Bất đẳng thức phần 1

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA CHỦ ĐỀ A KiÕn thøc cÇn nhí ● Để chứng minh A ≥ B ta xét hiệu A – B chứng minh hiệu A – B số không âm cách dồn tổng bình phương ● Lưu ý : A2  với A ; dấu '' = '' xảy A = B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Chứng minh với số thực x ta có:  x  1  x    x  3  x    Hướng dẫn giải Xét hiệu: A  x  1  x    x  3  x      1    x  1  x      x    x  3    x  5x    x  5x    2 Đặt y x  5x  ta A  y  1  y  1   y    y 0 Vậy  x  1  x    x  3  x    Thí dụ Cho a, b số thực Chứng minh rằng: a  b  ab  a  b Hướng dẫn giải 2 2 Xét hiệu: A a  b   ab  a  b    a  2ab  b    a  2a  1   b  2b  1  2 2    a  b    a  1   b  1     Vậy a  b  ab  a  b Đẳng thức xảy a = b = 2 Thí dụ Chứng minh với số thực a, b, c ta có: a  a  a  1 Hướng dẫn giải 2 Xét hiệu: A a   a  a  1 a  a  a  BẤT ĐẲNG THỨC THCS  a  a  1   a  1  a  1  a  1  a  1 a  1  Ta có A 0 a    a  1 0 2 Vậy a  a  a  1 Dấu xảy a = a = -1 Thí dụ Chứng minh với số thực a, b, c ta có: a  9b  c  19  2a  12b  4c Hướng dẫn giải Xét hiệu: 19   A  a  9b  c     2a  12b  4c   a  2a  1   9b  12b     c  4c    2  2  a  1   3b     c     2 2 Ta có A >  a  1 0,  3b   0  c   0 2 Vậy a  9b  c  19  2a  12b  4c Thí dụ Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y không âm  x  y   x3  y   x  y  Hướng dẫn giải Xét hiệu hai vế:  x  y   x  y    x  y  x  xy  x y  y  x  x y  y xy  y  x  xy  xy  x  y  0 Đẳng thức xảy x 0, y 0, x  y C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Chứng minh với x ta có:  x  1  x    x  3  x    0 2) Chứng minh a, b, c ta có: a  4b  3c  2a  12b  6c  14 3) Chứng minh với x, y, z ta có: a) x  y  z  xy  yz  zx 4) b) x  y  z  2xy  2xz  2yz Chứng minh với x, y ta có: 4x  4xy  4y  6y  BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHỦ ĐỀ A KiÕn thøc cÇn nhí Để chứng minh A  B ta chứng minh A  B   C  D với C  D Một số bất đẳng thức cần nhớ : Với a, b, c ta có : ) 4ab  a  b    a  b     a  b 0  ) a  b  c  ab  bc  ca 1 2 2   )  ab  bc  ca   a  b  c  3  a  b  c     a  b    b  c    c  a    2   B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Cho số thực a, b, c Chứng minh đẳng thức: a2  b2  c2  a  b  c    3    1 Hướng dẫn giải a  b2  c2  a  b  c   Ta có:  3     a  b  c   a  b  c   1   a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca    a  2ab  b    b  2bc  c    c  2ca  a   2   a  b    b  c    c  a  0  2 Bất đẳng thức (2) Vậy bất đẳng thức (1) Đẳng thức xảy a = b = c 2 2 Thí dụ Chứng minh đẳng thức  a  b   c  d   ac  bd   1 Hướng dẫn giải  1  a 2c  a d  b2c  b2 d a 2c  2abcd  b 2d  a d  b c  2abcd   ad  bc   3 Bất đẳng thức  3 Vậy bất đẳng thức  1 Đẳng thức xảy ad bc Thí dụ Chứng minh rằng: a  b  c  d  e a (b  c  d  e) BẤT ĐẲNG THỨC THCS a , b, c, d , e  R Hướng dẫn giải Ta có: a  b  c  d  e a (b  c  d  e )  a2 a2 a2 a2  ab  b   ac  c   ad  d   ae  e 0 4 4 a   2  a b    2 2  a  a c   d     2  2  e  0  Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứng minh Dấu “=” xảy khi: b c d  a 4 3 2 Thí dụ Chứng minh với số thực a, b ta có:  a  b  ab  a b  2a b Hướng dẫn giải Để ý với a = b có dấu đẳng thức nên ta tách số hạng để tạo nhân tử chung  a  b  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  2a b  b  a  a b  b  b  ab 0   a  b    a  b3   a  b  0 2   a  b    a  b    a  ab  b      2   a  b    a  b   2a  2ab  2b     2   a  b    a  b   a  b  0   Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b Chú ý: Qua hai ví dụ ta nhận thấy biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc  hai thường xuất đại lượng a - b 2  ;  b - c ;  c - a với điều kiện dấu đẳng thức xảy a = b = c Do trước biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xảy để từ có hướng hợp lí Thí dụ Cho số thực x, y dương Chứng minh rằng: a  b  Hướng dẫn giải Ta có: 12ab  ab BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | 12ab ab  ab   a  b    ab  12ab   ab    9a  9b  a b  ab 12ab   a b  6ab  9b    ab  6ab  9a  0 2  b  a  3  a  b      2 Vì a, b  nên b  a  3 0 a  b  3 0 (2) Vậy bất đẳng thức chứng minh, dấu “=” xảy a = b = Thí dụ Cho số thực a, b dương Chứng minh rằng: a2b a  2ab   2a  b3 2a  b Hướng dẫn giải Để ý a = b có dấu đẳng thức, a2b a  2ab  ; 1 Nên ta biến đổi 2a  b3 2a  b sau : 2   a  b   2a  b    a  b  a2b a  2ab a2b a  2ab         3 2 3 2a  b 2a  b 2a  b 2a  b 2a  b  2a  b3   2a  b  2     a  b    2a  b3    2a  b   2a  b     a  b   3  2a  b    2a  b   a  b   2a  2b3  2a b  2ab     a  b   a  b   Ta có bất đẳng thức chứng minh Thí dụ Cho số thực a , b không đồng thời Chứng minh rằng: 2ab a + 4b + b2 3a + 2b  Hướng dẫn giải Dấu đẳng thức xảy với a = b , 2ab b2  ;  Nên ta ta biến đổi 2 2 3a  2b a  4b 2ab b2 +  Tới ta quy đồng hai vế phân bất đẳng thức thành a + 4b 3a + 2b tích thành bình phương Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2ab a + 4b + BẤT ĐẲNG THỨC THCS b2 3a + 2b  2ab b2  - + 0 5 a + 4b 3a + 2b  2a - 10ab + 8b + 3a - 3b   a - b a - 4b 0   +  a - b  a + b 0 a + 4b 3a + 2b a + 4b2 3a + 2b2  a - b  a - 4b 3a + 2b + a + b a + 4b     2 2  a - b 9a - 21a b + 16ab - 4b   a - b 3a - 2b                 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b 3a = 2b Thí dụ Cho a, b số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 3a + 2ab + 3b  2 a2 + b2 a+b   Hướng dẫn giải Đẳng thức xẩy a  b , ta cố biến đổi bất đẳng thức làm xuất đại lượng  a - b  Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nên để xuất nhân tử chung có dạng a - b     ta cần ý đến phép biến đổi a + b - a + b     a - b  a2 + b2 - a + b = Khi ta có    = a-b  2   a + b2 + a + b  Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh sau 3a + 2ab + 3b  2 a2 + b2 a+b 3a + 2ab + 3b  - a + b  2 a + b2 - a + b a+b     a - b a+b   a-b   a-b       a-b         a + b2 + a + b   a + b2 + a + b - a + b           a + b2 - a + b  0          a - b   0 a + b2 + a + b Bất đẳng cuối a , b dương Vậy bất đẳng thức chứng minh 2 Thí dụ Cho biểu thức : P  xy  x    y    12x  24x  3y  18y  36 Chứng minh P dương với x;y thuộc R (Đề toán vào lớp 10 Quảng Ninh năm 2010-2011) BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Hướng dẫn giải 2 Ta có: P  xy  x    y    12x  24x  3y  18y  36  xy  x    y    12x  x    3y  y    36  x  x    y  y    12    y  y    12   y2  6y  12   x  2x   Mà y  y  12  y  3   x  x   x  1   Vậy P > với x;y thuộc R Thí dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh bất đẳng thức : a b 16  1   5    ab b a  a b Hướng dẫn giải Ta có : a b 16 1 1   5    ab b a  a b 1  a 1  b 1           4    0 b  a a b  ab a b 4ab   a  b  a b b a    0 b a  a  b  ab   a  b  a  b a b2 4 a  b  0  a  b  ab 2   a  b    a  b   4ab       a  b   Bất đẳng cuối nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Chứng minh với số thực a, b ta có: a  b  ab  a  b 2) Chứng minh a, b, c ta có: a  4b  4c 4ab  4ac  8bc 3) Chứng minh bất đẳng thức x  y  xy  với x 1, y 1 4) Chứng minh với x, y ta có:  x  y   x  y   x  y  4a b2 5) Cho a, b hai số thực khác không Chứng minh rằng: BẤT ĐẲNG THỨC THCS  a2 + b2  2 + a2 b2 + b2 a2 3   6) Cho số thực dương a, b, m, n m  n Chứng minh rằng: a b +  na + mb mb + na m + n 7) Cho a, b số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 2ab  a + b a2 + b2 a+b  ab + 2 + 8) Cho x, y số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:   x    y   xy 9) Cho x, y số thực thỏa mãn x  y, x  0, y 0 Chứng minh rằng:  x  y  x  y  xy 10) Cho x, y số thực không âm tùy ý Chứng minh rằng:   ab  a  b  ab Khi có dấu đẳng thức ? BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG CHỦ ĐỀ A KiÕn thøc cÇn nhí Để chứng minh A  B * Các bước giải: ● Bước 1: Giả sử xảy mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh ( tức A < B) ● Bước 2: Sau vận dụng kiến thức biết giả thiết đề để chứng tỏ điều giả sử (A < B) sai ● Bước 3: kết luận yêu cầu cần chứng minh B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Chứng minh rằng:  a  b  4ab Hướng dẫn giải 2 Giả sử  a  b   4ab , đó: a  2ab  b  4ab  a  2ab  b2    a  b   điều sai với a, b Vậy giả sử sai, điều phải chứng minh đúng.Tức là:  a  b  4ab Thí dụ Cho a + b = Chứng minh rằng: a  b 2 Hướng dẫn giải Đặt x a; y b  x a ; y b Ta có: x  y 2 Cần chứng minh x  y 2 Giả sử x  y  thì:  x  y    x  y  xy  x  y     xy  x  y    xy  x  y    xy  x  y   x  y ; (vì x  y 2 ) Chia hai vế cho số dương x  y ta được: xy  x  xy  y    x  y  (vô lý) Vậy x  y 2 tức a  b 2 Thí dụ Cho ba số a, b, c   0;1 Chứng minh có bất đẳng 1 thức sau sai: a   b   ; b   c   ; c   a   4 Hướng dẫn giải BẤT ĐẲNG THỨC THCS Giả sử ba bất đẳng thức Theo giả thiết ta có: a, b, c,   a  ,   b  ,   c  số dương, suy ra: a   b  b   c  c   a   Mặt khác: a   a  a  a   Tương tự ta có: b   b   ; 64 1    aa    4  c 1  c  Suy ra: a   b  b   c  c   a   ; 64  1 1    a  2   2 Ta có (1) mâu thuẫn (2) nên giải sử sai, điều cần chứng minh Tức với a, b, c   0;1 Thì bất đẳng thức sau sai: 1 a   b   ; b   c   ; c   a   (đpcm) 4 Thí dụ Chứng minh nếu: a1.a2 2  b1  b2  hai phương trình sau có nghiệm: x  a1 x  b1 0,  1 ; x  a2 x  b2 0  2 Hướng dẫn giải Giải sử phương trình (1) (2) vơ nghiệm 2 Khi ta có: 1  0;    1     a1  4b1  a2  4b2   a12  a2   b1  b2    a12  a2   b1  b2   2a1 a2   a1  a2   Điều sai với a1 , a2 Vậy giải sử sai, điều cần chứng minh Tức nếu: a1.a2 2  b1  b2  2 hai phương trình sau có nghiệm: x  a1 x  b1 0,  1 ; x  a2 x  b2 0   Thí dụ Với số thực x, y, z Chứng minh có ba bất đẳng thức sau sai: x  y  z ; y  z  x ; z  x  y Hướng dẫn giải Giả sử ba bất đẳng thức 2  x2   y  z   x2   y  z     x  y  z   x  y  z   Tương tự ta có: y z  x  y  z  x  (2) (1)