Bài 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG PHÂN BIỆT Trong mục này, khơng nói thêm, ta ln giả sử hai đường thẳng phân biệt Nhận xét: Cho hai đường thẳng a b phân biệt khơng gian Khi xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Có mặt phẳng chứa a b Khi ta nói a b đồng phẳng (Hình 32a) Trường hợp 2: Khơng có mặt phẳng chứa a b Khi ta nói a b chéo nhau, hay a chéo với b (Hình 32b) Khi hai đường thẳng a b (phân biệt) đồng phẳng, ta biết có hai khả xảy ra: a b có điểm chung I Ta nói a b cắt I kí hiệu a b I Ta cịn viết a b I (Hình 33a ) a b khơng có điểm chung Ta nói a b song song với kí hiệu a//b (Hình 33b) Hai đường thẳng song song hai đường thẳng nằm mặt phẳng điểm chung Nhận xét: Cho hai đường thẳng song song a b Có mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, mp a, b kí hiệu II TÍNH CHẤT Định lí Trong không gian, qua điểm không nằm đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng cho Định lí (về giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy, đơi song song với Từ Định lí 2, ta suy hệ sau: Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng (Hình 39) Định lí Trong khơng gian, hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Khi hai đường thẳng a b song song với đường thẳng c , ta kí hiệu a//b//c gọi ba đường thẳng song song B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Chứng minh đường thẳng song song đồng quy Phương pháp - Nếu ba mp phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến dồng qui đôi song song với Hệ quả: Nếu hai mp phân biệt chứa hai đt song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đt trùng với hai đt c β β α α a b a b c γ β d α d' d α α d' d" - Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với β d" β d d" d' β α a b a / / c a / / b b / / c a b c γ Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q, R, S bốn điểm cạnh AB, BC, CD, DA CMR bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì: a) PQ, SR, AC song song đồng qui b) PS, RQ, BD song song đồng qui Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh BC AC Trên cạnh PD lấy điểm P cho DP 2 PB a) Xác định giao tuyến mặt phẳng ( MNP) với mặt phẳng ( ABD), ( BCD) b) Trên cạnh AD lấy điểm Q cho DQ 2QA Chứng minh: PQ song song với mặt phẳng ( ABC ) , ba đường thẳng DC , QN , PM đồng quy Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M,N trung điểm AD SB a/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng SAB SCD b/ Chứng minh: ON song song với mặt phẳng SAD c/ Tìm giao điểm đường thẳng MN mặt phẳng SAC Dạng Tìm giao điểm thiết diện hình chóp Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, gọi M, P I trung điểm AB, SC SB Một mặt phẳng qua MP song song với AC cắt cạnh SA, BC N, Q a) Chứng minh đường thẳng BC song song với mặt phẳng b) Xác định thiết diện IMP hình chóp Thiết diện hình gì? c) Tìm giao điểm đường thẳng CN mặt phẳng SMQ Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình tứ giác lồi Gọi M, N trung điểm SC CD Gọi mặt phẳng qua M, N song song với đường thẳng AC a) Tìm giao tuyến với mp ABCD b) Tìm giao điểm đường thẳng SB với mp c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AB CD Gọi M, N, I trung điểm AD, BC, SA a)Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IMN) (SAC); (IMN) (SAB) b) Tìm giao điểm SB (IMN) c)Tìm thiết diện mặt phẳng (IDN) với hình chóp S.ABCD Câu 4: Cho chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành N trung điểm SA SBD a)Tìm giao điểm AC mặt phẳng b)Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng NBC Thiết diện hình gì? C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Quan sát phòng học lớp nêu lên hình ảnh hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo Bài Quan sát Hình 43 cho biết vị trí tương đối hai ba cột tuabin gió có hình Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , P trung điểm SAD SBC ; MNP cạnh SA, AB, SD Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng sau: ABCD G ,G Bài Cho tứ diện ABCD Gọi trọng tâm tam giác ABC ABD Chứng GG minh đường thẳng song song với đường thẳng CD Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy lớn AB 2CD Gọi M , N trung điểm cạnh SA SB Chứng minh đường thẳng NC song song với đường thẳng MD Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA; I , J , K , L trung điểm đoạn thẳng SM , SN , SP, SQ a) Chứng minh bốn điểm I , J , K , L đồng phẳng tứ giác IJKL hình bình hành b) Chứng minh IK//BC IJKL SBC c) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Bài Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm cạnh BC , CD Trên cạnh AC lấy điểm K Gọi M giao điểm BK AI , N giao điểm DK AJ Chứng minh đường thẳng MN song song với đường thẳng BD D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo B Hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung C Hai đường thẳng phân biệt không cắt khơng song song chéo D Hai đường thẳng phân biệt khơng chéo cắt song song Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thằng có điểm chung chúng có vơ số điểm chung khác B Hai đường thẳng song song chúng không điểm chung C Hai đường thẳng song song chúng không đồng phẳng D Hai đường thẳng chéo chúng không đồng phẳng Câu 3: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với B Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba trùng C Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với trùng D Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng nằm hai mặt phẳng song song Câu 4: Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Hai đường thẳng chéo chúng có điểm chung B Hai đường thẳng khơng có điểm chung hai đường thẳng song song chéo C Hai đường thẳng song song với chúng mặt phẳng D Khi hai đường thẳng hai mặt phẳng phân biệt hai đường thẳng chéo Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo a b Lấy A, B thuộc a C, D thuộc b Khẳng định sau nói hai đường thẳng AD BC ? A Có thể song song cắt C Song song với Câu 6: , , d1 d d3 Cho ba mặt phẳng phân biệt có ; ; Khi ba đường thẳng d1 , d , d3 : A Đôi cắt C Đồng quy Câu 7: B Đôi song song D Đôi song song đồng quy Trong không gian, cho đường thẳng a, b, c , biết a b, a c chéo Khi hai đường thẳng b c : A Trùng chéo C Chéo song song Câu 8: B Cắt D Chéo B Cắt chéo D Song song trùng Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c a b Khẳng định sau sai? A Nếu a c b c B Nếu c cắt a c cắt b C Nếu A Ỵ a B Ỵ b ba đường thẳng a, b, AB mặt phẳng D Tồn mặt phẳng qua a b Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo a, b điểm M nhiêu đường thẳng qua M cắt a b ? A B C ngồi a ngồi b Có nhiều bao D Vô số Câu 10: Trong không gian, cho đường thẳng a, b, c chéo đơi Có nhiều đường thẳng cắt đường thẳng ấy? A B C D Vô số Câu 11: Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trọng tâm tam giác ABC ABD Chọn khẳng định khẳng định sau? A IJ song song với CD B IJ song song với AB C IJ chéo CD D IJ cắt AB Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có AD khơng song song với BC Gọi M , N , P,Q, R,T trung điểm AC, BD, BC,CD,SA,SD Cặp đường thẳng sau song song với nhau? A MP RT B MQ RT C MN RT D PQ RT Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I , J , E , F trung điểm SA,SB, SC, SD Trong đường thẳng sau, đường thẳng không song song với IJ ? A EF B DC C AD D AB Câu 14: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng AB; P,Q hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng CD Xét vị trí tương đối hai đường thẳng MP , NQ A MP P NQ C MP cắt NQ B MP º NQ D MP, NQ chéo Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( SAD) ( SBC ) Khẳng định sau đúng? A d qua S song song với BC B d qua S song song với DC C d qua S song song với AB D d qua S song song với BD J theo thứ tự trung điểm AD AC,G trọng tâm tam giác BCD Giao tuyến hai mặt phẳng ( GIJ ) ( BCD ) đường thẳng: A qua I song song với AB B qua J song song với BD C qua G song song với CD D qua G song song với BC Câu 16: Cho tứ diện ABCD Gọi I CD Gọi I , J BC G trọng tâm tam giác SAB Giao tuyến ( SAB) ( IJ G) Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AB trung điểm AD A SC B đường thẳng qua S song song với AB C đường thẳng qua G song song với DC D đường thẳng qua G cắt BC Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( IBC ) là: I trung điểm SA Thiết diện A Tam giác IBC B Hình thang IBCJ ( J trung điểm SD ) C Hình thang IGBC ( G trung điểm SB ) D Tứ giác IBCD N trung điểm AB AC Mặt phẳng ( a ) qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện đa giác ( T ) Khẳng định sau đúng? A ( T ) hình chữ nhật Câu 19: Cho tứ diện ABCD, M B ( T ) tam giác C ( T ) hình thoi D ( T ) tam giác; hình thang hình bình hành Câu 20: Cho hai hình vng ABCD CDIS khơng thuộc mặt phẳng cạnh Biết tam giác SAC cân S, SB = Thiết diện mặt phẳng ( ACI ) hình chóp S.ABCD có diện tích bằng: A B C 10 D đáy nhỏ CD Gọi M , N trung điểm SA SB Gọi P giao điểm SC ( AND ) Gọi I giao điểm AN DP Hỏi tứ giác SABI hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vng D Hình thoi Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Câu 22: Cho tứ diện ABCD Các điểm P , Q trung điểm CD; điểm R nằm cạnh BC cho BR = 2RC Gọi S giao điểm mặt phẳng ( PQR) cạnh AD Tính tỉ số AB SA SD A B C D Câu 23: Cho tứ diện ABCD ba điểm P, Q, R lấy ba cạnh AB, CD, BC Cho CQ = 2QD Gọi giao điểm AD ( PQR) S Chọn khẳng định đúng? A AD =3DS B AD = DS C AS = 3DS Câu 24: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Gọi A¢ trọng tâm tam giác A B C PR // AC D AS = DS BCD D GA Tính tỉ số GA ¢ Câu 25: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD không cân Gọi M , N trung điểm AB, CD G trung điểm đoạn MN Gọi A1 giao điểm AG ( BCD ) Khẳng định sau đúng? A A1 tâm đường tròn tam giác BCD B A1 tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD C A1 trực tâm tam giác BCD D A1 trọng tâm tam giác BCD