PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8_NĂM HỌC 2022-2023 Bài (5 điểm) 2x2 x2 x 1 x2 A x x x x x 3x 1) Cho biểu thức x 1 : 3 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A có giá trị nguyên 2) Cho ba số thực a, b, c khác thỏa mãn a b c 3 2 a 1 b 1 c 1 B b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 1 Tính giá trị biểu thức Bài (4 điểm) 1) x Giải phương trình : 2) Tìm cặp số nguyên x 4 x x x; y xy thỏa mãn x xy y 19 Bài (4 điểm) P x P x 1) Tìm đa thức , biết chia cho x dư 1, chia cho x dư chia 2 cho x x thương x x cịn dư 2) Tìm số tự nhiên n cho 2n 3n số phương 2n số nguyên tố Bài (6 điểm) AB AC Cho tam giác ABC cân C Kẻ ba đường thẳng AD, BE , CF cắt H D BC , E AC , F AB AB 2 1) Chứng minh 2) Kẻ DM CF M, DK AC K Chứng minh MK / / FE AH BH CH 3) Tính giá trị tổng AD BE CF AE AC 4) Gọi N giao điểm EF với tia CB Chứng minh CE.CN FE.FN CF Bài (1 điểm) Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q 2012ab 4ab a b ab ĐÁP ÁN Bài (5 điểm) x2 x2 x 1 x2 A x x x x3 x 3x 3) Cho biểu thức x 1 : 3 x c) Rút gọn biểu thức A Với x 1 , ta có : x2 1 2x2 2x x x2 x 1 A : : x x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x x2 x2 x x2 x 1 x 1 x x 1 x2 A x x với x 1 Vậy d) Tìm x để biểu thức A có giá trị nguyên Ta có : 1 x2 x x x x ; x 0 A 0 1 2 x x 1 2 Xét x 0 A 4 x2 A 3 x x x x 1 mà A có giá trị nguyên nên A 0;1 Từ (1) (2) ta có : Xét A 0 tìm x 0(tm) A x2 A 1 1 x 0 x 1(tmdk ) x x 1 Xét x 0; 1 Vậy biểu thức A có giá trị ngun 4) Cho ba số thực a, b, c khác thỏa mãn a b c 3 2 a 1 b 1 c 1 B b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 1 Tính giá trị biểu thức a b c 3 a 1 b 1 c 1 0 Từ giả thiết ta có Đặt x a 1; y b 1; z c ta có x y z 0 x 0, y 0, z 0 Khi Vì x2 y z x3 y3 z3 yz zx xy xyz B x y z 0 x y z x y 3xy x y z x y xy z z 0 3 3 (vì x y z ) x y z 3xyz Thay x y z 3xyz vào biểu thức B ta có : B xyz 3 xyz Vậy ba số thực a, b, c khác thỏa mãn a b c 3 B 3 Bài (4 điểm) x 5x 2 3) Giải phương trình : x x 4 x 5x 1 2 Đặt a b 4 x x x a a b x x 5 x b 2 Khi phương trình (1) trở thành : 4ab a b 0 a b x 2 x 5 x x x 0 x 3 S 2;3 Vậy phương trình cho có tập nghiệm xy x; y 4) Tìm cặp số nguyên thỏa mãn x xy y 19 x y 19 x y 5 x xy y 1 Ta có x xy y 19 Từ (1) ta có 19 x y 5 mà 19;5 1 x y 5 x y 5m m Z 2 Thay vào (1) tính x xy y 19m 2 2 x y 5m x xy y 25m , ta có xy x xy y x xy y 25m 19m Xét x y m 2 xy x y 0 25m 25m 19m 0 75m 76m 0 76 75 mà m Z m 0;1 x y 0 x 0 *)m 0 xy 0 y 0 x y 5 *)m 1 x; y 2;3 ; 3; xy 6 Vậy x; y 0; ; 2;3 ; 3; Bài (4 điểm) P x P x 3) Tìm đa thức , biết chia cho x dư 1, chia cho x dư 2 chia cho x x thương x x dư x 1 x 3 Vì P( x) chia cho dư 1, chia cho dư nên theo định lý Bơ zu ta có P 1 1, P 3 9 Vì đa thức chia cho x x bậc hai nên đa thức dư có dạng ax b ta có : P x x x 3 x x 1 ax b P ( x) x 1 x 3 x x 1 ax b P 1 1 a b 1 a 2, b 3 a b P Ta có P x x x 3 x x 1 x x 3x 3x Vậy P(x)= x x 3x 4) Tìm số tự nhiên n cho 2n 3n số phương 2n số nguyên tố Ta có 2n 3n số phương nên ta có : 2n a a N 1 3n b b N , Từ (1) (2) ta có : Ta có 3a 2b 1 3 2n 2n 1 a 3a 2b 25a 16b 5a 4b 5a 4b Do 2n số nguyên tố mà 5a 4b 5a 4b nên từ (4) ta có : 5a 4b 1 a 4b 4b a , thay vào (3) n 0 b 1 a 1 2n 9( ktm) 4b 2 3 2b 1 b 12b 11 0 n 40 b 11 a 9 2n 89(tmdk ) Vậy n 40 giá trị cần tìm Bài (6 điểm) AB AC Cho tam giác ABC cân C Kẻ ba đường thẳng AD, BE , CF cắt H D BC , E AC , F AB A Q E K F H M D B N AE AC 5) Chứng minh Xét AEB ∽ AFC có : AB 2 AEB AFC 90 AEB ∽ AFC g g EAB chung AE AB AE AC AF AB AF AC (1) ABC cân C có CF đường cao nên CF đường trung tuyến AB AF FB 2 AB AE AC Từ (1) (2) ta có 6) Kẻ DM CF M, DK AC K Chứng minh MK / / FE Chứng minh MD / / BF (cùng vuông góc với CF) CM CD Xét CFB có MD / / BF (cmt) nên CF CB (định lý Ta let) (3) Chứng minh DK / / BE (cùng vng góc với AC) C Xét CFB có DK / / BE (cmt ) CD CK CB CE (định lý Talet) (4) CM CK CF CE Từ (3) (4) CM CK cmt MK / / FE Xét CFE có : CF CE (định lý Talet đảo) AH BH CH 7) Tính giá trị tổng AD BE CF HD S HBC HE S HAC HF S HAB ; ; AD S BE S CF S ABC ABC ABC Chỉ : HD HE HF S HBC S HAC S HAB S ABC 1 AD BE CF S S ABC ABC Tính AH BH CH HD HE HF 2 1 1 1 3 AD BE CF AD BE CF 8) Gọi N giao điểm EF với tia CB Chứng minh CE.CN FE.FN CF Trên tia đối tia FC lấy điểm Q cho FNQ FCE Chứng minh CEF ∽ NQF g g EF FN FQ.CF Chỉ CF phân giác ABC FCN FCE Chứng minh CNQ ∽ CFE ( g g ) CE.CN CQ.CF Từ (5) (6) ta có : CE.CN FE.EN CQ.CF FQ.CF CF CQ FQ CF CF CF CE.CN FE.FN CF Bài (1 điểm) Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q 2012ab 4ab a b ab Q 2012 4ab 4ab 4ab a b 2ab 1 * ; x y 4 xy ** Chứng minh bất đẳng thức x y x y Với x 0, y Dấu xảy x y Với a, b hai số thực dương , a b 1 Áp dụng bất đẳng thức * ** ta có : 1 4 4 1 2 a b 2ab a b 2ab a b 2 1 4 4ab 2 4ab 4.4ab 4ab 4ab 4ab 4 4 1 3 a b 4ab ab a b 4ab Từ (1), (2) (3) suy Q 4 2012 2019 Dấu xảy Vậy Min Q 2019 a b 1 a b