Bất đẳng thức phần 3

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY CHỦ ĐỀ A KiÕn thøc cÇn nhí 1) Bất đẳng thức Bunyakovsky Với hai số thực  a1 , a2 , , an   b1 , b2 , , bn  ta ln có:  a1b1  a2 b2   an bn  a12  a22   an2 b12  b22   bn2  Dấu “=” xảy a a1 a    n (quy ước bi 0 0 ) b1 b2 bn Chứng minh: Theo bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối thì: a1b1  a2 b2   an bn  a1 b1  a2 b2   an bn   a1b1  a2 b2   an bn   a1 b1  a2 b2   an bn  Do ta cần chứng minh: a b1  a2 b2   an bn     a12  a22   an2 b12  b22   bn2   a1 b1  a2 b2   an bn  a12  a22   an2 b12  b22   bn2 2 Nếu a1  a2   an 0  a2 a2  an 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng, nên 2 2 2 ta cần xét a1  a2   an  Tương tự, ta cần xét b1  b2   bn  Khi bất đẳng thức viết lại sau: a1 b1 a12  a22   an2 b12  b22   bn2   a2 b2  a12  a22   an2 b12  b22   bn2 an bn a12  a22   an2 b12  b22   bn2 2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy), ta được: a1 b1 a12  a22   an2 b12  b22   bn2  a12 b12  , a12  a22   an2 b12  b22   bn2 a2 b2 a22 b22   , 2 2 a12  a22   an2 b12  b22   bn2 a1  a2   an b1  b2   bn an bn an2 bn2   2 2 a12  a22   an2 b12  b22   bn2 a1  a2   an b1  b2   bn Cộng theo vế , ta thu kết BẤT ĐẲNG THỨC THCS Dấu “=” xảy a a1 a    n (quy ước bi 0 0 ) b1 b2 bn Trong chương trình tốn cấp 2, quan tâm tới hai trường hợp n = n = 2 Với n = ta có: Nếu a, b, x, y số thực, a  b  x 2  y  ax  by   a b  x y Đẳng thức xảy Nếu n = ta có: Nếu a, b, c, x, y, z số thực, CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI a  b2  c2 x 2  y  z  ax  by  cz   Đẳng thức xảy a b c   x y z 2) Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: Cho  a1 , a2 , , an   b1 , b2 , , bn  hai dãy số thực với bi  0, i Khi a  a  a2   an  a12 a22    n  b1 b2 bn b1  b2   bn Đẳng thức xảy a a1 a    n b1 b2 bn Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai số  a1 a2 a  , , , n    b bn   b2  b1 , b2 , , bn  ta được:  a1   a12 a22 an2  an a2    b  b   b  b  b   b      n n   a1  a2   an   b  bn  b2 bn  b1 b2   a  a  a2   an  a2 a2     n  b1 b2 bn b1  b2   bn a1 Đẳng thức xảy b1 b1 an a2  b2 b2   bn bn  a a1 a2    n b1 b2 bn Trong chương trình toán cấp 2, quan tâm tới hai trường hợp n = n = a b2  a  b  Với n = ta có: Nếu a, b, x, y số thực,   x y x y Đẳng thức xảy a b  x y Nếu n = ta có: Nếu a, b, c, x, y, z số thực, TỦ SÁCH CẤP 2| 118 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP |  a  b  c a b c    x y z xyz 2 Đẳng thức xảy a b c   x y z Trong chương trình toán THCS áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta phải chứng minh trước B VÍ DỤ MINH HỌA Kỹ thuật tách ghép số Thí dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c 1 Chứng minh rằng: 1   9 a b c Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky : 1 1 1   1 1     a  b  c      a  b  c  9 a b c a b c a b c  1   9 a b c Vậy Đẳng thức xảy a b c  Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakoysky dạng phân thức: 1 12 12 12    1        9 a b c a b c a b c 1 Đẳng thức xảy a b c  Thí dụ Cho số thực dương a, b,c Chứng minh : a b bc ca    a b c a b c a b c Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : b c c a   a b b c c a  a b  1 1        a b c a b c  a b c a b c a b c   a b c   2  a b b c ca    a b c a b c a b c Thí dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa ab  bc  ca 4 Chứng minh rằng: 16 a4  b4  c4  BẤT ĐẲNG THỨC THCS    Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : 1 2  12  12  a  b  c  1.a  1.b  1.c   a  b  c b  c  a   ab  bc  ca  ab  bc  ca  16 16  a4  b4  c4  (đpcm) a b   a b b a Thí dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có :  a b     a  b   a  b b  a  b  a   a  b    a b  a  b  b a  a b Đẳng thức xảy a = b Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta được: a b  b a  a    b    b a b a  a b  a b Đẳng thức xảy a = b Thí dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c    b c c a a b Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky với hai số:  a b c  , ,    bc c a a b   b  c, c  a, a  b   a 2  b 2  c 2            b  c   c  a   a  b     bc    ta được: ca   a b     a  b c  b c  ca  a b  ca a b  bc  2  a b c         a  b  c    a  b  c   bc c a a b  a2 b2 c2 a b c    b c c a a b a Đẳng thức xảy b c b  c  c  a  a  b  a  b  c  a b c b c a b a b bc ca a b Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: TỦ SÁCH CẤP 2| 120 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP |  a  b  c a  b  c a b c     b  c c  a a  b 2 a  b  c 2 2 Đẳng thức xảy a b c Thí dụ Cho số thực dương a, b thỏa a  b 1 Tìm GTLN A a  a  b  b Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :   A a  a  b  b  a  b 1  a   b   a  b  1     12 a  b   2  a  b 1  b  a   a b  Dấu “=” xảy   b 1  a 1 1   a b Vậy GTLN A 2 Thí dụ Cho số thực a, b thỏa 36a  16b 9 Tìm GTLN GTNN A  2a  b  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :  2  2     1 36a  16b           6a    4b    2a  b  4           25    2a  b   16 5     2a  b  4 15 25   2a  b   4  2  Ta có:   36a  9b 9   6a 4b 25   GTNN A        a  b    BẤT ĐẲNG THỨC THCS  a   b   20   36a  9b 9   6a 4b 25   GTLN A       2a  b    a   b   20 Thí dụ Cho a, b, c  a  b  c 1 Chứng minh rằng: 1   9 a  2bc b  2ca c  2ab CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI (Trích chuyên Lê Q Đơn Bình Định năm 2001-2002) Hướng dẫn giải 2 2 Quan sát ta thấy rằng: a  2bc  b  2ca  c  2ab  a  b  c        Mà theo giả thiết a  b  c 1 nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức:    1 1 9      9 2 2 a  2bc b  2ca c  2ab a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c  Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a b c  Thí dụ Cho a, b, c dương thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh rằng: 2009  670 2 ab  bc  ca a b c (Trích đề vào lớp 10 Hải Phịng năm 2009 - 2010) Hướng dẫn giải Nhận thấy vai trò a, b, c nhau, nên ta dự đoán dấu bất đẳng thức xảy a b c 1 2 Do a b c nên a  b  c ab  bc  ca  1  2 ab  bc  ca a b c Mặt khác để tận dụng giả thiết a  b  c 3 ta nghĩ đến đẳng thức:  a  b  c a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca    ab  bc  ca  Từ ta đến lời giải sau: Ta có: ab  bc  ca   a  b  c 3 2009 1 2007      2 2 ab  bc  ca a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca a b c TỦ SÁCH CẤP 2| 122 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP |  a b    1 2007 27   2  c   ab  bc  ca   a  b  c  669  27  669 670 27 Đẳng thức xảy a b c 1 Thí dụ 10 Cho a, b, c dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng: a  ab  a  1  b  bc  b  1  c  ca  c  1  a b c (Trích chun Lê Q Đơn Bình Định năm 2001-2002) Hướng dẫn giải Một đẳng thức quen thuộc ta biết abc 1 thì: a b c   1 ab  a  bc  b  ca  c  Thật vậy: Do đó: b ab ab c abc   ;   bc  b  abc  ab  a ab  a  ca  c  a bc  abc  ab a   ab a b c a ab      1 ab  a  bc  b  ca  c  ab  a  ab  a  a   ab Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta được: a  ab  a  1  2 b  bc  b  1  c  ca  c  1 2 a b c             ab  a   bc  b   ca  c      a b c 2 a b c       ab  a  bc  b  ca  c      a b c a bc Vậy bất đẳng thức cho chứng minh Đẳng thức xảy a b c Thí dụ 11 Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1      b c  a c a  b a b  c a b c (Trích chun Lê Q Đơn Bình Định năm 2001-2002) Hướng dẫn giải Ta quan sát nhận xét:  b  c  a    c  a  b  2c,  c  a  b    a  b  c   2a ,  a  b  c    b  c  a  2b Do ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: BẤT ĐẲNG THỨC THCS   1 1     , b  c  a c  a  b  b  c  a    c  a  b  2c c   1 1     c  a  b a  b  c  c  a  b    a  b  c  2a a   1 1     a  b  c b  c  a  a  b  c    b  c  a  2b b Cộng theo vế chia cho 2, ta thu điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b c CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Thí dụ 12 Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 1      a  3b b  3c c  3a 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b Hướng dẫn giải Ta tìm liên hệ mẫu thức, ta nghĩ đến việc tìm x, y, z thỏa mãn: x  a  3b   y  b  3c   z  c  3a  2a  b  c Từ ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức toán Hằng đẳng thức tương đương với:  x  3z   a   3x  y  1 b   y  z  1 c 0  x  z 2  Đồng hệ số ta được:  3x  y 1  x  , y  , z  7  y  z 1  Như ta có liên hệ:  a  3b    b  3c    c  3a  7  2a  b  c  Do đó:    4 72   2a  b  c  2a  b  c   a  3b    b  3c    c  3a   22 12 42       a  3b   b  3c   c  3a  a  3b b  3c c  3a Đến bạn đọc tự chứng minh tiếp Thí dụ 13 Cho số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: A 4 x  y  z    441 x  2x  4z Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có: A 4 x  y  z    441   22  42 x  y  z 21  x  y2  z2   441 x  y  4z TỦ SÁCH CẤP 2| 124 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | 441 441 441 2   x  y  4z     x  y  4z    21 x  y  z 21  x  y  4z   x  y  4z  3 441 441  x  y  4z  21  x  y  4z   x  y  4z  63 x y z      x  , y 1, z 2 Dấu “=” xảy khi:  441 2   x  y  4z    x  y  4z   21 Cho a, b, c   0,1 Chứng minh rằng: Thí dụ 14 abc  1  a 1  b 1  c   Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :  1  a 1  b 1  c    a  1  a   bc  1  b 1  c  bc  1  b 1  c  abc  1  a 1  b 1  c   bc  1  b 1  c   bc  1  b 1  c  abc   Mà   1  b 1  c    b  1  b   c  1  c  1 bc  1  b 1  c  1 bc  Vậy ta có:  abc  1  a 1  b1  c    hay abc  1  a 1  b 1  c   Lưu ý: Trong cách chứng minh ta sử dụng bất đẳng thức xy  x  y Dễ dàng chứng minh tính chất này, ta có:  x y   x  y  xy  x  y  x,y  0 x  y  xy  Thí dụ 15 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a b c     b  c   c  a   a  b  4 a  b  c  Hướng dẫn giải Ta có: a b c     c  a   a  b    b  c   a  b  c   2  a 2  b 2  c          c     b  c   c  a   a  c           a  b    b c   a      b c c a a b BẤT ĐẲNG THỨC THCS  x,y  0 Mà ta có: a b c    (bất đẳng thức Nesbit, chứng minh phần trước) b c c a a b 2 b c   a        b c c a a b  a b c    a  b  c    2  c  a   a  b    b  c a b c      đpcm 2  b  c   c  a   a  b  4 a  b  c  CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Thí dụ 16 Cho a; b  thỏa mãn a  b 9 Chứng minh: ab 2  a b 3 Hướng dẫn giải Ta có: a  b2 9  2ab  a  b    2ab  a  b  3  a  b  3  2ab ab a b a  b     a b 3 a b 3 2 Mà theo bất đẳng thức Bunyakovsky thì: a  b  a  b 3 Nên ab 2  a b 3  a; b   2 Đẳng thức xảy khi:  a  b 9  a b   a b  Thí dụ 17 Cho x; y  thỏa mãn x  y  x  y Chứng minh: x  y 2  Hướng dẫn giải 2 1  1  Giả thiết x  y  x  y   x     y    2  2  2 1  Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai số  1;3  x  ; y   ta có: 2  2    1  1  1         y    10   x     y    5              x  y   5  x  y    x  y 2   x   10 Đẳng thức xảy   y 1   10 y    Thí dụ 18 Cho x; y  Chứng minh rằng:   x        256 x   y   Hướng dẫn giải TỦ SÁCH CẤP 2| 126