BÀI TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC Mục tiêu Kiến thức + Phát biểu định lí đường phân giác tam giác Kĩ + Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính tốn chứng minh Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn Chú ý: Định lí với đường phân giác góc ngồi tam giác Đường phân giác ngồi góc A cắt BC D, E Khi ta có: DB AB EB AB DC AC EC AC II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải Xây dựng tỉ số đoạn thẳng dựa theo tính chất đường phân giác Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 12cm, AC 20cm, BC 16cm Đường phân giác đường phân giác ngồi góc A cắt BC D, E Tính độ dài đoạn thẳng DB, DC, EB, EC Sử dụng tính chất tỉ lệ thức để biến đổi Hướng dẫn giải tính tốn Bước Dựa vào tính chất đường phân giác để xây dựng tỉ số đoạn thẳng Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: DB AB (do AD phân giác góc A) DC AC EB AB (do AE phân giác ngồi góc A) EC AC DB EB AB 12 DC EC AC 20 Bước Sử dụng tính chất tỉ lệ thức để xây DB DB DB DC DB DC BC dựng tỉ số phù hợp với giả thiết Ta có: BD BC 16 6 cm 8 DC BC BD 16 10 cm Trang EB EB EB EC EC EB BC Ta có: EB BC 16 24 cm 2 EC EB BC 24 16 40 cm Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC tam giác DEK theo thứ tự có đường phân giác AI, DG Biết độ dài đoạn thẳng biểu diễn hình vẽ bên Tính giá trị x, y Hướng dẫn giải + Xét tam giác ABC có AI đường phân giác góc A IB AB x 12 x x 12.5 IC AC x x x 60 0 x 10 x x 60 0 x x 10 0 x 0 x 10 x 6 cm + Xét DEK có DG đường phân giác góc D GE DE y y 3 GK DK y 4 y 3 y 12 y 6 cm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, BE, CF a) Tính DC biết AB : AC 4 : BC 18cm b) Tính AC biết AB : BC 4 : EC EA 6cm Câu 2: Cho ABC có đường phân giác AD AB 8cm, AC 12cm Biết độ dài cạnh DB, DC tính theo cm số nguyên, tính độ dài lớn đoạn BC Dạng 2: Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính tỉ số, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng Phương pháp giải Ví dụ: Cho tam giác ABC, đường phân giác Trang - Sử dụng tính chất đường phân giác (ngồi) AD, BE, CF giao I Chứng minh: tam giác để tạo tỉ số phù hợp - Kết hợp với định lí Ta-lét/Ta-lét đảo để tạo mối quan hệ cạnh, tính chất song song, vng góc đường a) DI BC DA AB BC CA b) DI EI FI 1 DA EB FC Hướng dẫn giải - Sử dụng tính chất tỉ lệ thức, dãy tỉ số để biến đổi tỉ số Bước Chỉ hệ thức tương ứng từ tính chất Do I giao ba đường phân giác tam giác đường phân giác tam giác Bước Sử dụng tính chất dãy tỉ số để tạo hệ thức cần chứng minh ABC nên: + BI đường phân giác BAD ID BD IA BA + CI đường phân giác CAD ID CD IA CA ID BD CD IA BA CA ID BD CD ID IA BD BA CD CA (tính chất tỉ lệ thức) ID BD CD AD BD BA CD CA (tính chất dãy tỉ số nhau) ID BC (điều phải chứng minh) AD BC BA CA (1) Chứng minh tương tự câu a, ta được: IF CA BE BC BA CA IF AB CF BC BA CA 2 3 Cộng vế (1), (2), (3) ta được: ID IE IF BC CA AB 1 AD BE CF BC BA CA (điều phải chứng minh) Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 6cm, AC 12cm, BC 9cm Gọi I giao điểm đường phân giác, G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh IG / / BC b) Tính độ dài đoạn IG Hướng dẫn giải a) Gọi D chân đường phân giác góc A ABC Ta có: DB AB (tính chất đường phân giác) DC AC 12 DB DB 1 DB BC 3 cm DB DC BC 3 Ta có BI phân giác góc B ABD IA BA 2 ID BD IA AI IA ID AD Gọi AG BC M Do G trọng tâm ABC nên Do đó, ta có: AG AM AG AI AM AD Xét ADM có AG AI , nên theo định lí Ta-lét đảo, ta có IG / / DM hay IG / / BC AM AD b) Do AM đường trung tuyến ABC nên M trung điểm BC BC cm 2 DM BM BD cm 2 BM CM Xét ADM có IG / / DM IG AI 2 IG DM 1 cm DM AD 3 Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D, đường phân giác AMC cắt cạnh AC E a) Chứng minh DE / / BC b) Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh I trung điểm DE Câu 2: Cho tam giác ABC vuông A AB AC , đường cao AH, trung tuyến AM Đường thẳng vng góc với AM A cắt đường thẳng BC điểm D Chứng minh rằng: a) AB tia phân giác DAH b) BH CD BD.CH ĐÁP ÁN Dạng Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính độ dài đoạn thẳng Câu 1: Xét tam giác ABC có AD đường phân giác DB AB DC AC DB DC BC DC DC 5.BC 5.18 DC 10 cm 9 Ta có BE đường phân giác góc B ABC EA BA EC CB EA EC AC 11 EC EA 6.11 AC 22 cm Câu 2: Xét ABC có AD đường phân giác góc A Suy DB AB DB DC DC AC 12 3 Theo giả thiết cạnh DB, DC có độ dài số nguyên nên ta có DB DC k với k DB 2k ; DC 3k BC BD DC 5k Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác, ta có: AC AB BC AC AB BC 20 5k 20 k 4 Do k nên đoạn BC có độ dài lớn k 3 Khi BC 5k 5.3 15 cm Trang Dạng Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính tỉ số, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng Câu 1: Xét ABM có MD đường phân giác góc AMB MB DB MA DA Có ME đường phân giác góc AMC AMC MC EC MA EA Mà MB MC (do M trung điểm BC) suy Từ (1) (2) suy Xét ABC có MB EC MA EA 1 2 DB EC DA EA DB EC DE / / BC (định lý Ta-lét đảo) DA EA Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: + ABM có DI / / BM ID AI BM AM + ACM có IE / / CM IE AI CM AM Do đó, ta có ID IE BM CM AI AM Mà MB MC nên ID IE Vậy, I trung điểm đoạn DE Câu 2: Ta có AM trung tuyến tam giác vuông ABC AM BM CM BC MAB cân đỉnh M MAB MBA Ta có: DAB BAM DAM 90 (do AD AM ) BAH ABH 90 (do ABH vuông H) DAB BAM BAH ABH Mà MAB (chứng minh trên) hay BAM ABH DAB BAH MBA Do AB tia phân giác DAH b) Ta lại có AC AB (giả thiết) nên AC tia phân giác góc ngồi đỉnh A ADH Xét ADH có: + AB phân giác góc DAH BD AD BH AH 1 + AC phân giác ngồi góc DAH CD AD CH AH 2 Trang Từ (1) (2), ta có: BD CD BH CD BD.CH (điều phải chứng minh) BH CH Trang