Bài 5 hệ thức vi ét và ứng dụng

CHƯƠNG BÀI 5: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG MỤC TIÊU  Kiến thức + Phát biểu định lí Vi-ét + Nắm vững ứng dụng hệ thức Vi-ét: +) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai trường hợp a  b  c 0; a  b  c 0 trường hợp mà tổng tích hai nghiệm số ngun +) Tìm hai số biết tổng tích chúng  Kỹ + Viết hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai + Biểu diễn biểu thức đối xứng hai nghiệm qua tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai + Vận dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm, tìm hai số biết tổng tích; tìm tham số thỏa mãn điều kiện cho trước I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Vi-ét Nếu x1 ; x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c 0 Chú ý: Phương trình  a 0  b   x1  x2  a  a 0    x x  c  a ax  bx  c 0 phải có nghiệm có hệ thức Vi-ét Ví dụ 1: Phương trình x  x  0 vô  x1  x2  nghiệm nên không tồn   x1.x2 1 Ứng dụng hệ thức Vi-ét 1) Nhẩm nghiệm phương trình ax  bx  c 0  a 0  (1) + Nếu phương trình (1) có hệ số a, b, c thỏa mãn: Ví dụ 2: Xét phương trình x  x  0 Vì a  b  c 1   0 nên phương trình có hai nghiệm   a  b  c 0 phương trình (1) có hai nghiệm c x1 1; x2  a  a  b  c 0 phương trình (1) có hai nghiệm x1  1; x2  c a Trong phương trình trên, ta có: Trang + Nếu phương trình (1) có b c b c m  n mn với       ;      a a a a m, n   x1 m; x2 n hai nghiệm phương trình Suy x1 1; x2  hai nghiệm phương trình cho 2) Tìm hai số biết tổng tích chúng Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình x  Sx  P 0 Điều kiện để có hai số S  P 0 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Phương pháp giải Bước Tính Δ (hoặc  ) chứng tỏ  0 (hoặc Ví dụ: Cho phương trình x  x  0  0 ) Từ áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có S  x1  x2  b c P x1.x2  a a Bước Biến đổi biểu thức đối xứng nghiệm đề làm xuất tổng x1  x2 tích x1.x2 sau áp dụng kết bước Ta có  41  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x2 3; x1.x2  +) x12  x22  x1  x2   x1 x2 9     25 1 x12  x22 25 25  +)   2  x1 x2 x1 x2   8 64 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Khơng giải phương trình, tính tổng tích nghiệm phương trình sau: a)  x  22 x  12 0 b) x  x  0 Hướng dẫn giải Trang 2 a) Vì  11    3   12  85  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 22 22  12  ; x1 x2  4 3 3 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1  x2  b) Ta có      5.1 16  11  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 8  ; x1 x2  5 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1  x2  Ví dụ 2: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x  x  0 Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: 2 a) A x1  x2 c) C  2 b) B x1 x2  x1 x2 1  x1 x2 d) D  x2 x1  x1 x2 Hướng dẫn giải Ta có      4.1.3 25  12 13  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 5   x1  x2  5 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:   x x  3  2 a) A  x12  x22  x1  x2   x1 x2 52  2.3 25  19 2 b) B  x1 x2  x1 x2 x1 x2  x1  x2  3.5 15 c) C  1 x1  x2    x1 x2 x1 x2 x x x  x22  x1  x2   x1 x2 52  2.3 19 d) D       x1 x2 x1 x2 x1 x2 3 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 , x2 hai nghiệm phương trình (nếu có) Khơng giải phương trình điền vào chỗ trống a) x  x  0 ,   , x1  x2  , x1 x2  b)  x  x  0 ,   , x1  x2  , x1 x2  c) x  x  0 ,   , x1  x2  , x1 x2  d) 3x  x  0 ,   , x1  x2  , x1 x2  Câu 2: Không giải phương trình, tính tổng tích nghiệm phương trình sau: Trang a) x  10 x  0 b) x  11x  0 c) x  x  0 d) x  12 x  0 Câu 3: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x  x  0 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: 2 a) A x1  x2 3 b) B x1  x2 c) C  x1  x2 d) D  1  x1  x2  Bài tập nâng cao Câu 4: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x  x  0 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: a) A  x1  x2   x2  x1  b) B  x2 x  x1  x2  4 c) C x1  x2 d) D  x1  x2   x1 x2 Dạng 2: Giải phương trình cách nhẩm nghiệm Phương pháp giải Xét phương trình ax  bx  c 0  a 0  c - Nếu phương trình có a  b  c 0 phương trình có nghiệm x1 1 , nghiệm x2  a - Nếu phương trình a  b  c 0 phương trình có nghiệm x1  , nghiệm x2  - Nếu phương trình có  c a b c m  n; mn với m, n   x1 m; x2 n hai nghiệm phương a a trình Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Sử dụng định lí Vi-ét tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x  x  0 b) x  x  14 0 c) x  x  0 d) x  x  10 0 Hướng dẫn giải a) Phương trình có a  b  c 1   0 nên phương trình có nghiệm c x1 1; x2   4 a b) Phương trình có a  b  c 5   14 0 nên phương trình có nghiệm c  14 x1 1; x2   a c) Phương trình có a  b  c 5   0 nên phương trình có nghiệm Trang x1  1; x2  d) Vì  7  c  a b c ; 2.5 10  nên x1 2; x2 5 hai nghiệm phương a a trình x  x  10 0 Ví dụ 2: Cho phương trình x  mx  m  0 Chứng minh phương trình ln có nghiệm khơng phụ thuộc vào m Tìm nghiệm cịn lại Hướng dẫn giải Ta có a  b  c 1    m   m  0 Suy phương trình ln có nghiệm x 1 khơng phụ thuộc vào m c m m  Nghiệm lại x2   a Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Xét tổng a  b  c a  b  c tính nhẩm nghiệm phương trình sau a) x  x  0 b) 3x  x  0 c) x  x  0 d)  3x    x  0 Câu 2: Sử dụng định lí Vi-ét tính nhẩm nghiệm phương trình sau a) x  10 x  0 b) 24 x  11x  35 0 c) 2019 x  11x  2030 0 d) x  x  20 0 Bài tập nâng cao Câu 3: Cho phương trình  x  2mx  2m  0 Chứng minh phương trình ln có nghiệm khơng phụ thuộc vào m Tìm nghiệm cịn lại Câu 4: Cho phương trình  m  1 x   2m   x  m  0 với tham số m a) Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x 2 Tìm nghiệm cịn lại b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm khơng phụ thuộc tham số m c) Tìm nghiệm phương trình cho theo tham số m Dạng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng Phương pháp giải Để tìm hai số x, y biết tổng S  x  y tích P x y , Ví dụ: Tìm hai số u v biết u  v 19; u.v 60 ta làm sau Bước Xét điều kiện để có hai số S  P 0 Ta có Khi x, y nghiệm phương trình X  SX  P 0 S  P 19  4.60 361  240 121  nên u, v hai nghiệm phương trình X  19 X  60 0 Trang Bước Giải phương trình kết luận    19   4.1.60 361  240 121  Phương trình có hai nghiệm phân biệt 19  121 19  11 X1   15 ; 2.1 19  121 19  11 X2   4 2.1 u 15 u 4 Vậy   v 4 v 15 Ví dụ mẫu Ví dụ: Tìm hai số u v biết u  v 14; u.v 24 Hướng dẫn giải Ta có S  P  14   4.24 196  96 100  nên u, v hai nghiệm phương trình X  14 X  24 0  7  1.24 49  24 25  Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt X1   25  25 2; X  12 1 u 2 u 12 Vậy   v 12 v 2 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Tìm hai số u v trường hợp sau a) u  v 12, uv 35 b) u  v  15, uv 54 Câu 2: Tìm hai số x y trường hợp sau a) x  y 2 x y  b) x  y  x y  10 Bài tập nâng cao Câu 3: Tìm hai số u v trường hợp sau a) u  v 9, uv 90 b) u  2v  17, uv 240 Câu 4: Tìm hai số x y biết a) x  y 20 x y 8 b) x  y 35 x  y 625 Dạng 4: Phân tích ax  bx  c thành nhân tử Phương pháp giải Ví dụ: Phân tích đa thức 3x  x  thành nhân tử Trang Hướng dẫn giải Phương trình 3x  x  0 có a  b  c 0 nên Bước Giải phương trình ax  bx  c phương trình có nghiệm x1 1; x2  Bước Nếu phương trình ax  bx  c 0  a 0  Suy ra: có hai nghiệm x1 , x2 phân tích thành nhân tử sau: 1  3x  x  3  x  1  x    x  1  3x  1 3  ax  bx  c a  x  x1   x  x2  Ví dụ mẫu Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x  x  b) 30 x  x  34 c) 3x  x  d) x  x  Hướng dẫn giải a) Phương trình x  x  0 có a  b  c 1   0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2 6 Suy x  x   x  1  x   b) Phương trình 30 x  x  34 0 có a  b  c 30        34  0 nên phương trình có nghiệm x1  1; x2   34 17  30 15 17   Suy 30 x  x  34 30  x  1  x    x  1  30 x  34  15   c) Phương trình 3x  x  0 có a  b  c 3   0 nên phương trình có nghiệm x1  1; x2  2  Suy 3x  x  3  x  1  x    x  1  3x   3  d) Phương trình x  x  0 có a  b  c 2      0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2  5  Suy x  x  2  x  1  x    x  1  x   2  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x  19 x  12 b) 21x  x  26 Trang c) x  x  d) x  x  Câu 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x    3 x   b) x   x    d)  x  3x   c) x  x  Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x  x  b) x  x  c) 3x  x  d) 12 x  x  Dạng 5: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Phương pháp giải Ví dụ: Lập phương trình bậc hai có nghiệm  Hướng dẫn giải Bước Tính tổng hai nghiệm S  x1  x2 tích Ta có tổng S 8    3 5 ; tích P 8   3  24 hai nghiệm P x1 x2 S  P 25    24  121  Bước Thử điều kiện S  P 0 Vậy  nghiệm phương trình Bước Áp dụng định lí đảo định lí Vi-ét X  X  24 0 Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 là: X  SX  P 0 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm   Hướng dẫn giải Ta có S x1  x2 1      2; P x1 x2      2 Lại có S  P 2     4  12  Vậy   hai nghiệm phương trình X  X  0 Ví dụ 2: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  x  0 Khơng giải phương trình thiết lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 x1  x2  Hướng dẫn giải Ta có ac 2     nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Trang   x1  x2  Theo định lí Vi-ét ta có:   x1 x2  2 1 x1  x2      Khi S  x1  x2  x1 x2   x1  x2      P 1 1    x1  x2  x1 x2   x1  x2      2   1    73 Lại có S  P            81 2 2 Vậy phương trình bậc hai cần lập x  x  0  x  x  0 9 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm a)  B)   Câu 2: Cho phương trình x  x  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 2x1  x2 2x2  x1 Câu 3: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình 3x  x  0 Khơng giải phương trình lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x2  1 x1  x1 x2 Câu 4: Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình x  x  0 Khơng giải phương trình lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2 x2  x1  Bài tập nâng cao Câu 5: Cho phương trình x  x  3m 0 a) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 x12 x22 b) Với điều kiện m tìm câu a), lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x2 x1 Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 , x2 khơng phụ thuộc tham số Phương pháp giải Ví dụ: Cho phương trình x  mx  m 0 (1) Bước Tìm điều kiện để phương trình có hai Phương trình cho có hai nghiệm nghiệm (phân biệt) x1 , x2    m  4m 0 Trang Bước Sử dụng hệ thức Vi-ét, tính tổng S tích P theo tham số  x1  x2 m Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2 m Bước Khử tham số từ S, P để có hệ thức Suy x  x x x hệ thức không phụ thuộc 2 S, P (tức hệ thức x1 , x2 ) không phụ vào m thuộc vào tham số Ví dụ mẫu Ví dụ: Cho phương trình x   m   x  2m  0 (m tham số) a) Tìm điều kiện m đê rphwong trình có hai nghiệm x1 , x2 b) Với m tìm trên, tìm biểu thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m Hướng dẫn giải a) Ta có     m     1 2m   m  4m   2m  m  6m    m  3   với m Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m  x1  x2 2m  b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có   x1 x2 2m   x1  x2  2m  x1  x2   x1 x2   x1  x2  x1 x2 3 Suy  x x   m  Vậy hệ thức cần tìm x1  x2  x1 x2 3 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho phương trình x   m   x  2m 0 a) Với giá trị tham số m, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ? b) Khi đó, tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m Câu 2: Cho phương trình x   2a  1 x  4a  0 (a tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc vào a Câu 3: Cho phương trình x   2m  1 x  m  0 (m tham số) a) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Với m tìm trên, tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m Bài tập nâng cao Câu 4: Cho phương trình mx   m  1 x  m  0 Trang 10