203 đề hsg toán 7 trường kim an 2017 2018

TRƯỜNG THCS KIM AN ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN – NĂM HỌC 2017-2018 Câu (5 điểm) 3a  c  a  c   3b6  d  b  d  a c  b  d 0   a) Cho b d Chứng minh rằng: b) Tìm hai số dương, biết tổng, hiệu, tích chúng tỉ lệ nghịch với 15;60 Câu (3 điểm) 2a  5b a  a) Tính giá trị biểu thức a  3b với b b) Tìm số a, b, c biết ab 2, bc 6, ac 3 Câu (3 điểm) a) Tìm số tự nhiên abc có ba chữ số khác cho 3a  5b 8c b) Chứng minh đa thức x  x  10 khơng có nghiệm Câu (2 điểm) A Tìm giá trị lớn biểu thức: x2 x với x số nguyên Câu (7 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB  AC  BC Các tia phân giác A  C cắt O Gọi F hình chiếu O BC; H hình chiếu O AC Lấy điểm I đoạn FC cho FI  AH Gọi K giao điểm FH AI a) Chứng minh tam giác FCH cân AK KI b) Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng ĐÁP ÁN Câu a c a c a c a)     b d b d bd 6 6 a6 c6  a  c   a   c   a c           6 b d  b  d   bd  b d 6 3a c  a  c  3a  c  a  c    6   3b d 3b  d  b  d  b d b) Gọi hai số phải tìm a, b  a  b   , theo đầu ta có: 15  a  b  60  a  b  8ab hay a  b a  b ab   k  k 1  15 Câu a     2a  5b 14 b a)      a  3b  a 3    b b) Theo đề bài: ab 2, bc 6, ac 3 2 Ta có: ab.bc.ac 2.6.3  a b c 36  abc 6 Trường hợp 1: abc 6, ab 2  c 3 abc 6, bc 6  a 1 abc 6, ac 3  b 2 Trường hợp 2: abc  6, ab 2  c  abc  6, bc 6  a  abc  6, ac 3  b  a 1 a    b 2; b  c 3 c   Vậy  a 5  b 3 Câu a) 3a  5b 8c  3a  3b 8c  8b   a  b  8  c  b  Do đó:  a  b  8  a  b8 Do a b nên a  b  8;  8 -Trường hợp a  b 8  c  d 3  a 8, b 0, c 3 a 9, b 1, c 4 -Trường hợp: a  b   c  b 3  a 1, b 9, c 6 Vậy tất có ba số thỏa mãn tốn: 803,914,196 2 b) x  x  10 x  x  x    x      x  Do x  x  10 khơng có nghiệm Câu Xét trường hợp: +) x   A 0 +) x   A 1 x2 2 x 1  A  1    x x A lớn x lớn +) Vì x số nguyên dương, nên x lớn  x nhỏ nhất, tức x 1, A 3 Vậy giá trị lớn A 3  x 1 Câu A H E K O G B F I C a) Chứng minh CHO CFO (ch  gn)  CH CF  FCH cân C Vẽ IG / / AC (G  FH ) Chứng minh FIG cân I   Suy AH IG, IGK  AHK  AHK IGK ( g  c  g )  AK KI b) Vẽ OE  AB E Tương tự câu a, ta có: AEH , BEF thứ tự cân A, B , suy BE BF AE  AH BA BE  EA BF  AH BF  FI BI  ABI cân B  Mà BO phân giác B, BK đường trung tuyến ABI nên B, O, K ba điểm thẳng hàng