Chuyên đề số chính phươngg

SỐ CHÍNH PHƯƠNG Định nghĩa : Số phương bình phương số nguyên 2 Vd: 2 ;16 4 Các tính chất số phương a Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7, Như để chứng minh số khơng phải số phương ta số có hàng đơn vị 2, 3, 7, b Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa TSNT với số mũ chẵn, không chứa TSNT với số mũ lẻ 2 Vd: 3600 60 2  Để chứng minh số SCP ta số phân tích TSNT có số mũ lẻ c Số phương có dạng 3n 3n + ( a 0,1(mod 3) ) khơng có SCP có dạng 3n + ( n  N ) d Số phương có dạng 4n 4n + ( a 0,1(mod 4) ) khơng có SCP có dang 4n + 4n + ( n  N ) e Số ước số số phương số lẻ, ngược lại số có số lượng ước lẻ số phương f Nếu số phương chia hết cho p chia hết cho p2 g Nếu a.b SCP (a,b) =  a, b số phương h Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn ( 121, 49, …) - Số phương tận chữ số hàng chục - Số phương tận chữ số hàng chục chẵn - Số phương tận chữ số hàng chục lẻ *) HỆ QUẢ : Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 25 - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Dạng 1: Chứng minh số số phương - Ta Biến đổi để đưa số bình phương số tự nhiên Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y A ( x  y )( x  y )( x  y )( x  y )  y Là số phương Lời giải 2 2 4 2 Cách 1: A ( x  5xy  y )( x  5xy  y )  y  x  10 x y  35 x y  50 xy  25 y ( x  xy )  2.( x  xy ).5 y  (5 y ) ( x 5 xy  y ) 2 2 Vì x, y, z  Z  x ,5 xy,5 y  Z  x  xy  y  Z  A số phương 2 2 2 2 Cách 1: Đặt x  xy  y t (t  Z )  A (t  y )(t  y )  y t ( x  5xy  y ) (dpcm) Bài 2: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng them ln số phương Lời giải Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + ( n  Z ) 2 Ta có: n(n  1)( n  2)(n  3)  (n  3n  1) (dpcm) Bài 3: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp SCP Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n  2, n  1, n, n  1, n  2(n  N , n 2) 2 2 2 Ta có: (n  2)  (n  1)  n  (n  1)  ( n  2) 5n  10 5( n  2) Vì n2 số phương nên n khơng thể có chữ số tận nên n2 + không chia hết cho 5, hay 5(n  2) số phương Bài 4: Cho hai số phương liên tiếp CMR tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải Gọi hai số phương liên tiếp là: a2 (a  1) (a  Z ) Theo ta có: a  (a  1) a (a  1)2 a  2a  3a  2a  (a  2a  3a )  (a  2a  1) (a  a )  2(a  a )  (a a  1) SCP lẻ a a a (a  1) số chẵn  a  a  số lẻ Bài 5: Chứng minh số n2 + 2014 với n ngun dương khơng phải số phương Lời giải Giả sử n2 + 2014 số phương 2 2 Đặt n  2014 k  k  n 2014  (k  n)(k  n) 2014 Ta có (k  n)  (k  n) 2n chẵn  k  n; k  n tính chất chẵn lẻ  k ; n tính chẵn lẻ Mặt khác ta lại có : (k  n)(k  n) 2014  k  n; k  n chia hết cho hay (k  n)(k  n)4 Mà 20144  (k  n)( k  n) 2014  khơng có số ngun dương n để SCP Bài 6: Chứng minh số có dạng n  n  2n  2n , n  N , n  khơng phải SCP Lời giải Ta có : n  n  2n  2n n (n  n  2n  1) n  n (n  1)(n  1)  2(n  1)  n (n  1)(n  n  2) n (n  1)  (n3  1)  (n  1)  n (n  1)  ( n  1)(n  n  1)  ( n  1)(n  1)  n ( n  1) (n  2n  2) 2 Ta chứng minh n  2n  khơng phải số phương ( dựa vào n  A  (n  1) ) Ta có : n  2n  (n  1)   ( n  1) ; n  2n  n  2(n  1) 2  ( n  1)  n  2n   n  n  2n  Khơng phải số phương Bài 7: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải SCP Lời giải Vì a, b hai số lẻ, ta đặt a 2k  (k , m  N )  a  b 4(k  k  m  m)  4t  2(t  N )  b 2m  2 Không có số phương dạng 4t  2(t  N )  a  b khơng phải số phương Bài 8: Cho số phương có chữ số hàng chục khác cịn chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số CP Lời giải Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho : 1, 3, 5, 7, Khi tổng chúng : 25 = 52 số phương Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a nên a 2  a 4 Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 Do ta có : + + + + = 25 = 52 số phương 20 Bài 9: Cho A 2     CMR : A + không số phương Lời giải A 22  23  24   220  A 23  24   21  A  A  A 2 21  2  A  2 21 2.(210 ) Không phải số phương 100 b Cho B 3    CMR : 2B + khơng số phương Lời giải B 31  32   3100  3B 32  33   3100  B  3101 3.(350 )  dpcm Bài 10: Chứng minh A 11 155 56   n 1 n số phương Lời giải n 1 A 11 1.10  55 5.10 6    n 1 n 99 n1 10n 1  n 1 5(10n  1) 10  55 5.10   10  10   9 n 102 n 2  10n 1  5.10 n 1  50  54 102 n 2  4.10n 1  10n 1  2 A  ( ) 9 b Chứng minh B 11 1122 225       1997 1998 số phương Lời giải 1999 B 11 11.10  22 22.10   (101997  1).101999  (101998  1).10        9 1997 1998 100 005     3996  1998 1998 2  (10  2.5.10  25)  (10  5)  ( 1997 ) 3  c A 11  44     1 nchuso1 nchuso số phương Lời giải 101  102  103  1 ;11  ;111  9 Ta có : 102 n  4(10n  1) 102 n  4.102  10n  2 A  1  ( ) 9 n Vì 10 23  A số phương 10n  A 11  11  66       ( ) n n  n d 2.10n  A 44  ( )      22     88 n n n  e Bài 11: Cho S 1.2.3  2.3.4  3.4.5   k (k  1)(k  2) CMR: 4S + số phương Lời giải Ta có: 1 k (k  1)(k  2)  k (k  1)(k  2)  (k  3)  ( k  1)   k ( k  1)(k  2)( k  3)  ( k  1)k (k  1)( k  2) 4  S  k (k  1)(k  2)(k  3)  S  k ( k  1)( k  2)( k  3)   Bài 12: Khó Cho dãy số có số 16, số sau tạo cách viết thêm số 15 vào số liền trước nó: 16, 1156, 111556,… Chứng minh số dãy số phương Lời giải Trong số dãy trên, số chữ số ln số chữ số chữ số Đặt A 11 11    55 55    n chu so.1 n 1.chu so.5 Thật vậy, đặt thuộc dãy số Ta chứng minh A số phương a 11 11  10n 9a   n.chu so Ta có: n 2 A  11.11 10n  11 11  5.11 11     10   11 11.10      a (9a  1)  5a  (3a  1)  33 33    n.chu so.1 n  1.chu so.1 n.chu so.1 n.chu so.1 n  1.chu so.3 Vậy A số phương Dạng 2: Tìm giá trị biến để biểu thức số phương Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương a n  2n  12 d n  n  1598 b n(n  3) c* 13n  e [ HSG – BG – 2013] n  4n  2013 f [ HSG – LĐ – 2015] n  2n  18 Lời giải 2 2 2 a Đặt n  2n  12 k (k  N )  (n  2n  1)  k  11  k  (n  1) 11  (k  n  1)(k  n  1) 1.11 ( 1).( 11) Ta lại có: k  n   k  n  k  n  11   k  n   +) TH1:  k  n 10   k  n   k 6 (tm)  n   k  n   k   (loai )  k  n   11 n 4  +) TH2: Vậy n = 2 2 2 b n(n  3) a  4n  12n 4a  4n  12n  4a   (2n  3)  4a 9  (2n   2a)(2n   2a) 9 2n   2a 9   2n   2a 1  +) TH1: n 1 (tm)  a 2 2n   2a    2n   2a   +) TH2: n  (loai )  a 2 Vậy n = 2 c Đặt 13   y ( y  N )  13( n  1)  y  16  13(n  1) ( y  4)( y  4)  ( y  4)( y  4) 13 mà  y  413 13       y  413  y 13k  2  y 13k  (k  N )  13(n  1) (13k 4)  16 13k (13k 8)  13k 8k  n  Vậy n 13k 8k  1(k  N ) 13n + 13 số phương 2 2 2 d n  n  1598 m (m  N )  (4n  4n  1)  6355 4m  (2n  1)  6355 m (2m  2n  1)(2m  2n  1) 6355 6355.1 155.41 271.5 205.31 Ta có: 2m + 2n + > 2m – 2n – số lẻ nên có trường hợp  n   1588,316, 43, 28 e n  4n  2013 m (m  N )  ( n  2)  2009 m  ( m  n  2)( m  n  2) 2009.1 287.7 49.41 Vì m + n + > m + n – nên có trường hợp xảy Bài 2: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết 2n + 3n + số phương Lời giải Vì n có hai chữ số 10 n 99  20 2n 198  21 2 n  199 Mà 2n + số phương lẻ  2n    25;49;81;121;169  n   12;24;40;60;84  3n    37;73;121;181;253  n 40 Bài 3: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số cho cộng số với số có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta số phương Lời giải Gọi số cần tìm là: ab(1 a, b 9) Số viết theo thứ tự ngược lại : ba Tổng hai số : ab  ba 11(a  b) Vì tổng hai số số phương, đặt 11(a  b) m (m  N )  a  b 11  có số : 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92 Bài 4: Tìm tất số tự nhiên n cho : n  14n  256 số phương Lời giải n  14n  256 k (k  N )  (n  7)  k 305  (n  k  7)(n  k  7) 305 61.5  Đặt ( 1)( 305) ( 61)( 5) Do n, k  N  n  k   n  k  n  k  61   n  k  5  +) n 40 (tm)  k 32 n  k  1  n 160(tm)  n  k  305  +) +) n  k   305  n  146(loai) +) n  k   61  n  26(loai ) 11 n Bài 5: Tìm số tự nhiên n để   số phương Lời giải 11 n 2 n n Đặt   a (a  0, a  N )  48  a  (a  48)(a  48) +) n 0  ( a  48)(a  48) 1  voly +) a  48 2 x n 0  ( x  y n; x  y )  96 2 x  y  y (2 x y  1) 25.3  y le a  48 2 2 y 5   x y 2 4 Bài : Tìm số tự nhiên n 1 cho : 1! 2!  n ! số phương Lời giải +) n 1  S 1! 1 1 +) n 2  S 1! 2! 3(loai ) +) n 3  S 1! 2! 3! 9 3 +) n 4  S 1! 2! 3! 4! 33(loai ) +) n 5  S 1!  2! 3!  4!  5!  6!  n!  khonglasochinhphuong 33 tc 0 Vậy n = n = Bài 7: Tìm tất số nguyên dương n cho n ! 232 số phương Lời giải +) n 1  1! 232 233(loai)  x 7  n 12   y 5 +) n 2,3  loai +) n 4  n! 232 256 16 (tm) +) n 5  n!5  n! 232 2(mod 5)  n! 232khonglasochinhphuong Vậy n = Bài 8: Cho n số nguyên dương cho n + 2n + só phương CMR n chia hết cho 24 Lời giải 2 Đặt n  a ; 2n  b (a, b  N )  b : le  b 2k   b 4k (k  1)  Mà n b  4k ( k  1)  2k (k  1)  n : chan  n  1: le  a : le  a 2q  1(q  N ) 2  a 4q (q  1)   n 4q( q  1)8(1)    2 2 Mặt khác a  b 3n  2(mod 3) 2 2 2 Và a , b 0,1(mod 3)  a , b 1(mod 3)  a  b 0(mod 3)  (2n  1)  ( n  1) 3  n 3 Mà (3,8) 1  n  n24  dpcm Bài 9: [ Vào 10 Chuyên Phân Bội Châu, năm 2014 – 2015 ] Tìm chữ số a, b cho: ab (a  b) Lời giải Từ giả thiết  ab ( a  b) a  b (1) * Vì ab; a  b  N  a  b phải số phương Mà: a  b 18  a  b   1;4;9;16 +) a + b = thay vào (1)  ab 1(loai ) +) a + b = 4; a + b = 16 loại hết 10