Pi ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ VÂN ANH HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC PHÂN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Pii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ VÂN ANH HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC PHÂN HỖN HỢP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Mở đầu Chương 1.1 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Bất đẳng thức biến phân hỗn hỵp 1.1.1 Ph¸t biĨu toán 1.1.2 Sự tồn tính chất cđa tËp nghiƯm 1.2 14 Bài toán đặt không chỉnh 15 1.2.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh 15 1.2.2 Mét ví dụ toán đặt không chỉnh 16 Ch¬ng 2.1 2.2 2.3 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 20 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 20 2.1.1 Bất đẳng thức biÕn ph©n hiƯu chØnh 20 2.1.2 Định lý hội tô 22 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiÖu chØnh 26 2.2.1 Chän tham sè hiÖu chØnh 26 2.2.2 Tèc ®é héi tô 30 VÝ dô sè 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận chung 38 Tài liệu tham khảo 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Thu Thủy, Trưởng Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người đà hướng dẫn, dạy tận tình để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Giáo sư trường Đại học Khoa học, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam đà truyền thụ kiến thức cho suốt trình học tập vừa qua Tôi xin cảm ơn quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đà chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tác giả Nguyễn Thị Vân Anh S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho X không gian Banach thực phản xạ, X không gian liên X , hai có chuẩn kí hiệu k.k, A : X X toán hợp tử đơn điệu đơn trị : X → R ∪ {+∞} lµ phiÕm hµm låi chÝnh thêng nưa liªn tơc díi Víi f ∈ X ∗ , t×m x0 ∈ X cho hA(x0 ) − f, x − x0 i + ϕ(x) − ϕ(x0 ) x X, (0.1) hx , xi kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tơc x∗ ∈ X ∗ t¹i x ∈ X Bài toán (0.1) gọi bất đẳng thức biến phân hỗn hợp variational inequality), hai (mixed gọi bất đẳng thức biến phân loại (variational inequality of the second kind) Khi A đạo hàm Gâteaux phiếm hàm lồi thường, nửa liên tơc díi F , f ≡ θ ∈ X ∗ , bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1) tương đương với toán cực trị lồi không khả vi F (x) + ϕ(x) (0.2) x∈X Trường hợp riêng bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1), hàm (indicator function) đẳng thức biến phân cổ điển tập lồi đóng K X , toán bất (classical variational inequality): t×m x0 ∈ K cho hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ ∀x ∈ K NÕu (0.3) K X toán (0.3) có dạng phương trình toán tử (0.4) A(x) = f S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài toán (0.1), (0.3) (0.4), toán tử đơn điệu đơn điệu mạnh hàm toán đặt không chỉnh A tính chất không lồi mạnh, nói chung (ill-posed) theo nghĩa nghiệm chúng không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Đối với bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1), O A Liskovets [7] xây dựng nghiệm hiệu chỉnh dựa việc giải bất đẳng thức biến phân: tìm x X cho hAh (xτα ) + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα i + ϕε (x) (x ) (0.5) x ∈ X, (Ah , fδ , ϕε ) lµ xÊp xØ cña (A, f, ϕ), τ = (h, δ, ε) ông đà Ah toán tử đơn điệu, h-liên tục bất đẳng thức biến phân (0.5) h+δ+ε cã nhÊt nghiƯm xτα vµ nÕu → h, δ, ε, α → 0, th× d·y α nghiƯm xτα héi tơ ®Õn nghiƯm cã x∗ -chn nhỏ bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1) Việc nghiên cứu tiếp tục vấn đề như: xác định tham số hiệu chỉnh theo nguyên lí độ lệch độ lệch suy rộng, xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh cho toán Nguyễn Bường Nguyễn Thị Thu Thủy nghiên cứu [4] Mục đích luận văn nhằm trình bày lại kết hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Liskovets [7], Nguyễn Bường Nguyễn Thị Thu Thủy [4] Đồng thời đưa mét kÕt qu¶ sè cã tÝnh chÊt minh häa Néi dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu số kiến thức toán đặt không chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn biến phân hỗn hợp Các kết trình bày hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm phần cuối chương đưa mét kÕt qu¶ sè cã tÝnh chÊt minh häa cho phương pháp nghiên cứu Kết nhận đăng Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011 [2] S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu chữ viết tắt H kh«ng gian Hilbert thùc X kh«ng gian Banach thùc X không gian liên hợp Rn không gian Euclide tập rỗng X n chiều x := y x định nghĩa y x với x tồn t¹i inf F (x) x∈X x x infimum cđa tËp {F (x) : x X} I ánh xạ đơn vÞ AT ma trËn chun vÞ cđa ma trËn a∼b a tương đương với b A toán tử liên hợp toán tử D(A) miền xác định toán tử R(A) miền giá trị toán tử xk x xk * x d·y d·y A A A A {xk } héi tơ m¹nh tíi x {xk } héi tơ u tíi x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch¬ng BÊt đẳng thức biến phân hỗn hợp 1.1 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều đà nhà toán học người Italia Stampacchia đồng đưa nghiên cứu toán biên tự [9] Từ phương pháp bất đẳng thức biến phân vô hạn chiều đà sử dụng rộng rÃi có hiệu phương trình vật lý toán Lớp toán xuất nhiều ứng dụng toán học, phương trình phi tuyến, mô hình cân kinh tế kỹ thuật Trong mục này, trình bày nội dung toán, vấn đề có liên quan điều kiện tồn nghiệm Các khái niệm kết mục tham khảo tài liệu [1], [3], [5] 1.1.1 Phát biểu toán Cho X không gian Banach thực phản xạ, X không gian liên hợp X , A : X X toán tử đơn trị vµ ϕ : X → R ∪ {+∞} lµ mét phiếm hàm xác định X Kí hiệu miền hữu hiệu dom, theo định nghÜa domϕ = {x ∈ X : ϕ(x) < +∞} Định nghĩa 1.1 Hàm gọi S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 x0 bëi tx + (1 − t)x0 , t (0, 1) bất đẳng thức cuối cùng, sau Thay chia hai vế cho (1 t) cho t tiến đến ta nhận hU s (x − x∗ ), x0 − xi ≥ x0 S0 Từ bất đẳng thức suy hU s (x − x∗ ), x0 − x∗ i ≥ hU s (x − x∗ ), x − x∗ i = kx − x∗ ks ∀x0 ∈ S0 Hay, kx − x∗ k ≤ kx0 − x k, x0 S0 Vì tính lồi đóng S0 , tính lồi chặt X suy x lµ nghiƯm cã x∗ -chn nhá nhÊt toán (2.1) 2.2 Tốc độ hội tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh 2.2.1 Chän tham sè hiƯu chØnh Nh ®· biÕt, tham sè hiƯu chØnh hËu nghiƯm nói chung cho kết tốt tham số tiên nghiệm Lí tự nhiên, tham số hậu nghiệm không phụ thuộc vào sai số mà phụ thuộc vào kiện toán ban đầu Khi ta sử dụng thêm thông tin nghiệm toán, tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm thích hợp cho toán với tham số tiên nghiệm Trong [4] Nguyễn Bường Nguyễn Thị Thu Thủy đưa cách chọn giá trị tham số hiệu chỉnh cho toán hiệu chỉnh (2.4) thỏa mÃn điều kiện (2.8) Định lý 2.2 sau: xét hàm thực xác định tham số hiệu chØnh ρ(α) = αkxτα − x∗ ks−1 α phô thuéc vµo τ , nghÜa lµ α = α(h, δ, ε), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 từ phương trình () = (h + δ + ε)p α−q p, q > (2.16) ViƯc chøng minh sù tån t¹i cđa tham sè hiƯu chỉnh chọn theo (2.16) dựa giả thiết ánh xạ đối ngẫu tổng quát kiện (2.7), (Ah , f , ) thỏa mÃn điều kiện (1)-(3) nghiệm toán (2.1), nghĩa tồn phần tử U s thỏa mÃn điều x lµ x1 ∈ X cho (2.17) hA(x∗ ) − f, x1 − x∗ i + ϕ(x1 ) − ϕ(x∗ ) < Ta có kết sau (xem [4]) Bổ đề 2.1 Với p, q, h, , > 0, tồn giá trị thỏa mÃn (2.16) Chứng minh Giả sử α1 , α2 ≥ α0 (α0 > bÊt k×) Thay x x1 x2 (2.4) cộng lại, ta có từ tính chất đơn điệu Ah bất đẳng thức hU s (x1 x ), xτα2 − xτα1 i+ + α2 hU s (xτα2 − x∗ ), xτα1 − xτα2 i (2.18) ≥ Từ suy hU s (x1 x ) − U s (xτα2 − x∗ ), xτα1 − xτα2 i ≤ ≤ (α2 − α1 )hU s (xτα2 − x∗ ), xτα1 − xτα2 i KÕt hỵp víi định nghĩa ánh xạ U s (2.7), từ bất đẳng thức ta có ms kx1 x2 ks1 Từ suy ra, |1 α2 | τ kxα2 − x∗ ks−1 α0 α1 x1 x2 , nghĩa hàm kxτα − x∗ k liªn tơc [α0 , +∞) Suy hàm () liên tục [0 , +] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Hơn nữa, từ (2.4) tính chất (2.7) ánh xạ U s ta nhận α1 kxτα1 − x∗ ks−1 − α2 kxτα2 − x∗ ks−1 kxτα1 − x∗ k − kxτα2 − x k Bất đẳng thức chứng tỏ hàm kx x k không tăng hàm () không giảm Với mà cố định, > th× ρ(α) > ThËt vËy, nÕu tån >0 ( ) = 0, x = x∗ Khi ®ã, tõ (2.4) suy hAh (x∗ ) − fδ , x − x∗ i + ϕε (x) − ϕε (x∗ ) ≥ ∀x ∈ X, với h, , > cố định Cho h, , bất đẳng thức dần đến không, sở điều kiện (1)-(3) suy x nghiệm toán (2.1), điều trái víi (2.17) Tõ < ρ(α) ≤ ρ(α1 ) víi < α ≤ α1 , suy lim αq ρ(α) = α→+0 T¬ng tù, < ρ(α1 ) ≤ ρ(α) víi < α1 ≤ α, lim q () = + + Từ đây, kết luận bổ đề suy từ định lý giá trị trung bình Bây ta tham số chọn theo (2.16) thực tham số hiệu chỉnh bất phương trình hiệu chỉnh (2.4) Bổ đề 2.2 Nếu tham số chän theo (2.16), th× ta cã lim α(h, δ, ε) = h,δ,ε→0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Chøng minh Gi¶ sư hn , δn , εn → vµ αn = α(hn , δn , εn ) → ∞ n → ∞ Tõ (2.4) ta cã hAhn (xταnn ) + αn U s (xταnn − x∗ ) − fδn , x xnn i Đặt n (xnn ) (2.19) − ϕεn (x) ∀x ∈ X x = x bất đẳng thức sử dụng tÝnh chÊt cđa ϕε , Ah vµ U s , ta nhận kxnn x ks1 Từ đây, suy kAhn (x∗ ) − fδn k + C0 αn xταnn → x∗ n → ∞ MỈt khác, sử dụng tính đơn điệu Ahn định nghĩa ánh xạ U s ta đưa (2.19) vỊ d¹ng hAhn (x) − fδn , x − xταnn i + ϕεn (x) − ϕεn (xταnn ) ≥ ≥ αn hU s (xταnn − x∗ ), xταnn − xi ≥ −αn kxταnn − x∗ ks−1 kxταnn − xk = −ρ(αn )kxταnn − xk = −(hn + δn + n )p nq kxnn xk Trong bất đẳng thức cho n tiến đến , sử dụng tÝnh chÊt (1)-(3) xατnn → x∗ n → ∞ ta nhận hA(x) f, x x i + ϕ(x) − ϕ(x∗ ) ≥ ∀x ∈ X (2.20) Bất đẳng thức tương đương với hA(x ) − f, x − x∗ i + ϕ(x) − ϕ(x∗ ) ≥ ∀x ∈ X Cã nghÜa lµ x∗ S , điều mâu thuẫn với (2.17) Như vậy, (hn , n , n ) bị chặn hn , δn , εn → Gi¶ sư αn → c > hn , δn , εn → vµ n → ∞, tõ αn1+q kxταnn − x∗ ks−1 = (hn + δn + εn )p , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 ta cã kxταnn − x∗ k → 0, n → ∞ Ta l¹i cã x∗ S Vì ta có lim α(h, δ, ε) = h,δ,ε→0 Bỉ ®Ị 2.3 NÕu 0 tháa m·n hA(x) − A(y), x − yi ≥ mA kA(x) − A(y)k2 ∀x, y ∈ D(A) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.21) http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Nếu A toán tử ngược đơn điệu mạnh A liên tục Lipschitz kA(x) A(y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ D(A) X mA Toán tử ngược đơn điệu mạnh xuất kết chứng minh giải tích hàm phi tuyến Tính chất (2.21) cho toán tử đơn trị đà đưa cách độc lập nhiều tác giả sử dụng với nhiều tên gọi khác (chẳng hạn toán tử có tính chất Dunn toán tử có tính chất đồng bức) Nếu A toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp, xác định không âm không gian Hilbert H A toán tử ngược đơn điệu mạnh Kết nội dung bổ ®Ị sau Bỉ ®Ị 2.4 (xem [8]) NÕu A:H→H lµ toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp không gian Hilbert H điều kiện sau tương đương: i) ii) mA > : hAx, xi ≥ mA kAxk2 ∀x ∈ H ; hAx, xi ≥ ∀x ∈ H ; iii) tÊt c¶ giá trị riêng A không âm Một toán tử ngược đơn điệu mạnh không thiết đơn điệu mạnh Ví dụ 2.1 Cho H không gian Hilbert, K tập lồi đóng H Toán tử PK chiếu H lên K toán tử không giÃn, đơn điệu thỏa mÃn ®iỊu kiƯn hPK (x) − PK (y), x − yi ≥ kPK (x) − PK (y)k2 ∀x, y ∈ H, có nghĩa PK toán tử ngược đơn điệu mạnh, PK không đơn điệu mạnh trừ K H (xem [8] vµ tµi liƯu dÉn) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 ã Hệ thức sau sử dụng đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh: cho a, b, c số không âm ®ñ bÐ, p > q > NÕu ap ≤ baq + c th× ta cã ap = O bp/(pq) + c gọi bất đẳng thức Young Với cách chọn giá trị tham số hiệu chỉnh theo (2.16), ta có kết sau cần thiết cho việc đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Bổ đề 2.5 Giả sử < p < q Khi tồn số C1 , C2 > cho C1 ≤ (h + δ + ε)p α−1−q (h, δ, ε) ≤ C2 víi h, δ, ε > ®đ bÐ Chøng minh Râ rµng (h + δ + ε)p α−1−q (h, δ, ε) = α−1 (h, δ, ε)ρ(α(h, δ, ε)) = kxτα(h,δ,ε) x ks1 Theo Bổ đề 2.3 Định lý 2.2, d·y {xτα(h,δ,ε) } héi tơ ®Õn x0 τ = (h, δ, ε) → V× vËy, tån số dương C2 bổ đề Mặt khác x 6= x0 nên tồn số C1 Định lý sau cho ta kết tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Định lý 2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mÃn: (i) A toán tử ngược đơn điệu mạnh từ X vào X khả vi Fréchet với tính chất kA(x) − A(x0 ) − A0 (x0 )(x − x0 )k ≤ τ˜kA(x) − A(x0 )k ∀x ∈ X, (2.22) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 A0 (x) đạo hàm Fréchet A x, số dương; (ii) tồn phần tử (iii) tham sè z∈X cho A0 (x0 )∗ z = U s (x0 x ); chọn theo (2.16) Khi ®ã, kxτα(h,δ,ε) − x0 k = O((h + δ + ε)µ1 ), 1+q−p p µ1 = , 1+q s 2s Chøng minh Tõ (2.1), (2.4) vµ tÝnh chÊt cđa ϕε suy hA(xτα ) − A(x0 ), xτα − x0 i+ + αhU s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 i s 0 ≤ αhU (x − x∗ ), x − xτα i + hAh (xτα ) − A(xτα ), x0 − (2.23) xτα i + hfδ − f, xτα − x0 i + ε[d(kx0 k) + d(kxτα k)] KÕt hỵp (2.2), (2.3) víi tính chất ngược đơn điệu mạnh toán tử A, tÝnh U s , tõ (2.23) ta cã τ −1 kA(xα ) − A(x )k ≤ mA [hg(kxτα k) + δ + αkx0 − x∗ ks−1 ] τ 0 τ × kxα − x k + [d(kx k) + d(kx k)] đơn điệu ánh xạ Do tham số hiệu chỉnh chọn theo (2.16) dÃy {x } giới nội nên từ bất đẳng thức ta nhận kA(x ) A(x0 )k = O h+++ Mặt khác, từ (2.2), (2.3), (2.7) tính đơn điệu toán tư Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.24) A, (2.23) cã http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 d¹ng ms kxτα − x0 ks ≤ hU s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 i hg(kxτα k) + δ τ ≤ kxα − x0 k + hU s (x0 − x∗ ), x0 − xτα i α ε + [d(kx0 k) + d(kx k)] Kết hợp điều kiện (i), (ii) định lý (2.24) ta nhận (2.25) hU s (x0 − x∗ ), x0 − xτα i = hz, A0 (x0 )(x0 − xτα )i √ ≤ kzk(˜ τ + 1)kA(xτα ) − A(x0 )k ≤ kzk(˜ τ + 1)O h + δ + ε + α Khi (2.25) viết lại ms kx hg(kxτα k) + δ τ −x k ≤ kxα − x0 k+ α √ (2.26) ε τ + O( h + δ + ε + α) + d(kx k) + d(kxα k) α s Theo kÕt Bổ đề 2.5 ta có 1/(1+q) (h, , ε) ≤ C1 (h + δ + ε)p/(1+q) , vµ h+δ+ε ≤ C2 (h + δ + ε)1−p αq (h, δ, ε) α(h, δ, ε) −q/(1+q) (h + δ + ε)1−p (h + δ + ε)pq/(1+q) −q/(1+q) (h + δ + ε)1−p/(1+q) , ≤ C2 C1 = C2 C1 ®ã tõ (2.26) ta suy −q/(1+q) ms kxτα(h,δ,ε) − x0 ks ≤ max{1, C˜0 }C2 C1 (h + δ + ε)1−p/(1+q) p × kxτα(h,δ,ε) − x0 k + O( h + δ + ε + α(h, δ, ε)) + O (h + δ + ε)1−p/(1+q) ≤ O((h + δ + ε)1−p/(1+q) )kxτα(h,δ,ε) − x0 k + O((h + δ + ε)p/2(1+q) ) + O((h + δ + ε)1−p/(1+q) ), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 C˜0 ≥ g(kxτα(h,δ,ε) k) ë số áp dụng bất đẳng thức Young cho bất đẳng thức cuối ta có đánh giá kxτα(h,δ,ε) − x0 k = O (h + δ + )à1 Chú ý Nếu tham số chän tiªn nghiƯm tháa m·n α ∼ (h + δ + ε)η , < η < 1, th× tõ (2.26) ta cã ms kxτα(h,δ,ε) − x0 ks ≤ O (h + δ + ε)1−η kxτα(h,δ,ε) − x0 k + O (h + δ + ε)η/2 + O (h + δ + ε)1−η − η η V× vËy, kxτα(h,δ,ε) − x0 k = O (h + δ + ε)µ2 , µ2 = , s 2s 2.3 VÝ dô sè XÐt toán (2.27) min{F (x) + (x)} xH không gian Hilbert thùc nưa liªn tơc díi u trªn H , với F hàm lồi thường H hàm F có dạng F (x) = hAx, xi, A toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp xác định không âm H Vì F (x) = Ax, nên x0 nghiệm toán (2.27) x0 nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) với f ≡ θ ∈ H Tõ Bỉ ®Ị 2.4 ta có A : H H toán tử ngược đơn điệu mạnh Hơn A khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet A Trong trường hợp này, điều kiện (ii) Định lý 2.3 miêu tả nh sau A(x0 )∗ z = x0 , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (x = ) http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Xét trường hợp hàm dÃy hàm trơn lồi không trơn, hàm xấp xỉ toán tử đơn điệu Khi đó, (2.4) có dạng Ah (xτα ) + αI(xτα − x∗ ) + ϕ0ε (xτα ) = f (2.28) Chương trình thực nghiệm viết ngôn ngữ MATLAB 7.0 đà thử nghiệm máy tính ACER 1.73 GHz Ram 504 MB cho ví dụ sau Ví dụ 2.2 (xem [2]) Cho • A = B T B lµ mét ma trËn vu«ng cÊp M víi ma trËn B = (bij )M i,j=1 xác định b1j = cos(2011), j = 1, , M, b2j = cos(2011), j = 1, , M, bij = cos(ij) sin(j), i = 3, , M, j = 1, , M Ah = Ih + A lµ xÊp xØ cđa A, víi I lµ ma trận đơn vị cấp M ã f = (, δ, , δ)T ∈ RM lµ xÊp xØ cđa f = (0, 0, , 0)T ∈ RM , δ → ã Hàm : RM R biểu diƠn bëi c«ng thøc , x ≤ 0, M ϕ(x) = xM , xM > 0, x = (x1 , x2 , , xM )T RM Hàm liên tục, lồi không khả vi x = (x1 , x2 , , xM −1 , x0 )T ∈ RM XÊp xØ ϕ bëi ϕε cã d¹ng ϕ(x) , xM ≤ −ε, xM > ε, ϕε (x) = (xM + ε) , −ε < x ≤ ε, M 4ε Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 víi ε > ®đ bÐ cho tríc Ta thÊy ϕε lµ mét hµm khả vi, lồi với > thỏa mÃn điều kiện (3), đồng thời toán tử đơn điệu từ RM vào RM Với toán tử A hàm cho trên, x0 = (0, 0, , 0)T ∈ RM lµ nghiƯm cđa toán (2.27) có chuẩn nhỏ Bây áp dụng Định lý 2.3 với tham số chọn bëi α ∼ (h + δ + ε)2/3 , h = = = nhận đánh giá rα,M ®Ĩ M2 = kxτα,M − x0 k Sư dụng phương pháp lặp [10] để tìm nghiệm xấp xỉ cho toán (2.27), với tiêu chuẩn dừng dÃy lặp (m) max |xj 1jM (m1) xj | 104 , m số lần lặp Bảng kết tính toán sau nhận với xấp xỉ ban đầu z0 = (1.5, 1.5, , 1.5)T ∈ RM M α τ rα,M 0.09172 0.0015437 12 0.036399 0.0012843 24 0.014445 0.0012819 48 0.0057325 0.0014711 96 0.0022749 0.00089006 B¶ng 2.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Kết luận chung Đề tài luận văn đà đề cập đến phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Nội dung bao gồm: Trình bày hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng, nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đồng thời đưa kết số vỊ tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh cđa bất đẳng thức biến phân hỗn hợp dựa së chän tham sè hiƯu chØnh tiªn nghiƯm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Tài liệu tham khảo [1] Ph K Anh Ng Bường (2005), Bài toán không chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Nguyễn Thị Vân Anh (2011), Một kết số phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, (nhận đăng Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011) [3] V Barbu (1976), in Banach Spaces, Nonlinear Semigroups and Differential Equations Noordhoff International Publishing, Leyden The Netherlands [4] Ng Buong and Ng T T Thuy (2008), "On regularization parameter choice and convergence rates in regularization for ill-posed mixed variational inequalities", ematical Sciences, 4(3), International Journal of Contemporary Math- pp 181-198 [5] I Ekeland and R Temam (1970), Problems, Convex Analysis and Variational North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland [6] I V Konnov and E O Volotskaya (2002), "Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems", matics, 6, Journal of Applied Mathe- pp 289-314.I [7] O A Liskovets (1991), "Regularization for ill-posed mixed variational inequalities", Soviet Mathematics Dokl., 43, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên pp 384-387 (in Russian) http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 [8] F Liu and M Z Nashed (1998), "Regularization of nonlinear ill-posed variational inequalities and convergence rates", Set-Valued Analysis, 6, pp 313-344 [9] G Stampacchia (1969), Variational Inequalities, Theory and Applica- tions of Monotone Operator, [10] Ng T T Thuy (2010), Ed Oderesi, Gubbio, pp 101-192 An iterative method to a common solution of inverse-strongly problems in Hilbert spaces, Advances and Applica- tions in Mathematical Siences, pp 165-174 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn