CHUYÊN ĐỀ BÀI DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA DỰNG HÌNH THANG Mục tiêu Kiến thức + Biết dùng thước compa để dựng hình + Nắm bước giải tốn dựng hình Kĩ + Sử dụng thước compa để dựng hình vào cách tương đối + Giải toán dựng hình Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Bài tốn dựng hình Ta xét tốn vẽ hình mà sử dụng hai dụng cụ thước compa, chúng gọi tốn dựng hình Với thước, ta có thể: - Vẽ đường thẳng biết hai điểm - Vẽ đoạn thẳng biết hai đầu mút - Vẽ tia biết góc điểm tia Với compa, ta vẽ đường trịn biết tâm bán kính Dựng hình tam giác - Muốn dựng hình tam giác, cần ba yếu tố, số yếu tố góc khơng q - Muốn dựng tam giác cân, cần yếu tố, số yếu tố góc khơng q Dựng hình thang - Muốn dựng hình thang, cần biết bốn yếu tố, số yếu tố góc khơng q - Muốn dựng hình thang cân, cần biết ba yếu tố, số yếu tố góc khơng q II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Dựng tam giác Phương pháp giải Bước Tìm yếu tố cố định cạnh, góc, Ví dụ điểm xác định mối liên hệ chúng Dựng tam giác ABC vuông A, biết cạnh huyền Bước Dựng tam giác BC = 4cm, cạnh góc vng AC = 2cm Giải tốn theo bước a) Phân tích a) Phân tích: Giả sử dựng tam giác vng ABC thoả mãn đầu bài, ta thấy: Đoạn thẳng AC dựng biết độ dài Khi điểm B giao điểm của: +) Tia Ax tạo với đoạn thẳng AC góc 90° +) Vẽ đường trịn (C;4cm) cắt tia Ax B b) Cách dựng b) Cách dựng: - Dựng đoạn thẳng AC = 2cm - Dựng tia Ax tạo với AC góc 90° Trang - Dựng đường tròn (C;4cm) - Đường tròn (C;4cm) cắt Ax B - Dựng đoạn thẳng BC Tam giác ABC tam giác cần dựng c) Chứng minh c) Chứng minh: ABC vừa dựng vuông A, cạnh AC = 2cm, BC = 4cm thoả mãn đề d) Biện luận d) Biện luận: Ta dựng tam giác thoả mãn đề Ví dụ mẫu Ví dụ Dựng tam giác ABC, biết BC 12cm, BCA 72o , CBA 50o Hướng dẫn giải a) Phân tích: Giả sử dựng tam giác ABC thỏa mãn đầu bài, ta thấy: - Đoạn thẳng BC dựng biết độ dài - Khi điểm A giao điểm +) Tia Bx tạo với BC góc 50° Đây dạng tốn dựng tam giác biết độ dài cạnh hai góc kề với +) Tia Cy tạo với BC góc 72° b) Cách dựng: - Dựng đoạn thẳng BC = 12cm Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng BC - Dựng góc xBC 50 - Dựng góc yCB 72 - Tia Bx Cy cắt A Tam giác ABC tam giác cần dựng c) Chứng minh: ABC vừa dựng có cạnh BC 12cm, ABC 50 , ACB 72 (thoả mãn đề bài) d) Biện luận: Ta dựng tam giác thoả mãn đề Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Chọn câu sai câu sau A Một tam giác dựng biết độ dài ba cạnh B Một tam giác dựng biết độ dài hai cạnh góc xen C Một tam giác dựng biết độ dài cạnh hai góc kề D Một tam giác dựng biết số đo hai góc Câu 2: Cách dựng tam giác ABC vuông A , biết cạnh huyền BC = 4cm, góc nhọn B 65 A Dựng đoạn thẳng BC = 4cm, dựng tia Cx tạo với BC góc 65°, dựng đường thẳng qua B cắt với Cx A Ta tam giác ABC cần dựng Trang B Dựng đoạn thẳng BC = 4cm, dựng tia Bx tạo với BC góc 65°, dựng đường thẳng qua C cắt Bx A Ta tam giác ABC cần dựng C Dựng đoạn thẳng BC = 4cm, dựng tia Bx tạo với BC góc 65°, dựng đường thẳng qua C vng góc với Bx A Ta tam giác ABC cần dựng D Dựng đoạn thẳng BC = 4cm, dựng tia Cx tạo với BC góc 65°, dựng đường thẳng qua B vng góc với Cx A Ta tam giác ABC cần dựng 20 , BC AB 3cm Câu 3: Cách dựng tam giác ABC vuông A biết C 20 ; AD BC AB 3cm Dựng ACD vuông A; C Dựng điểm B giao hai đường trung trực Dựng đường trung trực CD Dựng đoạn thẳng BC A B C D Câu 4: Dựng tam giác ABC cân A, biết cạnh đáy BC = 5cm, cạnh bên AB AC 10cm 50 Câu 5: Dựng tam giác ABC biết AB 12cm; AC 15cm A 75 Câu 6: Dựng tam giác ABC biết: AB AC 3cm, BC 2cm, B Dạng 2: Dựng hình thang Phương pháp giải Bước Tìm tam giác dựng (có Ví dụ Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết: thể phải vẽ thêm đường phụ) 90 ;CD 4cm; AC 5cm; BC 3,5cm D Bước Phân tích dựng điểm cịn lại, điểm phải thoả mãn hai điều kiện nên giao điểm hai đường a) Phân tích: a) Phân tích: Giả sử dựng hình thang ABCD thoả mãn đầu bài, ta thấy: - ADC dựng (cạnh huyền, cạnh góc vng) - Đỉnh B thoả mãn hai điều kiện: B nằm tia Ax // CD (Ax DC nằm nửa mặt phẳng bờ AD) B nằm đường tròn (C;3,5cm) b) Cách dựng: b) Cách dựng: - Dựng ADC vuông D cho Trang DC 4cm; CA 5cm - Dựng tia Ax // DC (Ax DC nằm nửa mặt phẳng bờ AD) - Dựng đường tròn (C;3,5cm) cắt Ax B - Nối BC ta hình thang ABCD phải dựng c) Chứng minh: c) Chứng minh: Thật vậy, theo cách dựng tứ giác ABCD có: AB // CD nên tứ giác ABCD hình thang Hình thang có 90 ; DC 4cm; AC 5cm; BC 3,5cm D (thỏa mãn đề bài) d) Biện luận: d) Biện luận: Ta có 3,5 nên đường tròn (C; 3,5cm) cắt tia Ax hai điểm B B', tốn có hai nghiệm hình hình thang ABCD AB'CD Ví dụ mẫu 30 Ví dụ Dựng hình thang ABCD AB // CD , biết AB 2cm; BC 2,5cm; CD 6cm; D Hướng dẫn giải a) Phân tích: AE // BC E CD AE BC 2,5cm; AB EC 2cm; DE 6 cm - ADE dựng biết hai cạnh góc - Điểm C thoả mãn hai điều kiện: C nằm tia DE DC 6cm - Điểm B thoả mãn hai điều kiện: B nằm tia Ax // DC nằm Cy // AE b) Cách dựng: 30 ; DE 4cm; EA 2,5cm - Dựng ADE cho có D Để dựng hình - Trên tia DE lấy điểm C cho DC = 6cm thang ABCD ta dựng - Dựng tia Ax // DC tia Cy // AE chúng cắt B tam giác ADE với Tứ giác ABCD hình thang phải dựng AE // BC c) Chứng minh: Thật vậy, theo cách dựng tứ giác ABCD có AB // CD nên tứ giác ABCD 30 ; DC 6cm; AB 2cm; BC 2,5cm hình thang Hình thang ABCD có D (thỏa mãn đề bài) d) Biện luận: đường tròn (E;2,5cm) cắt Dz hai điểm A A' nên tốn Trang có hai nghiệm hình hình thang ABCD hình thang A'B'CD Bài tập tự luyện dạng 50 Câu 1: Cách dựng hình thang cân ABCD (AB // CD) biết CD 4cm, AD 2cm D 50 , AD 2cm, DC 4cm Dựng ADC có D Dựng góc DCx 50 cho tia Cx nằm nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ đường thẳng chứa cạnh CD Dựng tia Ay // CD Lấy giao điểm B tia Ay tia Cx A B C D Câu 2: Cách dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết AB AD 2cm, AC DC 4cm Dựng tam giác ADC có AD 2cm, AC 4cm, CD 4cm Dựng tia Ax song song với CD nằm nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ đường thẳng AD Trên tia Ax lấy điểm B cho AB = 2cm Kẻ BC ta hình thang cần dựng A B C D 60 Câu 3: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD) biết CD 7cm; AC 6,5cm; D 60 Câu 4: Dựng hình thang cân ABCD biết đáy CD 5cm, AC 7cm, D ĐÁP ÁN Dạng Dựng tam giác 1-D 2-C 3-C Câu 1) Phân tích: Giả sử dựng tam giác ABC thoả mãn đầu bài, ta thấy: - Cạnh đáy BC 5cm, B;10cm C;10cm ta dựng - Điểm A thoả mãn điều kiện giao điểm hai đường tròn 2) Cách dựng: - Dựng đoạn thẳng BC 5cm - Dựng đường tròn (B;10cm), (C;10cm) - A giao điểm hai đường tròn - Dựng hai đoạn thẳng AB, AC 3) Chứng minh: Thật vậy, theo cách dựng tam giác ABC có: AB AC 10cm nên tam giác ABC tam giác cân A, có cạnh đáy BC = 5cm (thỏa mãn đề bài) 4) Biện luận: Bài toán ln có nghiệm hình Trang Câu - Dựng góc xAy 50 - Dựng đường trịn (A;12cm) cắt Ax B - Dựng đường tròn (A;15cm) cắt Ay C - Nối BC tam giác ABC tam giác phải dựng Câu - Dựng BEC có BE BC 5cm, EC 4cm - Từ B dựng tia Bx // EC - Dựng đường tròn (C;7cm), đường tròn cắt tia Bx A - Từ A dựng tia Ay // BE cắt đường thẳng EC D Ta tứ giác ABCD hình thang cân phải dựng Dạng Dựng hình thang 1-B 2-A Câu 1) Phân tích: 60 Giả sử dựng hình thang cân ABCD có CD 7cm; AC 6,5cm; D Nối AC, tam giác ACD hoàn toàn dựng Điểm B thoả mãn hai điều kiện: - Nằm đường thẳng qua A song song với CD - Nằm Cy góc DCy 60 , nằm nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ đường thẳng chứa cạnh DC 2) Cách dựng: - Dựng tam giác ACD : + Dựng đoạn thẳng CD 7cm + Dựng góc CDx 60 + Dựng đường tròn (C;6,5cm) cắt tia Dx A - Dựng tia Az song song với CD - Dựng góc DCy 60 - B giao điểm Az Cy ABCD hình thang cần dựng 3) Chứng minh: D 60 Tứ giác ABCD hình thang cân AB // CD C 60 thoả mãn điều kiện tốn Hình thang ABCD có CD 7cm; AC 6,5cm; D 4) Biện luận: Ta ln dựng hình thang cân thoả mãn yêu cầu toán Bài toán có hai nghiệm hình Vì đường trịn (C;6,5cm) cắt tia Dx hai điểm Trang Câu - Dựng góc xDy 60 , tia Dy lấy điểm C cho DC 5cm - Dựng đường tròn (C;7cm), đường tròn cắt tia Dx A - Dựng Az song song với Dy Az nằm nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ đường thẳng AD - Dựng đường trịn (D;7cm), cắt tia Az B Thì tứ giác ABCD hình thang cân cần dựng Trang