Bài 6 đối xứng trục

BÀI 6: ĐỐI XỨNG TRỤC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa hai điểm đối xứng qua trục, hai đoạn thẳng, hai hình đối xứng qua đường thẳng + Nắm cách dựng điểm đối xứng, đoạn đối xứng qua trục  Kĩ + Chứng minh hai điểm đối xứng với qua đường thẳng, hai đoạn thẳng đối xứng với qua đường thẳng + Nhận biết số hình có trục đối xứng Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hai điểm đối xứng qua đường thẳng - Định nghĩa: Hai điểm gọi đối xứng với qua đường thẳng d d đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm - Quy ước: Nếu điểm B nằm đường thẳng d điểm đối xứng với B qua đường thẳng d B Hình đối xứng qua đường thẳng - Định nghĩa: Hai hình gọi đối xứng với qua đường thẳng d điểm thuộc hình đối xứng với điểm hình qua đường thẳng d ngược lại - Đường thẳng d gọi trục đối xứng hai hình Hình có trục đối xứng - Đường thẳng d gọi trục đối xứng H điểm đối xứng với điểm thuộc hình H qua đường thẳng d thuộc hình H Ta nói H có trục đối xứng - Định lí: Đường thẳng qua trung điểm hai cạnh đáy hình thang cân trục đối xứng hình thang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết hình cố trục đối xứng Phương pháp giải Xác định hình có trục đối xứng Ví dụ: Tìm hình có trục đối xứng: Bước Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng qua trục, hai hình đối xứng qua trục kiểm tra hình thỏa điều kiện Hình có trục đối xứng là: a, b Hình khơng có trục đối xứng là: c Bước Kẻ trục đối xứng hình Kẻ trục đối xứng: Trang xác định Ví dụ mẫu Ví dụ Xác định hình có trục đối xứng vẽ trục đối xứng hình đó: a) c) b) e) f) d) Hướng dẫn giải Hình khơng có trục đối xứng là: c), f) Hình có trục đối xứng là: a), b), d), e) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng Hình vng có bốn trục đối xứng Đường trịn có vơ số trục đối xứng qua Hình thoi có hai trục đối xứng tâm O Trang Ví dụ Tìm hình có trục đối xứng Hướng dẫn giải Hình khơng có trục đối xứng là: h) Hình có trục đối xứng là: a), b), c), d) e), g), i) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phép đối xứng biên hình qua đường thẳng hình có kích thước A Khơng thay đổi B Giảm nửa C Tăng gấp đôi D Tăng hay giảm tùy theo hình Câu 2: Tìm câu sai phát biểu A Chữ in hoa A có trục đối xứng B Tam giác có trục đối xứng C Đường trịn có vơ số trục đối xứng D Tam giác cân có trục đối xứng Câu 3: Cho đoạn thẳng AB 12 cm đường thẳng không cắt AB Đoạn thẳng AB ảnh đối xứng AB qua d, độ dài AB bao nhiêu? A 6cm B 12cm C 4cm D 18cm Câu 4: Vẽ hình đối xứng hình cho qua trục d Trang Câu 5: Trong biển báo giao thơng đây, biển có trục đối xứng: Câu 6: Xác định trục đối xứng hình đây: Dạng 2: Chứng minh hai điểm hai hình đối xứng với qua đường thẳng Phương pháp giải Để chứng minh hai điểm A, B đối xứng qua Ví dụ: Cho ABC cân A, kẻ đường cao AH đường thẳng ta chứng minh Lấy điểm I, K theo thứ tự AB, AC cho + d  AB ; AI  AK Chứng minh hai điểm I, K đối xứng + d qua trung điểm AB qua AH Hay d trung trực đoạn thẳng AB Hướng dẫn giải Trang Gọi N giao điểm IK AH Ta có: ABC cân A (giả thiết) AH đường cao (giả thiết)   AH phân giác BAC Ta có: AI  AK (giả thiết)  AIK cân A   Mà AH phân giác IAK (AH phân giác BAC ) nên AH trung trực IK Suy I, K đối xứng qua AH Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình thang cân ABCD có đáy AB //CD Gọi I trung điểm AB, từ I kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt CD E a) Chứng minh C đối xứng với D qua IE b) Chứng minh AD đối xứng với BC qua IE Hướng dẫn giải a) Ta có I trung điểm AB (giả thiết) Mà EI  AB I (giả thiết) nên EI đường trung trực AB Lại có tứ giác ABCD hình thang cân (giả thiết) Suy IE đường trung trực CD E  C đối xứng với D qua IE b) Ta có EI đường trung trực AB (chứng minh trên) nên A đối xứng với B qua IE Mặt khác D đối xứng với C qua IE (chứng minh trên) Do AD đối xứng với BC qua IE Ví dụ 2: Cho ABC nhọn có AB  AC có đường cao AH Gọi M trung điểm AB N trung điểm AC Chứng minh: A đối xứng với H qua MN Hướng dẫn giải Trang Xét ABC , ta có: M trung điểm AB (giả thiết), N trung điểm AC (giả thiết),  MN đường trung bình ABC  MN //BC Mà AH  BC (AH đường cao ABC ) nên MN  AH  1 Gọi O giao điểm MN AH Xét ABH , ta có: M trung điểm AB (giả thiết) MO //BH ( MN //BC )  O trung điểm AH   Từ  1   suy ra: MN đường trung trực AH Suy A đối xứng với H qua MN Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Gọi điểm M đối xứng với A qua đường thẳng d, MA cắt I Kết luận sau đúng? A d trung trực đoạn MA B M A nằm phía so với d C MA MI D IA 2 MA Câu 2: Gọi điểm O đối xứng với D qua đường thẳng d, OD cắt d I Kết luận sau đúng? A d trung trực đoạn OI B O D nằm phía so với d C OI ID D OI OD Câu 3: Cho ABC cân A có AM đường trung tuyến Trên cạnh AB lấy điểm N, cạnh AC lấy điểm E cho AN  AE Chứng minh N đối xứng với E qua AM Câu 4: Cho ABC có AB  AC Gọi d đường trung trực BC, dựng điểm D đối xứng với A qua d a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với AB qua d b) Tứ giác ABCD hình gì? Vì sao? Câu 5: Cho ABC cân A có BN, CM hai đường trung tuyến Gọi G giao điểm CM BN Chứng minh CM đối xứng với BN qua AG Dạng 3: Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải tốn Phương pháp giải Bước Sử dụng tính chất: “Nếu hai đoạn thẳng Ví dụ: Cho góc nhọn xOy, lấy điểm A thuộc (góc, tam giác) đối xứng với qua đường thẳng chúng nhau” để xác định điểm, đoạn thẳng đối xứng Bước Chứng minh: hai điểm đối xứng, đoạn  miền xOy Vẽ B đối xứng với A qua Ox vẽ C đối xứng với A qua Oy Chứng minh: OB OC Trang thẳng đối xứng, hình đối xứng suy tính chất hình học cần chứng minh Ta có B đối xứng với A qua Ox (giả thiết) nên Ox trung trực AB  OA OB  1 Ta có C đối xứng với A qua Oy (giả thiết) nên Oy trung trực AC  OA OC   Từ  1   suy OB OC  OA  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho ABC nhọn có AB  AC có đường cao AH Lần lượt lấy M đối xứng với H qua AB, N đối xứng với H qua AC a) Chứng minh: BM BH CN CH b) Gọi I giao điểm HM AB, K giao điểm HN AC Chứng minh: IK //MN Hướng dẫn giải a) Ta có M đối xứng với H qua AB (giả thiết) nên AB trung trực MH  BM BH Ta có N đối xứng với H qua AC (giả thiết) nên AC trung trực HN  CN CH b) Ta có AB trung trực MN (chứng minh trên) I giao điểm HM AB (giả thiết)  I trung điểm HM Ta có AC trung trực HN (chứng minh trên) K giao điểm HN AC (giả thiết)  K trung điểm HN Xét HMN , ta có: I trung điểm HM (giả thiết) Trang K trung điểm HN (giả thiết)  IK đường trung bình HMN Suy ra: IK //MN Ví dụ 2: Cho ABC vng A Trên BC lấy điểm M nằm hai điểm B C Gọi E điểm đối xứng với M qua AB Q điểm đối xứng với M qua AC Chứng minh a) AE  AM  AQ b) A trung điểm EQ Hướng dẫn giải a) Ta có E đối xứng với M qua AB (giả thiết) nên AB trung trực ME  AE  AM  1 Ta có Q đối xứng với M qua AC (giả thiết) nên AC trung trực MQ  AQ  AM  2 Từ  1   suy AE  AM  AQ b) Ta có AE  AM (chứng minh trên)  AEM cân A    Mà AB đường cao  AB  EM  nên AB phân giác EAM  EAB MAB Ta có AQ  AM (chứng minh trên)  AQM cân A    AC đường cao  AC  QM  nên AC phân giác QAM  QAC MAC   Lại có MAC  MAB 90 ( ABC vuông A)      Suy EAB  QAC 90  EAB  QAC  BAC 90  90 180  E, A, Q thẳng hàng Mà AE  AQ (chứng minh trên) nên A trung điểm EQ Bài tập tự luyện dạng   Câu 1: Cho xOy Vẽ điểm Q đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm H 60 , điểm A nằm góc xOy đối xứng với A qua Oy a) So sánh độ dài OQ OH  b) Tính số đo góc QOH Câu 2: Cho ABC nhọn có AB  AC , điểm M nằm AB Vẽ điểm H đối xứng với M qua BC, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC a) Chứng minh: CM CH CE b) Gọi I giao điểm MH với BC, gọi D giao điểm ME với AC Chứng minh ID  HE Câu 3: Cho tam giác ABC có A 60 trực tâm H Gọi M điểm đối xứng với H qua BC a) Chứng minh BHC BMC Trang b) Tính số đo góc BMC Câu 4: Cho tam giác ABC Điểm M nằm đường phân giác góc ngồi đỉnh C Chứng minh AC  CB  AM  MB Trang 10 ĐÁP ÁN Dạng Nhận biết hình có trục đối xứng 1-A 2-B 3-B Câu 4: Học sinh tự vẽ Câu 5: Các biển báo có trục đối xứng hình: a); b); d) Câu 6: a) Chữ D có trục đối xứng b) Chữ H có trục đối xứng Dạng Chứng minh hai điểm hai hình đối xứng với qua đường thẳng 1-A 2-C Câu 3: Ta có ABC cân A (giả thiết); AM đường trung tuyến (giả thiết)   AM phân giác BAC Ta có AN  AE (giả thiết)  ANE cân A   Mà AM phân giác NAE (AM phân giác BAC ) nên AM trung trực NE Suy N, E đối xứng qua AM Câu 4: a) Ta có: d trung trực BC (giả thiết)  C đối xứng với B qua d  1 Ta có: d  AD trung điểm E (giả thiết)  d trung trực trực AD  D đối xứng với A qua d  2 Từ  1   suy ra: DC đối xứng với AB qua d b) Ta có: AD //BC   d   tứ giác ABCD hình thang có hai cạnh song song  Mà: ABC DCB (DC đối xứng với AB qua d) nên hình thang ABCD hình thang cân có góc kề đáy Câu 5: Trang 11 Xét ABC , ta có: M trung điểm AB (CM đường trung tuyến), N trung điểm AC (BN đường trung tuyến)  MN đường trung bình ABC  MN //BC  BMNC hình thang có hai cạnh song song   Mà MBC ( ABC cân A) NCB Do hình thang BMNC hình thang cân có hai góc kề đáy Xét ABC , ta có: BN đường trung tuyến (giả thiết) CM đường trung tuyến (giả thiết) BN cắt CM G (gt)  G trọng tâm ABC  AG đường trung tuyến ABC Mà ABC C cân A (gt) nên AG đường trung trực BC  1 Lại có tứ giác BMNC hình thang cân (chứng minh trên) Suy AG đường trung trực MN  2 Từ  1   suy CM đối xứng với BN qua AG Dạng Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán Câu 1: a) So sánh độ dài OQ OH Ta có Q đối xứng với A qua Ox nên Ox trung trực  OA OQ  1 Ta có H đối xứng với A qua Oy nên Oy trung trực  OA OH  2 Từ  1   suy OQ OH  OA   b) Tính số đo góc QOH Ta có OA OQ (chúng minh trên)  AOQ cân O nên Ox phân giác AOQ  AOQ 2 AOx Ta có OA OH (chứng minh trên)  AOH cân O nên Oy phân giác AOH Trang 12   AOH 2 AOy  AOQ 2 AOx    Ta có: QOH mà  AOQ  AOH   AOH 2 AOy Do đó:     QOH 2 AOx  AOy 2 AOx  AOy 2 AOy 2.60 120 Câu 2: a) Ta có H đối xứng với M qua BC nên BC trung trực MH  CM CH  1 Ta có E đối xứng với M qua AC nên AC trung trực ME  CM CE  2 Từ  1   suy ra: CM  AH CE b) Gọi I giao điểm MH với BC, gọi D giao điểm ME với AC Ta có BC trung trực MH  I trung điểm MH Ta có AC trung trực ME  D trung điểm ME Xét MHE , ta có I trung điểm MH (chứng minh trên) D trung điểm ME (chứng minh trên)  ID đường trung bình MHE  ID  HE Câu 3: a) Ta có M đối xứng với H qua BC  BC trung trực HM Xét BHC BMC , ta có BH BM (BC trung trực HM) CH CM (BC trung trực HM ) BC chung  BHC BMC (c.c.c) b) Gọi E, F giao điểm CH, BH với AB, AC CH  AB    BH  AC Trang 13 Xét tứ giác AEHF, ta có   EAF  AFH  FHE  AEH 360 (tổng bốn góc tứ giác)    60  90  90  FHE 360  FHE 120    Mà BHC (hai góc đối đỉnh) nên BHC FHE 120   BMC 120  BHC BMC  Câu 4: Trên tia BC lấy điểm Q cho CQ  AC  ACQ cân C Mà CM phân giác ACQ nên CM đường trung trực AQ  MA MQ Trong BMQ , ta có  MB  MQ  BQ (bất đẳng thức tam giác)  MB  MA  CB  CQ  MB  MA  CB  CA Vậy AC  CB  AM  MB (điều phải chứng minh) Trang 14