TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN Câu a c b d Chứng minh rằng: ta có tỉ lệ thức sau: 1) Cho tỉ lệ thức 2 a b cd a b2 c d b) 2 ab cd a b c d2 a) ab b 2) Cho a, b, c đôi khác 0 Biết ab số nguyên tố bc c Tìm abc Câu 1)Tìm x, y biết: a) x x 0 2 b) x y 2 ( x, y nguyên tố) 2) Chứng minh đa thức f x x x x x khơng có nghiệm Câu Tìm x để A 32 x 11 x đạt GTLN Tìm GTLN Câu Cho ABC nhọn, AD vng góc với BC D Xác định I , J cho AB trung trực DI , AC trung trực DJ ; IJ cắt AB, AC L K Chứng minh a) AIJ cân b) DA tia phân giác LDK c) BK AC ; CL AB d) Trực tâm ABC giao đường phân giác DLK e) Nếu D điểm tùy ý cạnh BC Chứng minh IAJ có số đo khơng đổi tìm vị trí điểm D cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ ĐÁP ÁN Câu 1) a) Chứng minh b) Chứng minh a b 2) Từ gt hoán vị trung tỉ áp dụng tính chất dãy tỉ số có b c Do ab số nguyên tố có hai chữ số nên b 1;3;7;9 Do ac b ta xét trường hợp b 1 a c 1 (loại a c) b 3 ac 9 1.9 (do a c) ab 13 (do 93 không nguyên tố) ab 13 b (tm) Có bc 39 c b 7, b 9 bị loại dẫn đến a c Vậy abc 139 Câu 1) x 2 a) x 3 b) x 5; y 2 2) Xét khoảng +xét x 0 dẫn dến f x 1 +Xét x lập luận dẫn đến f x +Xét x 1 lập luận dẫn đến f x Trong ba khoảng có f x 0 nên đa thức f x khơng có nghiệm Câu Biến đổi A 2 10 10 Amax B max 11 x Để 11 x 11 x B Bmax B 11 x B Lập luận để có 11 x số nguyên dương nhỏ x 10 Suy GTNN A 12 x 10 Câu A J K L I B C D AB AI AD AI AJ AIJ AD AJ a) Do AB, AC trung trực cân tạiA b) ALI ALD (c.c.c ) I1 D1 Tương tự AKD AKJ (c.c.c ) D2 J Mà AIJ cân (cmt) I1 J1 D1 D2 DA tia phân giác LDK c) CMTT câu b: CL, BK phân giác LKD; DLK DLK BK AC CL AB d) Từ câu c trực tâm ABC giao đường phân giác DLK e) Chứng minh IAJ 2 BAC (không đổi) *AIJ cân A có IAJ khơng đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ cạnh bên AI nhỏ Ta có: AI AD AH ( AH đường vng góc kẻ từ A đến BC) Xảy dấu đẳng thức D H Vậy D chân đường vng góc hạ từ A xuống BC IJ nhỏ