TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH ĐỀ ĐỀ XUẤT (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2023 ĐỀ THI MƠN: TỐN LỚP: 11 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) Cho dãy số thực dương ( xn ) , n ³ thỏa mãn x1 + x2 + + xn + xn+1 < xn với n nguyên dương Chứng minh x1 + x2 + + xn £ xn+1 với n nguyên dương Câu (4,0 điểm) Tìm tất hàm số f : ¡ ® ¡ cho: f ( y - f ( x ) ) = f ( x 2024 - y ) - 2023 yf ( x), " x, y Ỵ ¡ Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có AD đường phân giác ( D thuộc BC ) Gọi E , F điểm cung CA chứa B , cung AB chứa C đường tròn (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt cạnh AB M Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF cắt cạnh AC N a) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp đường tròn b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Gọi AP, AQ đường kính đường trịn ( ABN ) ( ACM ) Chứng minh đường thẳng BQ, CP, AI đồng quy Câu (4,0 điểm) Kí hiệu {x} phần lẻ số thực x a) Chứng minh tồn vô số số thực dương x thỏa mãn 2023 {x } - {x} > 2024 b) Chứng minh không tồn số thực dương x bé 1000 thỏa mãn bất đẳng thức Câu (4,0 điểm) Trong phịng thi trắc nghiệm mơn Tốn có 24 thí sinh xếp ngồi quanh bàn trịn Trong bì đựng đề thi giám thị có loại đề khác nhau, loại đề có nhiều Một cách phát đề gọi quy chế thí sinh nhận đề hai thí sinh ngồi cạnh nhận hai loại đề khác Hỏi có cách phát đề quy chế? .Hết - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm TRƯỜNG THPT CHUN NGUYỄN TẤT THÀNH KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn có 05 trang, gồm 05 câu) MƠN: TỐN - LỚP: 11 Câu Nội dung Cho dãy số thực dương ( xn ) , n ³ thỏa mãn Điểm x1 + x2 + + xn + xn+1 < xn với n nguyên dương Chứng minh 4,0 x1 + x2 + + xn £ xn+1 với n nguyên dng n S n+1 Vi mi n ẻ Ơ * , đặt S n = å xi , yn = Sn i =1 Từ giả thiết ta có: S n+1 < 4( S n - Sn- ) , " n ³ , suy S n+2 < 4( S n+1 - S n ), " n ³ Û Sn+2 + Sn < Sn+1 , " n ³ Û hay yn+1 + Sn+2 2S + n < 2, " n ³ 2S n+1 S n+1 1,0 < 2, " n ³ yn Ta cần chứng minh S n £ ( S n+1 - S n ) hay Sn+1 ³ , tc yn , " n ẻ Ơ * Sn 1 ³ yn+1 yn yn Thật vậy, ta có > yn+1 + Û > yn+1 Û yn > yn+1 , " n ³ yn 2,0 Suy ( yn ) dãy giảm * Vì S n+1 > S n > 0, " n ẻ Ơ nờn Sn+1 1 > Þ yn > 2Sn 2 ( yn ) dãy giảm bị chặn Đặt L = lim yn ị L nđ+Ơ Li cú yn+1 + nên ( yn ) có giới hạn hữu hạn 1 < , cho n đ +Ơ ta c L + Ê yn L 1 >0 Þ L+ ³ L Từ (1) (2) suy L + = Û L =1 Þ lim yn =1 nđ+Ơ L * Vỡ ( yn ) dãy giảm nên yn ³ 1, " n Ỵ ¥ ( đpcm) Mà L ³ (1) (2) 1,0 Tìm tất hàm số f : ¡ ® ¡ cho: f ( y - f ( x) ) = f ( x 2024 - y ) - 2023 yf ( x ), " x, y Ỵ ¡ (1) Giả sử hàm số thỏa mãn yêu cầu toán +)Trong (1) thay y f ( x) ta có : f ( 0) = f ( x 2024 - f ( x)) - 2023( f ( x ))2 , " x Ỵ ¡ 4,0 1,0 (2) +)Trong (1) thay y x 2024 ta có : f ( x 2024 - f ( x )) = f ( 0) - 2023x 2024 f ( x ), " x Ỵ ¡ 2024 Từ (2) (3) suy f ( x ) ( f ( x) + x ) = 0, " x Ỵ ¡ (3) (4) 0,5 2024 Vậy có x0 cho f ( x0 ) ¹ f ( x0 ) =- x0 , suy f ( 0) = 2024 Dễ thấy có hai hàm số f1 ( x) º f ( x) =- x , " x Ỵ ¡ thỏa mãn (4) +) Ta chứng minh có hàm số f ( x) khác hai hàm số f1 ( x) f ( x) mà thỏa mãn (1) (4) vơ lý 2024 Vì f ( x) khác f1 ( x) nên $x1 Î ¡ : f ( x1 ) ¹ Vậy f ( x1 ) =- x1 Vì f ( x) thỏa mãn (4) khác f ( x) nờn $x2 ẻ Ă : x2 0; f ( x2 ) = +) Trong (1) cho x = Þ f ( y ) = f (- y ), " y Ỵ ¡ Khơng tổng qt, giả sử x2 > 1,0 1,0 +)Trong (1) thay x x2 y (- x1 ) ta có : f (- x1 ) = f ( x2 2024 + x1 ) Þ - x12024 = f ( x1 ) = f (- x1 ) = f ( x2 2024 + x1 ) =- ( x2 2024 + x1 ) 2024