SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI: TỐN; LỚP: PHỔ THƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2023 Thời gian làm 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu (4,5 điểm) 2 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a 7a b 7ab 2b 2 2) Cho x x 1 Tính giá trị biểu thức Q x x x x x x Câu (4,5 điểm) x 1 4026 x R : x x x x x x x Tìm x để biểu thức 1) Cho biểu thức: xác định, rút gọn biểu thức 2) Giải phương trình sau: x x 1 x 1 x 4 Câu (4,0 điểm) 1) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n n chia hết cho 24 2) Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 số phương Câu (6,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vng A D Biết CD=2AB=2AD BC a a Tính diện tích hình thang ABCD theo a b Gọi I trung điểm BC, H chân đường vng góc kẻ từ D xuống AC Chứng minh HDI 45 2) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C la , lb , lc Chứng minh rằng: 1 1 1 la lb lc a b c Câu (1,0 điểm) 2 Cho hai số không âm a b thoả mãn a b a b Tìm giá trị lớn biểu thức: S a b a 1 b 1 ĐẤP ÁN Câu (4,5 điểm) 2 3) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a 7a b 7ab 2b Ta có P 2 a b3 ab a b 2 a b a ab b ab a b a b 2a 2b 5ab a b 2a 4ab 2b ab a b 2a a 2b b b 2a a b 2a b a 2b Kết luận P a b 2a b a 2b 2 4) Cho x x 1 Tính giá trị biểu thức Q x x x x x x 1 Ta có Q x x x x x x x x x x 2 x2 x x x x x x x 4 Vậy Q 4 Câu (4,5 điểm) x 1 4026 x R : x 2x x 2x x 4x x 3) Cho biểu thức: thức xác định, rút gọn biểu thức x x x 1 R x x x x x x 4026 Ta có x x 0 ĐK: x 0 x 2 Khi đó: R x x 1 4026 x x x Tìm x để biểu x 1 x x 1 x 4026 x2 2 x 4 4026 x 2013 x 0 R 2013 Vậy R xác định x 2 4) Giải phương trình sau: x x 1 x 1 x 4 + Nếu x 2 , phương trình cho trở thành x x 1 x 1 x 4 x 1 x 4 x x 0 x x 0 x 0 l x tm x l Nếu x 2 , phương trình cho trở thành x x 1 x 1 x 4 x x 1 x 1 x x 1 x x x 0 5 x 0 2 vô nghiệm KL: Phương trình có nghiệm x Câu (4,0 điểm) 3) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n n chia hết cho 24 Ta có n3 n n n 1 n 1 Vì n 1; n; n ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết cho Do n n 3 (1) Vì n số tự nhiên lẻ nên n n hai số tự nhiên chẵn liên tiếp Do n 1 n 1 8 n n 8 (2) Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với (1), (2) suy n n 24 (đpcm) 4) Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 số phương + Giả sử n 4n 2013 m , m n 2 + Suy 2 2009 m m n 2009 m n m n 2009 + Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m n m n nên có trường hợp sau xảy ra: m n 2009 m n TH1: m 1005 n 1002 m n 287 m 147 n 138 TH1: m n 7 m n 49 m 45 TH3: m n 41 n 2 Vậy số cần tìm là: 1002; 138; Câu (6,0 điểm) 3) Cho hình thang ABCD vng A D Biết CD=2AB=2AD BC a A H B I D E a Tính diện tích hình thang ABCD theo a C Gọi E trung điểm CD, ABED hình vng BEC tam giác vng cân + Từ suy AB AD a; BC 2a + Diện tích hình thang ABCD S AB CD AD a 2a a 3a 2 b Gọi I trung điểm BC, H chân đường vng góc kẻ từ D xuống AC Chứng minh HDI 45 b) + ADH ACD (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vng góc) + Xét hai tam giác ADC IBD vng D B có AD IB DC BD , hai tam giác ADC IBD đồng dạng ACD BDI Suy (2) + Từ (1) (2), suy ADH BDI 0 + Mà ADH BDH 45 BDI BDH 45 hay HDI 45 4) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C la , lb , lc Chứng minh rằng: 1 1 1 la lb lc a b c M A C D B + Gọi AD đường phân giác góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M Ta có BAD AMC (hai góc vị trí đồng vị) DAC ACM 0.5 (hai góc vị trí so le trong) Mà BAD DAC nên AMC ACM hay tam giác ACM cân A, suy AM AC b AD BA c + Do AD//CM nên CM BM b c CM AM AC 2b + Mà + Tương tự ta có c AD 1 1 b c 2b la b c (1) 11 1 1 1 lb c a (2); la b c (3) 0.5 0.5 0.5 Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm Câu (1,0 điểm) 2 Cho hai số không âm a b thoả mãn a b a b Tìm giá trị lớn biểu thức: S a b a 1 b 1 2 2 + Ta có a 2a; b 2b a b 2a 2b a b 2 1 + Chứng minh với hai số dương x, y x y x y S 2 1 2 a 1 b 1 a 1 b 1 + Do + Kết luận: GTLN S 1, đạt a b 1