ gọi tối đại không tồn hệ độc lập S gồm Footer Page 19 of 126 19 Header Page 20 of 126 điểm mờ µ cho M ⊂ S Mệnh đề 3.2.2 Cho µ nhóm mờ G Khi hệ độc lập S µ mở rộng thành hệ độc lập tối đại Định lí 3.2.1 Cho µ nhóm mờ G S hệ độc lập µ nhóm mờ G sinh S tổng trực tiếp nhóm mờ có giá cyclic G, tức với S = {(xi )ai |0 < ≤ µ(xi ), i ∈ I} ta có S = ⊕i∈I (xi )ai 3.3 Nhóm mờ nguyên sơ Định nghĩa 3.3.1 Cho µ nhóm mờ G Khi µ gọi nhóm mờ p-nguyên sơ G tồn số nguyên tố p cho với điểm mờ xa ⊆ µ, với a > 0, tồn số tự nhiên n cho pn (xa ) = 0a Mệnh đề 3.3.1 Cho µ nhóm mờ G cho p số nguyên tố Tập mờ µ(p) G định nghĩa sau: ∀x ∈ G, (p) µ (x) = µ(x) x ∈ (µ∗ )p trường hợp lại Khi µ(p) nhóm mờ p-nguyên sơ G (µ(p) )∗ = (µ∗ )p Hơn nữa, (µ(p) )a = (µa )p , ∀a ∈ (0, µ(0)] Mệnh đề 3.3.2 Cho µ nhóm G cho p số nguyên tố Khi µ(p) nhóm mờ p-nguyên sơ cực đại G µ Định nghĩa 3.3.2 Cho µ nhóm mờ G cho p số nguyên tố Khi µ(p) gọi thành phần p-nguyên sơ µ Định nghĩa 3.3.3 Một nhóm mờ µ G gọi nhóm mờ xoắn với điểm mờ xa ⊆ µ, a > 0, tồn số tự nhiên n cho nxa = 0a Mệnh đề 3.3.3 Cho µ nhóm mờ G Khi mệnh đề sau đúng: Footer Page 20 of 126 20 Header Page 21 of 126 1) µ xoắn µ∗ nhóm nhóm xoắn G 2) µ xoắn µa xoắn, ∀a, < a ≤ µ(0) 3) Tồn nhóm mờ cực đại τ G cho τ ⊆ µ τ xoắn Mệnh đề 3.3.4 Cho µ nhóm mờ xoắn G Khi µ tổng trực tiếp nhóm mờ nguyên sơ G Mệnh đề 3.3.5 Cho µ ν nhóm mờ G cho µ ⊆ ν Khi tồn nhóm mờ cực đại γ G cho µ ⊆ γ ⊆ ν với xa ⊆ γ, a > 0, tồn số tự nhiên n b ∈ (0, 1] cho nxb ⊆ µ Định nghĩa 3.3.4 Nhóm mờ γ G Mệnh đề 3.3.5 gọi bao đóng xoắn µ ν Mệnh đề 3.3.6 Cho µ ν nhóm mờ G cho µ ⊆ ν Và γ nhóm mờ G cho µ ⊆ γ ⊆ ν Khi γ bao đóng xoắn µ ν γ ∗ /µ∗ nhóm xoắn ν ∗ /µ∗ γ = ν γ ∗ 3.4 Nhóm mờ túy nhóm mờ chia Trong toàn mục ta xem G nhóm (cộng) Abel với phần tử không Định nghĩa 3.4.1 Cho µ nhóm mờ G Khi µ gọi chia ∀xa ⊆ µ, a > 0, ∀n ∈ N tồn ya ⊆ µ cho n(ya ) = xa Mệnh đề 3.4.1 Cho µ nhóm mờ G Khi 1) µ chia µa chia được, với a ∈ (0, µ(0)] 2) Nếu µ chia µ∗ chia 3) Nếu µ∗ chia µ số µ∗ \{0} µ chia Kí hiệu T nhóm xoắn G Mệnh đề 3.4.2 Cho µ nhóm mờ G Khi với x, y ∈ G n ∈ N, ny = x kéo theo µ(x) = µ(y) với nhóm mờ chia µ G G không xoắn Footer Page 21 of 126 21 Header Page 22 of 126 Mệnh đề 3.4.3 Cho µ ∈ F(G) Giả sử G = Q, với Q nhóm cộng số hữu tỉ Khi đó, µ chia µ có giá trị G Mệnh đề 3.4.4 Cho G = Z(p∞ ) Khi với nhóm mờ chia µ G, ∀x, y ∈ G\{0} ∀n ∈ N cho ny = x ta có µ(x) = µ(y) Định nghĩa 3.4.2 Cho µ nhóm mờ G ν ∈ F(µ) Khi ν gọi túy µ với xa ⊆ ν, a > 0, ∀n ∈ N ∀ya ⊆ µ cho n(ya ) = xa tồn za ⊆ ν cho n(za ) = xa Mệnh đề 3.4.5 Cho µ nhóm mờ G ν ∈ F(µ) Khi ν túy µ νa túy µa , ∀a ∈ (0, ν(0)] Định nghĩa 3.4.3 Cho χ tập mờ G n ∈ N Ta định nghĩa tập mờ nχ G sau: ∀x ∈ G, (nχ)(x) = x ∈ / nG ∨{χ(y)|y ∈ G, x = ny} Mệnh đề 3.4.6 Cho µ nhóm mờ G n ∈ N Khi 1) (nµ)(0) = µ(0) 2) nµ ⊆ µ 3) nµ nhóm mờ G 4) Nếu µ có tính chất sup nµ(G) ⊆ µ(G) Mệnh đề 3.4.7 Cho µ nhóm mờ G n ∈ N Khi mệnh đề sau 1) (nµ)∗ = nµ∗ 2) nµa ⊆ (nµ)a , ∀a ∈ (0, µ(0)] Nếu µ có tính chất sup µ∗ không xoắn nµa = (nµ)a , ∀a ∈ (0, µ(0)] 3) Giả sử ν ∈ F(µ) ν(0) = µ(0) Nếu µ có tính chất sup ν túy µ nνa = (nν)a , ∀a ∈ (0, µ(0)] Mệnh đề 3.4.8 Cho µ nhóm mờ G ν ∈ F(µ) cho ν(0) = µ(0) Khi mệnh đề sau đúng: 1) Giả sử µ có tính chất sup Khi ν túy µ nν = ν ∩ nµ, ∀a ∈ N Footer Page 22 of 126 22 Header Page 23 of 126 2) Giả sử µ∗ không xoắn Khi ν túy µ ∀n ∈ N, nν = ν ∩ nµ Mệnh đề 3.4.9 Cho µ nhóm mờ G, ν, γ ∈ F(µ) cho γ ⊆ ν γ(0) = ν(0) = µ(0) Khi mệnh đề sau đúng: 1) Nếu γ túy ν ν túy µ γ túy µ 2) Nếu ν chia ν túy µ 3) Giả sử µ chia Khi ν túy µ ν chia Mệnh đề 3.4.10 Cho µ nhóm mờ G µ∗ không xoắn Giả sử {νj |j ∈ J} họ nhóm mờ G cho νj ⊆ µ, νj túy µ νj (0) = µ(0), ∀j ∈ J Khi ∩j∈J νj túy µ Mệnh đề 3.4.11 Cho µ nhóm mờ G Giả sử µ∗ không xoắn ν ∈ F(µ) cho ν(0) = µ(0) Khi ν chứa nhóm mờ túy cực tiểu µ Mệnh đề 3.4.12 Cho µ nhóm mờ G ν, γ ∈ F(µ) Nếu µ = ν ⊕ γ ν γ túy µ 3.5 Bất biến nhóm mờ Trong mục ta định nghĩa hệ đầy đủ bất biến nhóm mờ µ G, Với µ tổng trực tiếp nhóm mờ có giá cyclic Các bất biến xác định nhóm mờ µ Với x ∈ G, kí hiệu o(x) cấp x Giả sử µ nhóm mờ G Đặt S(µ) = {xa |x ∈ µ∗ , µ(x) = a} FS(µ) = {χ|χ ∈ FP(G), χ ⊆ µ} Định nghĩa 3.5.1 Cho µ nhóm mờ G χ ∈ FS(µ) Khi χ (hoặc S(χ)) gọi tập sinh cực tiểu µ µ = χ ∪ 0µ(0) χ − xa ∪ 0µ(0) ⊂ χ , ∀xa ∈ S(χ) Trong (χ − xa )(y) = Footer Page 23 of 126 (χ)(y) y = x trường hợp lại 23 Header Page 24 of 126 Mệnh đề 3.5.1 Cho µ nhóm mờ G Giả sử µ∗ = x = y Với u ∈ µ(G), gọi nu , mu số nguyên dương bé cho µu = nu x = mu y Khi nu = mu , ∀u ∈ µ(G) Mệnh đề 3.5.2 Cho µ ν nhóm mờ G G′ Giả sử µ = ⊕j∈J µj ν = ⊕j∈J ν j , µ∗ = ⊕j∈J xj ν ∗ = ⊕j∈J yj Nếu Iµ = Iν tồn đẳng cấu f từ µ∗ lên ν ∗ cho f (µ) = ν Mệnh đề 3.5.3 Cho µ ν nhóm mờ G G′ Giả sử f đẳng cấu từ µ∗ lên ν ∗ cho f (µ) = ν Nếu µ∗ = ⊕j∈J xj ν ∗ = ⊕j∈J f (xj ) , Iµ = Iν f ( j∈J µj ) = j∈J νj Định nghĩa 3.5.2 Cho µ nhóm mờ G, γ ∈ F(µ) xa ⊆ µ Khi tập mờ xa + γ gọi lớp kề mờ trái γ µ với đại diện xa Mệnh đề 3.5.4 Cho µ nhóm mờ G γ ∈ F(µ) Đặt µ/ν = {xa + ν|xa ⊆ µ, x ∈ G, a ∈ [0, 1]} Khi (µ/ν, +) vị nhóm cộng giao hoán Nếu ν(0) = µ(0) µ/ν = ∪ (µ/ν)(a) với M = [0, µ(0)] a∈M Mệnh đề 3.5.5 Cho µ nhóm mờ G γ ∈ F(µ) Khi (µ/γ)(a) ≃ µa /γa , ∀a ∈ [0, µ(0)] Mệnh đề 3.5.6 Cho µ ν nhóm mờ G, γ ∈ F(µ) δ ∈ F(ν) Giả sử µ∗ = γ ∗ = ⊕j∈J xj , ν ∗ = δ ∗ = ⊕j∈J yj , γ = ⊕j∈J µj δ = ⊕j∈J ν j Ngoài Iγ = Iδ Khi tồn đẳng cấu f từ γ ∗ lên δ ∗ cho f (xj ) = yj , ∀j ∈ J f (γ) = δ Đồng thời điều kiện sau tương đương: 1) f (µ) = ν; 2) ∀a ∈ [0, µ(0)], xa ⊆ µ f (x)a ⊆ ν; 3) ∀a ∈ (0, µ(0)], fa định nghĩa fa (xa + γ) = f (x)a + δ, đẳng cấu từ (µ/γ)(a) lên (ν/δ)(a) Footer Page 24 of 126 24 Header Page 25 of 126 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu lý thuyết nhóm mờ, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: • Tổng quan hệ thống cách đầy đủ khái niệm, tính chất tập mờ nhóm mờ Các khái niệm, tính chất xem công cụ thiết yếu để nghiên cứu lý thuyết nhóm mờ • Khảo sát chi tiết đầy đủ nhóm mờ tự do, thể nhóm mờ xây dựng nhóm mờ tự Ngoài ra, hệ thống ví dụ minh họa trình bày nhằm làm sáng tỏ vấn đề nghiên cứu • Tìm hiểu cách đầy đủ chi tiết khái niệm kết nhóm mờ nhóm Abel Cụ thể tổng trực tiếp tập sinh cực tiểu, hệ sinh độc lập, nhóm mờ nguyên sơ, nhóm mờ túy nhóm mờ chia được, bất biến nhóm mờ, ví dụ minh họa đặc sắc Một phương pháp nghiên cứu sử dụng tìm hiểu, trình bày khái niệm lý thuyết nhóm mờ tương tự với khái niệm lý thuyết nhóm Vì thế, hy vọng vấn đề mà nghiên cứu mở rộng vành mờ, trường mờ, môđun mờ, Luận văn tài liệu bổ ích cho thân tác giả hy vọng tài liệu tham khảo hữa ích cho quan tâm đến lĩnh vực đại số mờ Footer Page 25 of 126  ... văn gồm ba chương: Chương Tập mờ nhóm mờ Chương Nhóm mờ tự thể nhóm mờ Chương Nhóm mờ nhóm Abel Footer Page of 126 3 Header Page of 126 Chương TẬP CON MỜ VÀ NHÓM CON MỜ Trong chương ta ký hiệu... đề tài khảo sát nhóm mờ, nhóm mờ tự nhóm mờ nhóm Abel Chúng tìm hiểu khái niệm hệ sinh độc lập, nhóm mờ nguyên sơ, nhóm mờ chia được, nhóm tuý mờ xác định hệ đầy đủ bất biến nhóm mờ Phương pháp... 126 Chương NHÓM CON MỜ TỰ DO VÀ SỰ THỂ HIỆN CỦA NHÓM CON MỜ Trong chương này, khái niệm nhóm mờ tự với khái niệm dẫn xuất kết liên quan tìm thấy [5], [10], [13], [14], [15] 2.1 Nhóm mờ tự Khái niệm