Bài 4 phương trình chứa ẩn ở mẫu

BÀI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm điều kiện xác định phương trình chứa ẩn mẫu + Trình bày bước giải vận dụng thành thạo giải phương trình chứa ẩn mẫu  Kĩ + Biết cách tìm điều kiện xác định phương trình chứa ẩn mẫu + Biết cách giải phương trình chứa ẩn mẫu + Biết cách sử dụng số thuật ngữ liên quan đến phương trình, biết dùng chỗ, lúc kí hiệu tương đương "  " Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Điều kiện xác định phương trình Điều kiện x để tất mẫu thức có Ví dụ: x 1   x 0 x2 x Điều kiện xác định: x  2; x 1 phương trình khác Các bước giải phương trình chứa ẩn mẫu Bước Tìm điều kiện xác định phương trình Giải phương trình: x 3  0 x4 x Điều kiện xác định: x  4; x 0 Bước Quy đồng mẫu hai vế phương trình Quy đồng mẫu hai vế phương trình: khử mẫu Bước Giải phương trình vừa thu  x  3 x  x  0 x 3  0  x4 x x  x  4  x  x  0   x   0 Bước So sánh giá trị ẩn tìm bước với điều kiện xác định phương trình kết luận  x  x  thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Phương trình Phương trình tích chứa ẩn mẫu Phương trình đưa dạng phương trình bậc ẩn Cách giải Quy đồng mẫu khử mẫu Phương trình bậc ẩn II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp giải Muốn tìm điều kiện xác định phương trình, Ví dụ: Tìm điều kiện xác định phương trình: ta làm theo bước sau: 7x   5 x  x  x  x  1 Trang Bước Đặt điều kiện cho tất mẫu thức Bước Ta có: x  0 x 1 phương trình có giá trị khác x  x  1 0 x 1 x 0 Bước Giải điều kiện lấy tất kết tìm Bước Vậy điều kiện xác định phương trình x 1 x 0 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) 5x  4 x    x x 3 b) 5x  x  x    x  x  x  1 x Hướng dẫn giải a) Ta có: x  0 x 1 x  0 x  điều kiện xác định x 1 x  b) Ta có: x  0 x 1; x  x  1 0 x 0 x 1; x 0 x 0 Vậy điều kiện xác định x 0 x 1 Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x 7x   2019 x 1 x  3x  2 b)  x  1  1  x  x 1 x  Hướng dẫn giải a) Ta có: x   với giá trị x; x  x   x  1  x   0 x 1 x 2 b) Ta có:  x  1 0 x  1; 1  x  x   x     với giá trị x; 2  x  0 x 1 Vậy điều kiện xác định x  x 1 Sai lầm thường mắc: x 7x   2019 x 1 x  3x  2   x  1 x  2019 x   x  1  x   Trang  x  2019 x 1 x  2 Điều kiện xác định phương trình x 2 Chú ý: Phải tìm điều kiện trước rút gọn phân thức 1 1  Ví dụ Điều kiện xác định phương trình x  x x A x 0 B x  C với x D x 1 Hướng dẫn giải Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x2   x   x  1  x  1 ;   x  3  b)   x 1  x  Câu 2: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x 1 2x   3; x  x  3x c) x  x 1 b) x  4; x x2  x Câu 3: Xác định m để điều kiện xác định phương trình x2   x  x  2m x  x  Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn mẫu Phương pháp giải Muốn giải phương trình chứa ẩn mẫu ta thực bước sau: Bước Tìm điều kiện xác định Ví dụ: Giải phương trình: x2  6 x x2 Bước Ta có: x  0 x 1; x  0 x  Vậy điều kiện xác định x 1 x  Bước Quy đồng mẫu thức hai vế phương Bước trình khử mẫu thức Với điều kiện ta có phương trình:  x  1  x  2   x  1  x    x  1  x     x  1  x    x  1  x   Bước Giải phương trình   x     x  1 6  x  1  x   Bước Trang  x  x   x  6  x  x    x  x   x  6 x  x  12  x  x  0  x  10 x  x  0 Bước Tìm nghiệm đối chiếu điều kiện xác  x  x     x   0 định   x    x   0 Bước Viết tập nghiệm Bước  x 2 x  4 (thỏa mãn điều kiện) Bước Vậy tập nghiệm phương trình cho   S   ;    Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau: 2x  7; a) x x2  b)  x  x 1 Hướng dẫn giải a) Ta có: x  0 x 3 Điều kiện xác định x 3 Ta có: 2x  x   x  3 7    x  7 x  21 x x x  x  x  21    x  20  x 4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình cho S  4 b) Ta có: x  0 x  Điều kiện xác định x  Với điều kiện trên, ta có phương trình tương đương với: x2  x   x  3  x  1 x     x   x  3  x  1 x 1 x 1 x 1  x  x  x    x     x   x 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình cho S  1 Trang Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a)   ; x  x  1  x  1  x   x  x   b) 4x  x 1   x  x  x 1 x  Hướng dẫn giải a) Ta có: x  x  1 0 x 0 x 1;  x  1  x   0 x 1 x 2; x  x   0 x 0 x 2 Vậy điều kiện xác định phương trình x 0; x 1 x 2 Với điều kiện trên, ta có:   x  x  1  x  1  x   x  x     x    x  1 4x   x  x  1  x   x  x  1  x   x  x  1  x     x    x 9  x  1  x  12  x 9 x   x  x  x   12  x 3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình cho S  3 b) Ta có: x   x  1  x  x  1 Do x  x   0, x nên điều kiện xác định x 1 Ta có:  4x  x 1   x  x  x 1 x   x  x  1  x  1  x  x  1   x  1  x  1  5x2 1  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1   x  x  1   x  1  x  1 5 x   x  x   x  x  5 x   x  3x  0  x  x  x  0  x  x     x   0   x  1  x   0 Trang  x 1 (không thỏa mãn) x 2 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S  2 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Giải phương trình sau: a)  3 x x2 b)  x 0 x Câu 2: Giải phương trình sau: a) 5x   10  4 x2 x2 b) x  x 1   x x  x  x  1 b) 1 4   x2 x x  b) x 3 2 x2 1 Câu 3: Giải phương trình sau: a) 3  2 x x Câu 4: Giải phương trình sau: a) 2x  1 x  x  1 Câu 5: Cho biểu thức A  x2  5x  Giải phương trình A 2 x2  4x  Bài tập nâng cao Câu 6: Giải phương trình sau: 1    x  x  1  x  1  x    x    x  3 10 Dạng 3: Giải phương trình cách đặt ẩn phụ Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình: Bước Tìm điều kiện xác định phương trình x x 1   x 1 x Bước Ta có: x 0 x  0 x  Vậy điều kiện xác định x 0 x  Bước Đặt ẩn phụ đặt điều kiện cho ẩn phụ Bước (nếu có) Đặt t  Chú ý: Chỉ nên đặt điều kiện đơn giản Bước Giải phương trình mới, tìm ẩn phụ x điều kiện t 0 x 1 Bước Ta có phương trình: 2t 2 5t t      2t  5t t 2t 2t 2t Trang  2t  5t  0  2t  4t  t  0  2t  t     t   0   2t  1  t   0  2t  0 t  0 t Bước Tìm nghiệm phương trình đối chiếu (thỏa mãn) t 2 (thỏa mãn) Bước điều kiện xác định Với t  x   x x  ta có x 1  x 1 (thỏa mãn) Với t 2 ta có Bước Kết luận x 2  x 2 x  x 1  x  (thỏa mãn) Bước Vậy tập nghiệm phương trình cho S   2;1 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau: a) x2 1 2x  3 x x 1 b) x  3x   5 x  x  3x  Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định: x 0 Đặt t  x , điều kiện t 0 x 1 Ta có phương trình: 1 2t 3t  2t 3      2t 3t  2t  3t  0 t t t t  2t  2t  t  0  2t  t  1   t  1 0   t  1  2t  1 0  t 1 t  Với t 1 ta có x 1  x   x  x  x  0 x 1 Trang 2 1 1  x  .x        0  2  2 2 1    x    0 2  1  Ta có  x     với giá trị x nên phương trình vơ nghiệm 2  Với t  x   x  x   x  x  0 ta có 2 x 1 2   x  1 0  x 1 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S  1 b) Điều kiện xác định: x 2 Ta có x  3 x  2 3x   5  x    4 x  x  3x  x  x  3x   Đặt t  x  3x  3  x    4 x x  3x  x , điều kiện: t 0 x  3x  1 3t 4t Ta có phương trình  3t 4      3t 4t t t t t  3t  4t  0  3t  3t  t  0  3t  t  1   t  1 0   3t  1  t  1 0  t 1 t  Với t 1 ta có x 1  x  x  3x  x  3x   x  x  0  x  2.2.x   0   x    0 Ta có  x     với x 2 nên với t 1 phương trình vơ nghiệm Với t  x   x  x  3x  ta có x  3x  3 Trang  x  x  0   x  3 0  x 3 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S  3 Ví dụ Giải phương trình:  x  1 x 2  5 x Hướng dẫn giải Điều kiện xác định : x 0 Ta có  x  1 x2 Đặt t  2  x  1 1  6   x  1  x  6  5  x x2 x x2 x x x Ta có phương trình: t  t 6  t  t  0  t  2t  3t  0  t  t     t   0   t  3  t   0  t  t 2  Với t 2 ta có x 2  x  2 x  x  (thỏa mãn) x  Với t  ta có x 1   x   x  x 1  x  (thỏa mãn) x  1 Vậy tập nghiệm phương trình cho S   1;   4 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Giải phương trình: x   x  1  4 x x  x2 Bài tập nâng cao Câu 2: Giải phương trình sau: x  x  Câu 3: Giải phương trình sau: x   x  x x2  x 1 3 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số m để phương trình có nghiệm x = a Phương pháp giải Muốn tìm điều kiện tham số m để phương trình Ví dụ: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm x a , ta thực bước sau: Trang 10 2x  m  m   có nghiệm x 2 x x Bước Tìm điều kiện xác định Bước Ta có x  0 x 1 x 0 Bước Kiểm x a có thỏa mãn điều kiện khơng Vậy điều kiện xác định x 0 x 1 Bước Bước Thay x a vào phương trình tìm tham số Có x 2 (thỏa mãn điều kiện) Bước m Thay x 2 vào phương trình Ta có 2.2  m  m 2m    4m  2 2 2   2m  m   2   2m   m 3  3m   m Bước Kết luận 7 Bước Vậy m  7 phương trình có nghiệm x 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm tham số m để phương trình xm 3x  m có nghiệm x 1 x Hướng dẫn giải Điều kiện xác định x 0 Ta có x 1 (thỏa mãn điều kiện xác định) Thay x 1 vào phương trình ta được: 1 m 3.1  m   m 3  m  m 1 Vậy m 1 phương trình có nghiệm x 1 Ví dụ Cho phương trình ẩn x : x  a x  a 3a  2a   0 2x  a x  a 4x2  a Xác định a để phương trình có nghiệm x 1 Hướng dẫn giải Trang 11 2 Ta có x  a  x  a   x  a  Suy điều kiện xác định phương trình x  a a x  2 Vì x 1 nghiệm nên a 2 a  Thay x 1 vào phương trình ta  a  a 3a  a   0 (Điều kiện xác định: a 2 a  ) 2a 2 a  a2    a   a 3a  2a   0   a    a    a    a    a    a  2    a     a   3a  2a 0    a   a    a   a   3a  2a 0    2a     3a  2a 0  3a  8a  2a 0  3a  6a 0  3a  a   0  a 0 (thỏa mãn) a 2 (không thỏa mãn) Vậy a 0 phương trình có nghiệm x 1 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm tham số m để phương trình Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x  3m 6 x  m có nghiệm x 1 x x  a x  a 3a  a   0 x  a x  a x2  a2 Xác định a để phương trình có nghiệm x 1 Câu 3: Tìm tham số m để phương trình xm 2m  1 có nghiệm x  x 1 x Hướng dẫn giải tập tự luyện Bài tập tự luyện dạng Câu a) Ta có: x  0 x 1;  x  1 0 x 1;  x  1 0 x 1 Vậy điều kiện xác định x 1 b) Ta có: x  1 với x; Trang 12 x  0 x  Vậy điều kiện phương trình x  Câu a) x 1 2x  x 1 2x   3   3 x  x  3x  x  3 x  x  3 Điều kiện: x  0; x 0 suy x  3; x 0 b) x x  4   4 2x 2x  4x 2x 2x  x  2 Điều kiện: x 0; x  0 suy x 0; x 2 c) Ta có x  1  với x Điều kiện: với x Câu Ta có x  2m 0 x  2m; x  x  0 Mà x  x   x  1  2  , với x nên x  x  0 , với x Do điều kiện phương trình x  2m Vậy để điều kiện xác định phương trình x   2m   m 1 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu a) Điều kiện xác định x 0 Với điều kiện ta có  3  12  x 9 x  x 3 (thỏa mãn) x Vậy tập nghiệm phương trình S  3 b) Điều kiện xác định x 5 x2  x 0  x  x  x 0  x 0 (thỏa mãn) x Vậy tập nghiệm phương trình S  0 Câu a) Điều kiện xác định: x  5x   10  4  x   x   10  x 1 (thỏa mãn) x2 x2 Vậy tập nghiệm phương trình S  1 b) Điều kiện xác định: x 0, x 1 x  x 1     x    x  1  x  x  1 2 x x  x  x  1 Trang 13   x 0  x 0 (không thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S  Câu a) Điều kiện xác định: x 5 Rút gọn hai vế phương trình ta  0 (vơ lí) x Vậy tập nghiệm phương trình cho S  b) Điều kiện xác định: x  2; x 2 Quy đồng mẫu hai vế khử mẫu ta được:   (thỏa mãn với x thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình có nghiệm với giá trị x x  2; x 2 Câu a) Điều kiện: x 0; x 1 2x  2 1  1  x  x  0 x  x  1 x  x  1  x 1 (loại) x  (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S   2 b) Điều kiện: Với giá trị x x 3 2  x  2 x   x  x  0 x 1  x  x  x  0   x  1  x  1 0  x 1 x    Vậy tập nghiệm phương trình cho S   ;1   Câu Xét phương trình A 2  x2  5x  2 có điều kiện xác định x 2 x2  x  x  5x    x2  x   x  5x  A 2  2  0 x  4x  x2  4x     x  3x   x  2 0   x  1  x    x  2 0 Trang 14    x  1 0 x  x 1 Vậy tập nghiệm phương trình S  1 Bài tập nâng cao Câu Điều kiện xác định: x 0; x  1; x  2; x  1 1 1 1           x  x  1  x  1  x    x    x  3 10 x x  x  x  x  x  10  1    10  x  3  10 x 3 x  x  3 x x  10  10 x  30  10 x 3 x  x  x  x  30 0  x  x  10 0  x  x  x  10 0  x  x     x   0   x    x   0  x  0   x  0  x 2  (thỏa mãn)  x  Vậy tập nghiệm phương trình cho S  2;  5 Bài tập tự luyện dạng Câu Điều kiện: x 1 Phương trình biến đổi thành: Đặt t  x  x   x  1  4 x x  x2 x2  x  (điều kiện: t 0 ) x Ta có phương trình: t  4  t  4t  0 t  t 1 t 3 (thỏa mãn) x2  x   Với t 1 ta có 1  x  x  0 (vô nghiệm) x  Với t 3 ta có x2  x  3  x  x  0 (vô nghiệm) x Vậy tập nghiệm phương trình S  Bài tập nâng cao Câu 2 Ta có: x  x  x  x  1 Trang 15 Điều kiện xác định: x 0; x 1 Đặt t x  x (điều kiện t 0 ) Ta có phương trình t    t  2t  0  t 2 (thỏa mãn) t  (thỏa mãn) t  Với t 2 ta có x  1; x 2 (thỏa mãn)  Với t  ta thấy phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S   1; 2 Câu Điều kiện xác định: x  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với 2  x2   x2  x  x  x   x         0   x 1  x 1   x 1   x 1   x2   x2    1    0  x 1   x 1   x  x  0    x  3x  0  1  2 1 Giải (1): x  x  0  x  .x     0  2 2 1    x    0 2  5 x    2 2  x 1 1 x   x 2  3 Giải (2): x  x  0  x  .x     0  2 2 3    x    (vô nghiệm) 2       ; Vậy tập nghiệm phương trình cho S     Bài tập tự luyện dạng Câu Điều kiện xác định: x 0 Ta có x 1 (thỏa mãn điều kiện xác định) Thay x 1 vào phương trình ta được:  3m 6.1  m  m 1 Trang 16 Vậy với m 1 phương trình có nghiệm x 1 Câu Điều kiện xác định: x a x  a Vì x 1 nghiệm phương trình nên a 1 a  Thay x 1 vào phương trình ta  a  a 3a  a   0  3a  a  1 0  a 0 (thỏa mãn điều kiện) a 1 (không thỏa mãn)  a  a  a2 Vậy a 0 thỏa mãn yêu cầu toán Câu Điều kiện xác định: x  1; x 0 Ta thấy x  thỏa mãn điều kiện Thay x  vào phương trình ta được:  2m 2m  1    2m   m   m 0 1 2 Vậy m 0 phương trình có nghiệm x  Trang 17