Bài 2 phương trình đưa được về dạng ax + b=0

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax  b 0 Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày bước giải vận dụng thành thạo giải phương trình đưa dạng ax  b 0  Kỹ + Biết cách sử dụng số thuật ngữ liên quan đến phương trình, biết dùng chỗ, lúc kí hiệu tương đương ''  " + Biết cách sử dụng quy tắc chuyển vế quy tắc nhân vào giải phương trình, chứng minh phương trình tương đương, rèn kỹ giải phương trình, trình bày giải Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG ax  b 0 Bước 1: Quy đồng mẫu (nếu có) Bước 2: Khử mẫu Bước 3: Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế, số sang vế Bước 4: Thu gọn giải phương trình Bước 5: Kết luận Ví dụ: 5x  2 x 1 1  2  x     x  1   6  10 x  9  x  10  x 9   x 13 13  x 13  Vậy phương trình có tập nghiệm S   4 Chú ý: 1) Trong bước trên, sử dụng linh hoạt quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân với số 2) Trong vài trường hợp, để đưa phương trình dạng ax  b 0 , ta có cách giải khác đơn giản II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải số phương trình đơn giản Bài tốn Sử dụng bỏ ngoặc, chuyển vế, quy đồng mẫu đơn giản Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình  x  11  x  1  x     10 Hướng dẫn giải Bước 1: Thực phép tính để bỏ dấu ngoặc quy đồng mẫu thức hai vế, dùng quy tắc nhân để khử mẫu thức (nhân hai vế cho mẫu thức để khử mẫu thức) 5.3  x  11 4.3  x  1  2.2  x    20 20  15 x  165 12 x  12  x  20  15 x  12 x  x 165  12  20  11x 197  Bước 2: Dùng quy tắc chuyển vế để chuyển hạng 197 x 11 tử chứa ẩn sang vế, số sang vế  Bước 3: Thu gọn giải phương trình 197  Vậy tập nghiệm phương trình S    11  Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình Trang a) 4,3x   0,  x  4,  1, x x  3x 1  b) 2   13  c)  x   7    x  5    d)  x  1  x  x  1  x x  x  1  x  1 Hướng dẫn giải a) 4,3 x   0,  x  4,  1, x  4,3 x  1,  x 4,  1, x  4,3 x  1, x  x 4,  1, x 6  x 3  Phương trình có tập nghiệm S  3 b) x  3x 1    x   15    x   15 15  x  10 15   x  x  x 10  15     x 22 x  11  11  Phương trình có tập nghiệm S    2 2   13  c)  x   7    x  5    13  3x  7   x 5 13  x  x 7   5 35  13   4x  16  4x   x  4 Phương trình có tập nghiệm S   5 d)  x  1  x  x  1  x x  x  1  x  1 Trang  x   x  x  x  1  x3   x x  x  x  x3  x  x    x   x 1 Phương trình có tập nghiệm S  1 Bài toán 2: Giải số phương trình đặc biệt Phương pháp giải a) Đối với phương trình (ẩn x ) có dạng: Ví dụ: Giải phương trình x a x c x e x  g    b d f h x x x x    2011 2010 2009 2008 Hướng dẫn giải - Nếu a  b c  d e  f  g  h k , ta cộng phân thức thêm - Nếu a  b c  d e  f g  h k , ta cộng phân thức thêm -1 x x x x    2011 2010 2009 2008  x x x x  1  1  1 1 2011 2010 2009 2008  x   2011 x   2010  2011 2010 Sau quy đồng phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung Có thể mở rộng số phân thức nhiều tùy tốn ta cộng trừ số thích hợp   x   2009 x   2008  2009 2008 x  2012 x  2012 x  2012 x  2012    0 2011 2010 2009 2008 1     x  2012       0  2011 2010 2009 2008   x  2012 0  x 2012 Phương trình có tập nghiệm S  2012 b) Đánh giá: Phương trình có dạng A  x   B  x  0 , đó: Ví dụ: Giải phương trình x   x  0 Hướng dẫn giải A  x  0 B  x  0 Ta thấy x  0 ; x  0 nên VT 0 Do  A  x  0 Khi phương trình trở thành   B  x  0 phương trình trở thành :  x  0    x  0  x    x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   4 Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau a) x 5 x 4 x 3 x 2    2016 2017 2018 2019 b) x  12 x  10 x  x     21 23 25 27 c) x  19 x  13 x  x     Hướng dẫn giải x 5 x 4 x 3 x 2 x 5 x4 x 3 x2     1  1  1  1 a) 2016 2017 2018 2019 2016 2017 2018 2019  x  2021 x  2021 x  2021 x  2021    2016 2017 2018 2019 1     x  2021      0  2016 2017 2018 2019   x  2021 Vậy phương trình có tập nghiệm S   2021 b) x  12 x  10 x  x  x  12 x  10 x x      1  1  1 1 21 23 25 27 21 23 25 27  x  33 x  33 x  33 x  33    21 23 25 27 1   1   x  33      0  21 23 25 27   x 33 Vậy phương trình có tập nghiệm S  33 c) x  19 x  13 x  x  x  19 x  13 x 7 x 1     3 3  3 3 9 x  28 x  28 x  28 x  28     1 1 1   x  28       0 3 9   x  28  0  x  28 Vậy phương trình có tập nghiệm S   28 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Giải phương trình a)  x  1   x  1 3x   5  10 Trang b) x   x  1 3x   x  1  12 x    12 c) x  3x  2x  x    x  10 2 d) x  x    x 2  x    x  x   e)  x  3  x     3x    x   Bài tập nâng cao Câu 2: Giải phương trình sau a) x  81 x  82 x  84 x  85    19 18 16 15 b) 12  x 13  x 15  x 16  x     c) x4 x6 x x    11 12 d) x  x  x 1 x      10 0 Câu 3: Giải phương trình a) x  x   x  0 b) x  10 x  13 0 Hướng dẫn giải tập tự luyện dạng Câu 1: a)  3x  1   x  1 3x   5  10 b) x   x  1 3x   x  1  12 x    12  6x  x  3x   5  10  x  x  x   12 x    12   x  3  20.5  x     x    20 20   x  1   3x  3  x     12 x  12 12  30 x  15  100 24 x   x   x   x  2 x    12 x  30 x  24 x  x    15  100  x  x  x  12 x      12 x 73 73  x 12  73  Phương trình có tập nghiệm S   12  c)  x  3x  2x  x    x  10 6  x    x   30 x 10  x    x       30 30 30 30 30  x  12  x  Phương trình có tập nghiệm S   4 2 d) x  x    x 2  x    x  x    x  x    x 2  x   Trang   x  24  x   30 x 20 x  50  35 x  10  30 30  15 x  30  15 x  60  30 30  x  x  x    x 2 x3  16  x  x  x  x  x  16 0  x  16 0   15 x  30  15 x  60  x    30  60 Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 Vậy phương trình vơ nghiệm e)  x  3  x     x    x     x  3  x     x    x    x  x  12  x    x  8x  16  0  x  24 0  x 8 Vậy phương trình có tập nghiệm S  8 Câu a) x  81 x  82 x  84 x  85    18 16 15  x  81 x  82 x  84 x  85 1  1  1  1 19 18 16 15  x  100 x  100 x  100 x  100    19 18 16 15  1 1   x  100       0  19 18 16 15   x  100 Vậy phương trình có tập nghiệm S   100 b) 12  x 13  x 15  x 16  x      12  x 13  x 15  x 16  x 1  1 1  0  12   x 13   x 15   x 16   x    0  19  x 19  x 19  x 19  x    0  1 1   19  x       0  3  19  x 0  x 19 Trang Vậy phương trình có tập nghiệm S  19 c) x 4 x 6 x  x     11 12  x4 x 6 x x 2 2  2 2 11 12  x  20 x  20 x  20 x  20    11 12 1 1    x  20       0  11 12   x  20 Vậy phương trình có tập nghiệm S   20 d) x  x  x 1 x      10 0  x  x  x 1 x      10 0  x 3 x2 x 1 x2 1  2 3  0  x  10 x  10 x  10 x  10    0 1 1 1   x  10       0  2  x  10 0  x  10 Vậy phương trình có tập nghiệm S   10 Câu a) x  x   x  0   x    x  0  1 Nhận thấy  x   0 x  0 nên phương trình  1 tương đương với x  0  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 25   b) x  10 x 13 0   x  x    0    2 5   x    0 2  5 5 1   Nhận thấy  x   0   x      Do phương trình cho vô nghiệm 2 2 2   Vậy tập nghiệm phương trình S  Dạng 2: Một số ứng dụng phương trình Bài tồn Tìm điều kiện để biểu thức chứa ẩn mẫu xác định Trang Phương pháp giải Ví dụ: Tìm điều kiện x để giá trị phân thức xác định P Bước Liệt kê tất mẫu thức có chứa ẩn x  2019  x  1   x  1 biểu thức đặt điều kiện khác không Hướng dẫn giải Bước Lần lượt giải điều kiện tập Giá trị phân thức P xác định với hợp tất giá trị ẩn làm cho mẫu thức điều kiện : khác khơng điều kiện để biểu thức chứa ẩn  3x  1   x  1 0  x   x  0 mẫu xác định  x  x 2   x   x  Vậy điều kiện xác định biểu thức P x  Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức sau xác định a) A  3x   x  1   x  1 2019 x  2020 b) B  1,  x  0,    0, x  0,9  c) C  2x  x 1  x   x  1   x   Hướng dẫn giả a) Giá trị biểu thức A xác định với điều kiện:  x  1   x  1 0  x   x  0  x  x 6   x 8  x 4 Vậy điều kiện xác định biểu thức A x 4 b) Giá trị biểu thức B xác định với điều kiện: 1,  x  0,    0, x  0,9  0  1, x  0,84  2, x  3,6 0 Trang  1, x  2, x 3,  0,84   1, x 2, 76  x  2,3 Vậy điều kiện xác định biểu thức B x  2,3 c) Giá trị biểu thức C xác định với điều kiện: x  0  x  1   x   0 Với x  0  x  Với  x  1   x   0  x   15 x  0  x  15 x 6    13 x 8  x  13 Vậy điều kiện xác định biểu thức C x  x  13 Bài toán Bài tốn viết phương trình Phương pháp giải Ví dụ Viết phương trình ẩn x tính x (mét) hình ( S diện tích hình) Bước Chọn ẩn đặt điều kiện ẩn Bước Biểu thị số liệu chưa biết qua ẩn Hướng dẫn giải Chiều dài hình chữ nhật là: x  x 2 x  m  Bước Tìm mối liên hệ số liệu để lập phương trình Bước Giải phương trình chọn kết thích hợp để trả lời Chiều rộng hình chữ nhật là:  m  Diện tích hình chữ nhật là: S 2 x.5 10 x  m  Vì diện tích hình chữ nhật 120m2 Suy ta có phương trình: 10 x 120  x 12 Vậy x 12 Ví dụ mẫu Ví dụ Viết phương trình ẩn x tính x (mét) hình ( S diện tích hình) Trang 10 Hướng dẫn giải Chiều dài đáy lớn hình thang x  0,5 x 1,5 x  m  Chiều dài đáy bé hình thang là: x  m  Diện tích hình thang là: S  x  1,5 x  15 x 2 m  Vì diện tích hình thang 150 m Suy ta có phương trình 15 x 150  x 150  x 20 15 Vậy x 20 Ví dụ Năm nay, tuổi bố gấp lần tuổi Nam Nam tính 16 năm tuổi bố gấp lần tuổi em Viết phương trình biểu thị tuổi bố theo tuổi Nam tính số tuổi Nam Hướng dẫn giải Gọi x số tuổi Nam năm nay, x  * , đơn vị tuổi Vì năm số tuổi bố gấp lần số tuổi Nam nên năm số tuổi bố 4x Số tuổi Nam 16 năm sau x  16 Số tuổi bố 16 năm sau x  16 Vì 16 năm sau số tuổi bố gấp hai lần số tuổi Nam Suy ta có phương trình: x  16 2  x  16   x 32  16  x 8 Vậy Nam tuổi Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm điều kiện x để biểu thức sau xác định a) 2019 x  2020  x  1   x  3 b) 2x  6x 1  1,5  x  3  2,5  x   x    x  1 c) 2x  4x   x  x     3x  Trang 11 Câu 2: Viết phương trình ẩn x tính x (mét) hình ( S diện tích hình) Hướng dẫn giải tập tự luyện dạng Câu a) Điều kiện xác định biểu thức là: 11  3x  1   x   0  15 x   x  0  x  11 0  x  b) Điều kiện xác định biểu thức là: 1,5  x  3  2,5  3x   0 3x    x  1 0 +) 1,5  x  3  2,5  x   0  1,5 x  4,5  7,5 x  12,5 0  1,5 x  7,5 x 12,5  4,5  x 17 17  x +) 3x    x  1 0  3x   12 x  0  x  12 x 2    x   x  17 Vậy điều kiện xác định biểu thức x  x  9 c) Điều kiện xác định biểu thức là: x  0 x     x  0 +) x  0  x 1 +) x     x  0  x  x 5   11x 8  x  11 Vậy điều kiện xác định biểu thức x 1 x  11 Câu a) Chiều dài đáy lớn hình thang 2,5x  m  Trang 12 Chiều dài đáy bé hình thang 2x  m  Diện tích hình thang 54  m  Suy ta có phương trình  x  2,5 x  54 Giải phương trình tìm x 4  m  b) Phương trình x.4  0,5 x.4 60 Giải phương trình tìm x 6  m  Dạng Tìm điều kiện tham số m để phương trình có nghiệm x a Ví dụ Tìm giá trị m cho phương trình Phương pháp giải Bước Thay x a vào phương trình Khi ta  x  1  3x  5m     x  3 74 phương trình với m ẩn số có nghiệm x 1 Bước Giải phương trình với ẩn m Giá trị Hướng dẫn giải m tìm điều kiện tham số m Thay x 1 vào phương trình ta để phương trình có nghiệm x a  2.1 1  3.1  5m      3 74   5m    16 74   5m   74  16   5m   90 Chú ý: Đối với tốn u cầu tìm m để phương trình có nghiệm x a tìm m để hai phương trình tương đương, sau tìm m ta đem m thay vào phương trình để kiểm tra lại    xem ngồi x a phương trình cịn nghiệm khác hay không 5m  30 5m 30  m 5 Vậy với m 5 phương trình có nghiệm x 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm giá trị m cho a) Phương trình  x  1  x  2m    x   40 có nghiệm x 2 b) Phương trình mx  x  0 có nghiệm x 1 Hướng dẫn giải a) Thay x 2 vào phương trình ta có  2.2 1  9.2  2m      40   18  2m   20 40  18  2m 12  2m   m  b) Thay x 1 vào phương trình ta có: m.12  4.1  0  m 8 Thử lại: Thay m 8 vào phương trình ta có: x  x  0  x  x  0  x  x  x  0 Trang 13  x  x  1  x  0   x  1  x  1 0 Với x  0  x 1 Với x  0  x  Như nghiệm x 1 phương trình cịn nghiệm x  Vậy khơng có giá trị m để phương trình có nghiệm x 1 2 Ví dụ Tìm m để hai phương trình sau tương đương  x  1  x  x   0 x  3m m  10m  Hướng dẫn giải Giải phương trình  x  1  x  x   0 Khi đó: Trường hợp 1: x  0  x  2 Trường hợp 2: x  x  0  x  x   0   x    0 (vô nghiệm) Thay x  vào phương trình chứa tham số m ta có  1     3m m  10m   m  m 0  m  m   0  m 0 m   2 Khi Trường hợp 1: m 0 Với m 0 , thay vào phương trình có chứa tham số m ta có x   x  2 Vậy với m 0 hai phương trình cho tương đương Trường hợp 2: m  0  m  Với m  , thay vào phương trình có chứa tham số m ta có x         10     5  x  21 49  70  2  x   x  Vậy với m  hai phương trình cho tương đương Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang 14 Câu Tìm điều kiện tham số m để phương trình a)  5m  1 x    2m  x  m 1 0 có nghiệm x 5 2 b)  m  m  1 x  m x  0 có nghiệm x 1 Câu Tìm m để phương trình a)  x    3m    4m  có nghiệm x 3 b)  m   x  x  m  0 có nghiệm x  Hướng dẫn giải tập tự luyện dạng Câu a) Thay x 5 vào phương trình ta phương trình ẩn m :  5m  1 52    2m   m 1 0  86m  0  m  Vậy với m   86 43 phương trình có nghiệm x 5 43 b) Thay x 1 vào phương trình ta phương trình ẩn m : m  m  1 12  m  0   m  0  m  Vậy với m  phương trình cho có nghiệm x 1 Câu a) Thay x 3 vào phương trình ta phương trình ẩn m :  2.3  5  3m    4m  0  37m  97 0  m  Vậy với m  97 37 97 phương trình có nghiệm x 3 37 b) Thay x  vào phương trình ta có phương trình ẩn m :  m     5.1  m 1 0  2m  0  m 3 Thay vài phương trình ta có x  x  0 Với x 0 ta có x  x  0  x  0  x  (khơng thỏa mãn) Với x  ta có  x  x  0  x  0  x  (thỏa mãn) Vậy với m 3 phương trình cho có nghiệm x  Trang 15