Bài 3 bất phương trình bậc nhất một ẩn

BÀI 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa bất phương trình bậc ẩn + Nắm quy tắc biến đổi bất phương trình  Kĩ + Giải bất phương trình bậc ẩn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Bất phương trình dạng ax  b   ax  b  0, ax  b 0, ax  b 0  a b hai số cho, a 0 gọi bất phương tình bậc ẩn Ví dụ: x   bất phương trình bậc ẩn Hai quy tắc biến đổi bất phương trình a) Quy tắc chuyển vế Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta đổi dấu hạng tử Ví dụ: x    x   b) Quy tắc nhân với số Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: - Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương - Đổi chiều bất phương trình số âm Ví dụ: x     x  1  x      x  1  II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Nhận dạng bất phương trình bậc Phương pháp giải Nhận dạng bất phương trình bậc dựa vào định nghĩa Bất phương trình dạng ax  b  (hoặc ax  b  0, ax  b 0, ax  b 0 ) a b hai số cho, a 0 , gọi bất phương trình bậc ẩn Ví dụ: Trong bất phương trình sau, bất phương trình bất phương trình bậc ẩn? a) x   b) x  x  c)  x  1  x  Hướng dẫn giải a) Bất phương trình: x   bất phương trình bậc ẩn với a 2 b 2 b) Bất phương trình: x  x  khơng phải bất phương trình bậc ẩn đa thức x  x có bậc c) Ta có:  x  1  x   x   x    Vậy  x  1  x  bất phương trình bậc ẩn bất phương trình khơng chứa biến x Ví dụ mẫu Ví dụ Trong bất phương trình sau, bất phương trình bất phương trình bậc ẩn? Trang b)  x  1  x  a) x  c)  x    x  x    Hướng dẫn giải a) Bất phương trình: x  bất phương trình bậc ẩn với a 1 0 b) Ta có:  x  1  x   x   x    x  Vậy  x  1  x  bất phương trình bậc ẩn với a  0 2 c) Ta có:  x    x  x      x  x     x  x    x2  8x   x2  8x    Vậy  x    x  x    khơng phải bất phương trình bậc ẩn Ví dụ Tìm m để bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn a) 2mx  2 x  b) mx  3mx  x  x  Hướng dẫn giải a) Xét bất phương trình 2mx  2 x   2mx   x  0   2m   x  0 Để bất phương trình bất phương trình bậc ẩn thì: 2m  0  2m 2  m 1 b) Xét bất phương trình mx  3mx  x  x   mx  3mx  x  x  0   m  1 x   3m   x  0 Để bất phương trình bất phương trình bậc ẩn thì: m  0 3m  0 Xét m  0  m 1 Xét 3m  0  3m   m  2 Vậy với m 1 bất phương trình mx  3mx  x  x  bất phương trình bậc ẩn Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong bất phương trình sau, bất phương trình bất phương trình bậc nhất? a) x   b)  x  1  x   x c)  d)  x  1   x  1  Dạng Kiểm tra x = a có nghiệm bất phương trình Phương pháp giải Giá trị x x0 nghiệm bất phương trình f  x   g  x  thay x x0 vào hai vế bất phương trình thỏa mãn f  x0   g  x0  Trang Ví dụ: Trong giá trị sau x 1, x 6, x 5 giá trị nghiệm bất phương trình  x  1  x  ? Hướng dẫn giải Xét bất phương trình:  x  1  x  Với x 1   1  2.1     (vơ lí) Vậy x 1 khơng phải nghiệm bất phương trình  x  1  x  Với x 6   1  2.6    (luôn đúng) Vậy x 6 nghiệm bất phương trình  x  1  x  Với x 5   1  2.5    (vơ lí) Vậy x 5 khơng phải nghiệm bất phương trình  x  1  x  Ví dụ mẫu Ví dụ Trong bất phương trình sau, bất phương trình nhận x 2 nghiệm? a)  x  1  x  1 0 c) b) 3x   x  x 2x   1 2 hướng dẫn giải a) Xét bất phương trình:  x  1  x  1 0 Với x 2 ta có:  2.2  1   1 0  0 (luôn đúng) Vậy x 2 nghiệm bất phương trình  x  1  x  1 0 b) Xét bất phương trình: 3x   x  Với x 2 ta có: 3.2   2.2   6 (luôn đúng) Vậy x 2 nghiệm bất phương trình 3x   x  c) Xét bất phương trình: Với x 2 ta có: x 2x   1 2 2.2  15  1    (vơ lí) 4 Vậy x 2 nghiệm bất phương trình x 2x   1 2 Bài tập tự luyện dạng Câu Trong giá trị x 1, x 2 x  , giá trị nghiệm bất phương trình sau? a) x   x  b) x  x  1   x     Câu Cho bất phương trình m  x  1  x  Tìm m để bất phương trình nhận x 1 nghiệm Dạng Giải bất phương trình Phương pháp giải Bất phương trình bậc ẩn bất phương trình có dạng ax  b  Trang (hoặc ax  b  0, ax  b 0, ax  b 0 ) với  a 0  Để giải bất phương trình ta làm sau: + Thực quy tắc biến đổi bất phương trình (quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân với số) + Dựa vào số nhận xét bản: x 0  x 0 x 0  x 0 + Đưa bất phương trình bất phương trình bậc ẩn + Giải bất phương trình bậc ẩn Ví dụ: Giải bất phương trình sau: a) 3x   b) x 1  0 c)  x  1  x  x  1 0 Hướng dẫn giải a) Ta có: 3x    x    3x   x2   Vậy tập nghiệm bất phương trình xx  b) Ta có:  x  1 x 1  0   0 4  4x   0 4  4x   0  x 1 0  x  0  x 1  1  Vậy tập nghiệm bất phương trình  xx   4  c) Ta có:  x  1  x  x  1 0  x  x    x  x  0  x  x   x  x 0  x  0  x  Trang   Vậy tập nghiệm bất phương trình xx  Ví dụ mẫu Ví dụ Giải bất phương trình sau: b)  x  1   x    a) 3x  4  x c) x  x  1   x  1 0 d) x 3 x2  1 2 Hướng dẫn giải a) Ta có: 3x  4  x  3x    x 0  x  0  x 6  x 6  Vậy tập nghiệm bất phương trình  xx   5  b) Ta có:  x  1   x     x    x     6x   2x    4x    4x    x 7  7  Vậy tập nghiệm bất phương trình  xx   4  c) Ta có: x  x  1   x  1 0  x  x   x  x  1 0  x  x  x  x  0  x  0  x 2  x 2  Vậy tập nghiệm bất phương trình  xx   5  d) Ta có:  x 3 x2  1 2 3  x  3  x   12    6 6   x  3    x    12  x    x   12 Trang  3x   x   3x  x     x   11   Vậy tập nghiệm bất phương trình xx   11 Ví dụ Giải bất phương trình sau: a)  x  1 b)    x    x    x  3 0 c)  x    x  3  d) x 1 0 2 x Hướng dẫn giải a) Xét bất phương trình  x  1  x  3 0 Ta thấy  x  1  với x x Do đó, ta có:    x    x     x    x  x  Do đó, ta có:  x  1  x  3 0  x  0  x 3  3  Vậy tập nghiệm bất phương trình  xx   2  b) Xét bất phương trình    x    x   Ta thấy:  x 0  x       x   x    2  Vậy tập nghiệm bất phương trình  xx   5  c) Xét bất phương trình  x    x  3  Trường hợp 1: x   x   Ta có: x2 0  x   2x    2x   x  3  Tập hợp giá trị x thỏa mãn trường hợp là:  x   x   2  Trường hợp 2: x   x   Ta có: x2 0  x   2x    2x   x  Kết hợp giá trị x trường hợp 2, ta thấy khơng có x thỏa mãn Trang 3  Vậy tập nghiệm bất phương trình  x   x   2  d) Xét bất phương trình x 1 0 2 x Trường hợp 1: x    x  Ta có: x 1   x   2 x 0   x   Tập hợp giá trị x thỏa mãn trường hợp là: x   x  Trường hợp 2: x    x  Ta có: x 1   x   2 x 0  2 x Kết hợp giá trị x trường hợp 2, ta thấy khơng có x thỏa mãn x 1  x   x  2 x  Vậy tập nghiệm bất phương trình  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Giải bất phương trình sau: b)  x  1    x   a) x   c) x  x  x  2 x 1    d)  x  1  x  x  1  x  Câu Giải bất phương trình sau: a)  x  3   x  3  b) x 0 x 1 c) x  x   Bài tập nâng cao Câu Giải bất phương trình sau: a) x  x  x  14 x  13    2019 2018 2006 2007 b) x 1 x  x    3 1998 1999 2000 Câu Giải bất phương trình  2m  1 x  2m   theo tham số m Dạng Một số toán đố Phương pháp giải Bước Gọi ẩn x cần tìm, tìm điều kiện cho x Bước Dựa vào đề thiết lập mối quan hệ ẩn với đại lượng biết, chưa biết Bước Thiết lập bất phương trình dựa vào mối quan hệ theo yêu cầu đề Bước Giải bất phương trình Bước Kết luận u cầu tốn Trang Ví dụ: Bạn Dũng có tờ tiền Việt Nam chưa rõ mệnh giá Biết mệnh giá tờ tiền nhân với nhỏ 160 000 nhân với lớn 90 000 Hỏi bạn Dũng có tờ tiền mệnh giá bao nhiêu? Hướng dẫn giải Gọi mệnh giá tờ tiền bạn Dũng có x (đồng) với x thuộc tập hợp S  200;500;1000; 2000;5000;10000; 20000;50000  (các mệnh giá tiền Việt Nam đồng) Vì mệnh giá tờ tiền bạn Dũng có nhân nhỏ 160 000 (đồng) nên ta có bất phương trình: 3x  160000  x  160000 (1) Mặt khác, mệnh giá tờ tiền bạn Dũng có nhân lớn 90 000 (đồng) nên ta có bất phương trình: x  90000  x  90000 (2) Kết hợp (1) (2), ta được: 90000 160000 160000 x  45000  x  3 Vậy mệnh giá tờ tiền mà bạn Dũng có 50 000 (đồng) Ví dụ mẫu Ví dụ Trong kì thi, bạn Xn Hương thi bốn mơn Tốn, Văn, Anh, Sử Xn Hương thi ba môn kết sau Mơn Tốn Anh Sử Điểm Kì thi quy định muốn đạt giải phải có điểm trung bình mơn từ trở lên khơng mơn bị điểm Biết mơn Văn, Tốn tính hệ số Hãy cho biết, để đạt giải bạn Xn Hương phải có điểm mơn Văn bao nhiêu? Biết điểm tối đa môn 10 điểm Hướng dẫn giải Gọi x điểm thi môn Văn bạn Xuân Hương   x 10  Điểm trung bình mơn thi bạn Xuân Hương là:  x  2.9    :  x  31 Theo đề bài, để bạn Xuân Hương đạt giải điểm trung bình mơn phải từ trở lên, nên ta có bất phương trình: x  31 8  x  31 48  x 17  x 8,5 Vậy để đạt học sinh giỏi bạn Xuân Hương cần 8,5 điểm mơn Văn Bài tập tự luyện dạng Câu Bạn Huy mẹ cho 100 000 đồng mua bút Biết giá 10 000 đồng, bút 5000 đồng Biết mẹ bạn Huy yêu cầu bạn Huy mua Hỏi bạn Huy mua nhiều bút? Trang ĐÁP ÁN Dạng Nhận dạng bất phương trình bậc Câu a) x   bất phương trình bậc ẩn với a 2, b  b) Xét bất phương trình  x  1  x   x  3x   x   x  3x  3x       (vơ lí) Vậy bất phương trình  x  1  x   x bất phương trình bậc c)  khơng phải bất phương trình bậc a 0 2 2 d) Xét bất phương trình  x  1   x  1   x    x  x 1   4x2   x2  4x      4x   2 Vậy bất phương trình  x  1   x  1  bất phương trình bậc ẩn với a  b  Dạng Kiểm tra x = a có nghiệm bất phương trình Câu a) Xét bất phương trình x   x  Với x 1   2.1     (luôn đúng) Vậy x 1 nghiệm bất phương trình x   x  Với x 2   2.2     (luôn đúng) Vậy x 2 nghiệm bất phương trình x   x  Với x       1      (luôn đúng) Vậy x  nghiệm bất phương trình x   x  b) Xét bất phương trình x  x  1   x     Với x 1   1          (vơ lí) Vậy x 1 nghiệm bất phương trình x  x  1   x     Với x 2   1          (vơ lí) Vậy x 2 khơng phải nghiệm bất phương trình x  x  1   x     Với x    1    1              (luôn đúng) Vậy x  nghiệm bất phương trình x  x  1   x     Câu Xét bất phương trình: m  x  1  x  Vì x 1 nghiệm bất phương trình nên thay x 1 vào bất phương trình cho, ta được: m   1  2.1   2m    2m   m  Trang 10 Vậy với m  bất phương trình m  x  1  x  nhận x 1 nghiệm Dạng Giải bất phương trình Bài tập Câu a) Xét bất phương trình x    x   x  7  Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  xx   2  b) Xét bất phương trình  x  1    x    x    x   x  3x     x  12  x 12 12   Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  xx   5  c) Xét bất phương trình  x  x  x  2 x 1     x  1  x   x  2  x  1    6 6   x  1   x    x    x  1  x    3x    x    x    x   3x   x   x   x  3x  x  x      4x   x2   Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  xx  d) Xét bất phương trình  x  1  x  x  1  x    x  x  1   x  x   x   2x2  x   2x2  x  5x     (vơ lý) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  Câu 2 a) Xét bất phương trình  x  3   x  3    x  3  x       x    x  1  Trường hợp 1: x   x   Ta có: x 3   x   Trang 11 x 1   x       Vậy tập nghiệm bất phương trình thỏa mãn trường hợp S  xx   Trường hợp 2: x   x   Ta có: x 3   x   x 1   x   Vậy tập nghiệm bất phương trình thỏa mãn trường hợp S  xx     Vậy tập nghiệm bất phương trình S  xx   3, x   b) Xét bất phương trình x 0 x 1 Trường hợp 1: x   x   Ta có: x 20 x 2 x 1   x    x  1   Vậy tập nghiệm bất phương trình thỏa mãn trường hợp S  xx  Trường hợp 2: x   x   Xét: x 20 x 2 x 1   x    x  1  1  Vậy tập nghiệm bất phương trình thỏa mãn trường hợp S  xx   2   1  Vậy tập nghiệm bất phương trình S1  xx   S  xx  2    c) Xét bất phương trình x  x    x  3x  x    x  x  3   x  3    x  1  x  3  Trường hợp 1: x   x   Ta có: x 30  x 3 x    x 1 Vậy khơng có nghiệm thỏa mãn trường hợp Trường hợp 2: x   x   Ta có: Trang 12 x 30 x 3 x    x 1   Vậy tập nghiệm bất phương trình thỏa mãn trường hợp S  x  x    Vậy tập nghiệm bất phương trình S  x  x  Bài tập nâng cao Câu a) Xét bất phương trình: x  x  x  14 x  13    2019 2018 2006 2007  x 1 x2 x  14 x  13 1  1  1 1 2019 2018 2006 2007  x  2019 x  2018 x  14 2006 x  13 2007        2019 2019 2018 2018 2006 2006 2007 2007  x  2020 x  2020 x  2020 x  2020    2019 2018 2006 2007 1     x  2020       0  2019 2018 2006 2007  Vì 1  1 1         nên  x  2020    0 2019 2018 2006 2007  2019 2018 2006 2007   x  2020   x   2020   Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  xx   2020 b) Xét bất phương trình: x 1 x  x    3 1998 1999 2000  x 1 x2 x3  1  1  1 1998 1999 2000  x  1998 x  1999 x  2000      0 1998 1998 1999 1999 2000 2000  x   1998 x   1999 x   2000   0 1998 1999 2000  x  1997 x  1997 x  1997   0 1998 1999 2000 1     x  1997     0  1998 1999 2000  Vì 1  1       nên  x  1997      x  1997   x  1997 1998 1999 2000  1998 1999 2000    Vậy tập nghiệm bất phương trình S  xx  1997 Câu Xét bất phương trình  2m  1 x  2m    * Trang 13 Xét: 2m  0  m     1   1 x   2   Vậy với m  1 bất phương trình vơ nghiệm 1 1 2m  (*)   2m  1 x  2m   x  2m  Vậy với m   2m   1 S  x  x  bất phương trình có tập nghiệm   2m    Xét 2m    m  Với m  1 5   1 2      20  (vơ lí)   Xét 2m    m  Với m  1 thay vào bất phương trình (*) được: 1 1 2m  (*)   2m  1 x  2m   x  2m   2m   1 Vậy với m  bất phương trình có tập nghiệm S  xx   2m    Dạng Một số toán đố Câu * Gọi số bút mà bạn Huy mua nhiều x (cái)   x  20; x    Số tiền bạn Huy dùng để mua x bút là: 5000.x (đồng) Số tiền bạn Huy dùng để mua 100 000  5000.x (đồng) Vì có giá 10 000 đồng nên số bạn Huy mua 100 000  5000.x x 10  10 000 Mẹ bạn Huy yêu cầu mua nên 10   x 6 20 x 12   2  20  x 12   x   x 8 Vậy bạn Huy mua nhiều bút Trang 14 Trang 15