Bất đẳng thức phần 2

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CAUCHY) CHỦ ĐỀ A KiÕn thøc cÇn nhí Cho a, b, c số khơng âm Khi theo bất đẳng thức AM-GM: a b  ab ; a b c  abc ; Tổng quát: Trung bình cộng n số không âm lớn trung bình nhân chúng a1  a2   a n n  a1 a2 a n với a1 , a2 , , a n số không âm n Đẳng thức xảy a1 a2  an B VÍ DỤ MINH HỌA 1) Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng qua trung bình nhân Sử dụng bất đẳng thức AM –GM dạng: a1  a2   a n n  a1 a2 a n với a1 , a2 , ,a n số khơng âm n Thí dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  a  b  b  c  c  a  8abc Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:  a  b  b  c  c  a  2 ab bc ac 8abc (đpcm) Thí dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a) 1 1   4  x y  x  y  b)  1 1    9  x y z  x  y  z  Hướng dẫn giải a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được: x  y 2 xy   1 1 1 1    x  y     4 (đpcm)    x  y     2 xy 1 xy  2  0  x y  x y x y xy  BẤT ĐẲNG THỨC THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Dấu “=” bất đẳng thức xảy x = y b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được: x  y  z 3 xyz    1 1  1 1    x  y  z      9    x  y  z      3 xyz 1 1 xyz   3  0  x y z  x y z x y z xyz  Dấu “=” bất đẳng thức xảy x = y = z Thí dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b3  c a b  b c  c a Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a  a  b3 3 a a b3 3a b b3  b3  c 3 b3 b3 c 3b c c3  c  a 3 c c a 3c a Cộng ba bất đẳng thức theo vế ta được:  a  b3  c  3  a b  b c  c a   a  b3  c a 2b  b c  c a (đpcm) 2) Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân qua trung bình cộng Sử dụng bất đẳng thức AM –GM theo chiều: n a1 a2 a n  a1  a2   a n với a1 , a2 , ,a n số không âm n Ta thường áp dụng gặp tốn bất đẳng thức có dạng: m A1  m A2   m An  B Ta có hai hướng xử lý: + Đánh giá trực tiếp + Nhân thêm số mục đích lược bỏ biến số khơng thích hợp Một số ví dụ minh họa Thí dụ Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh bất đẳng thức:  a   b   c 2  a  b  c  Hướng dẫn giải Ta có ab + bc + ca = nên  a  ab  bc  ca  a  BẤT ĐẲNG THỨC THCS  a  b  a  c  a b a c b c a  2 Từ đó: bc   ca   a b    a   b   c  a   b   c         2  a  b  c  Xảy đẳng thức a b c  Thí dụ Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab bc ca   c  ab a  bc b  ca Hướng dẫn giải Có: a  b  c 1  c  a  b  c  c ac  bc  c  c  ab ac  bc  c  ab a (c  b )  c (b  c ) = (c  a )(c  b) a b  ab ab  c  a c b c  ab (c  a )(c  b)  Tương tự: a  bc  a  b   a  c  , b  ca  b  c   b  a   b c  bc bc   a b a c a  bc (a  b)(a  c) c a  ca ca  b c b  a b  ca (b  c )(b  a ) a b b c c a       P  c a c b a b a c b c b a = a c c b b a   = a c c b b a = 2 Dấu “=” xảy a b c  Từ giá trị lớn P 3 đạt a b c  Thí dụ Chứng minh với a  1, b  Chứng minh a b   b a  Hướng dẫn giải Nhận xét: Vế phải không chứa số sử dụng AM-GM để triệt tiêu số -1 thức nhân thêm vào với Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: BẤT ĐẲNG THỨC THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | a b  a  b  1 a b  21   ab b a  b  a  1 b a  21   ab Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = 3) Kĩ thuật tách nghịch đảo Thí dụ Chứng minh rằng: a b  2 , a,b  b a Hướng dẫn giải Vì a,b  nên a b  0, 0 b a a b a b  2 2 (đpcm) b a b a Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: Đẳng thức xảy a = b Thí dụ Chứng minh rằng: a  3 , a  a Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a 1 a    2 a a Đẳng thức xảy a    a  1  2  3 (đpcm) a 1  a 2 a 1 Thí dụ Chứng minh rằng: a  b(a  b) 3 , a  b  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a 1 b   a  b   33 b. a  b  3 b a  b  b a  b  b a  b  Đẳng thức xảy b a  b b  a  b   a 2, b 1 Thí dụ Chứng minh rằng: a  3 , a  b   a  b  b  1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a  a  b   b  1 BẤT ĐẲNG THỨC THCS  a  b    b  1  b  1    a  b 1  b  1  b  1 2 4  a  b  b  1  b  1 Thí dụ Chứng minh rằng:  a  b a2  a 1  3  b  1  b  1 2 2 , a  R Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a2  2 a 1  a 1 1 a 1  a 1  a 1 2 a 1 a2 1 2 (đpcm) Đẳng thức xảy a = Thí dụ Chứng minh rằng: 3a  , a 0  9a Hướng dẫn giải Với a 0 , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 3a 1 1     4 1 9a  9a  3a 2 3a 2 (đpcm)  2 3a 3a 3a 3a 2 Thí dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  a2  A  a  1     , a   a    Hướng dẫn giải a A  a  1      2a    a     a  1  1  a  1     a 1  2    a  1   a    a 1  2 a  1  Cauchy 1  2 2 a  1  2    a  1  a  1 2 Dấu “=” xảy 2 a  1   a  1 hay a   4 Vậy GTNN A 2  4) Kĩ thuật ghép đối xứng Trong nhiều toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn ta sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng để toán trở nên đơn giản toán bất đẳng thức, thông thường hay gặp hai dạng sau: Dạng 1: Chứng minh X  Y  Z  A  B  C BẤT ĐẲNG THỨC THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | ý tưởng: Nếu ta chứng minh X  Y 2 A Sau đó, tương tự hóa đẻ Y  Z 2 B Z  X 2C (nhờ tính đối xứng tốn) Sau cộng ba bất đẳng thức lại theo vế rút gọn cho 2, ta có điều phải chứng minh Dạng 2: Chứng minh XYZ  ABC với X , Y , Z 0 Ý tưởng: Nếu ta chứng minh XY  A2 Sau đó, tương tự hóa để YZ B ZX C (nhờ tính chất đối xứng tốn) Sau nhân ba bất đẳng thức lại theo vế lấy bậc hai, ta có: XYZ  A2 B 2C  ABC  ABC Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: a b bc ca    a  b  c  2 2 a  b  c   a  b    b  c    c  a  Phép cộng:  Phép nhân:  abc   2  a b c ab bc ca ,  a , b, c 0   ab  bc  ca  Thí dụ Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: bc ca ab   a  b  c a b c Hướng dẫn giải Ta có: bc ca ab  bc ca   ca ab   ab bc              a b c 2 a b  2 b c  2 c a   bc ca ca ab ab bc   a  b  c a b b c c a Thí dụ Cho ba số thực abc 0 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 b c a      b2 c2 a2 a b c Hướng dẫn giải Ta có: a b2 c2  a2 b2   b2 c2   c2 a2              b c a 2  b c   c a   a b   a2 b2 b2 c2 c2 a2 b c a b c a         2 2 a b c a b c b c c a a b Thí dụ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1 Chứng minh rằng: b c c a a b    a  b  c 3 a b c Hướng dẫn giải BẤT ĐẲNG THỨC THCS  bc b  c c  a a  b bc ca ab ca ab        2   b c  a b c a b c  a  bc ca   ca ab   ab bc               b   b c   c a   a bc ca 2 a b 2  ca ab 2 b c   ab bc c a   2 a  b  c  a  b  c   a  b  c  33 Vậy a b c  a b c  a  b  c 3 b c c a a b    a  b  c 3 a b c Thí dụ Cho ABC , AB c, BC a, CA b, p  a b c Chứng minh rằng:  p  a  p  b  p  c   abc Hướng dẫn giải Ta có:  p  a  p  b p  c    p  a  p  b   p  b  p  c   p  c  p  a   p  a    p  b  p  b   p  c   p  c   p  a   2 2 p   a  b p  b  c p  c  a   abc 2 Thí dụ Cho ABC , AB c, BC a, CA b, p  a b c Chứng minh rằng: 1  1 1   2    p a p b p c a b c Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 1  1 1  1 1                p  a p  b p  c  p  a p  b   p  b p  c   p  c p  a  1     p  a  p  b   p  b  p  c   p  c  p  a  1    p  a    p  b  p  b   p  c   p  c    p  a  2  1 1 2     a b c  5) Kĩ thuật ghép cặp nghịch đảo Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau Với n  N  x1 , x , , x n   1      n xn   x1 x  x1  x2   xn  Chứng minh bất đẳng thức : Ta có với x1 , x , , x n  BẤT ĐẲNG THỨC THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP |    x1  x   xn      n n x1 x x n nn n xn  x1 x x n  x1 x Với n 3 x1 , x , x3   1     9  x1 x x3   x1  x2  x3  Thí dụ Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: b c c a a b   6 a b c Hướng dẫn giải Ta có: b c c a a b  b c  c a   a b       1    1   a b c a   b   c   a b c b c a c a b    3 a b c  1 1  a  b  c      9  6  a b c a b c    b c c a a b Thí dụ Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: (Bất đẳng thức Nesbit) Hướng dẫn giải Ta có: a b c a   b   c         1    1   b c c a a b  b c   c a   a b a b c b c a c a b    3 bc ca a b 1    a  b  c      b c c a a b 1      b  c    c  a    a  b      b  c c  a a b     3 2 Thí dụ Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: c2 a2 b2 a b c    a b b c c a Hướng dẫn giải  c2 a2 b2 c2   a2   b2     a     b     a  b  c    c  a b b c c a  a b  bc  c  a  c   a   b   c    a    b     a  b  c  a b   b c   c  a   a b c   b c a   c a b  c   a   b    a  b  c  a b   b c   c  a  a b   c  a  b  c       a  b  c a  b b  c c  a  BẤT ĐẲNG THỨC THCS a b  c   a  b  c     1  a b b c c a  Theo bất đẳng thức Nesbit chứng minh thì: a b c    b c c a a b c2 a2 b2 3    a  b  c    Do a b b c c a 2  a b c 1  (đpcm)  Thí dụ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: 1   9 a  2bc b  2ca c  2ab Hướng dẫn giải Do a  b  c 1 ta có: 1 1 1  2    a  b  c      a  2bc b  2ca c  2ab  a  2bc b  2ca c  2ab  1    a  b  c  2ab  2bc  2ac      a  2bc b  2ca c  2ab  1    a  2bc  b  2ac  c  2ab     9  a  2bc b  2ca c  2ab          6) Kỹ thuật đổi biến số Có toán mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta đưa toán dạng đơn giản dễ nhận biết Thí dụ Cho ABC , AB c, BC a, CA b Chứng minh rằng:  b  c  a  c  a  b  a  b  c  abc (1) Hướng dẫn giải Đặt: b  c  a  c   a   b  a b c  x  y  z   a   b   c     y z x  z  x  y Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: x y.z  x y yz zx 2 Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh ln lớn độ dài cạnh cịn lại nên: x, y, z  Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: xy yz zx  xy yz zx  xyz 2 Hay  b  c  a  c  a  b  a  b  c  abc (đpcm) Thí dụ Cho ABC , AB c, BC a, CA b Chứng minh rằng: a b c   3  1 b c  a c  a  b a b  c Hướng dẫn giải Đặt: b  c  a  c   a   b  a b c  x  y  z BẤT ĐẲNG THỨC THCS      a   b   c     y z x  z  x  y BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | yz zx xy Khi vế trái bất đẳng thức (1) trở thành: x  y  z yz zx x y 1 y x  1 z x 1 z y              2x 2y 2z 2 x y  2 x z  2 y z  Ta có:  2 y x z x   x y x z a b c   3 b c  a c a  b a b  c Hay z y 3 y z (đpcm) Thí dụ Cho ABC , AB c, BC a, CA b Chứng minh rằng: a2 b2 c2   a  b  c (1) b c  a c a  b a b  c Hướng dẫn giải Đặt: b  c  a  c  a  b a  x  b  y  c   z    0   a   b   c     y z x  z  x  y Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:  y  z    z  x   x  y  4x 4y 4z  y  z   z  x   x  y  4x Ta có: 4y  4z  x  y  z yz zx xy  yz zx   zx xy   xy yz                x y z 2 x y  2 y z  2 z x  yz zx  x y zx xy  y z xy yz z  x  y z x a2 b2 c2   a  b  c (đpcm) b c  a c a  b a b  c Hay Thí dụ Cho ABC, AB c, BC a, CA b, p  a b c CMR: 1 p    2  p  a   p  b   p  c   p  a  p  b  p  c  Hướng dẫn giải Ta có: p a  p  b  0, p  c  Tương tự: Đặt:  p    p   p   bc a 0 a x  b  y  c z   p x  y  z Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: 1 xyz    xyz x y z Ta có: 1 1 1  1 1  1 1              x y z 2  x y   y z   z x   1 1 1 1 xyz  2  2     xy yz zx xyz x y y z z x BẤT ĐẲNG THỨC THCS (1)