PHÒNG GD&ĐT CƯM’ GAR TRƯỜNG THCS NGUYỄN TẤT THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP _ NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian : 150 phút Bài (4,0 điểm) x 1 x2 4x x2 x A : 3 x x x x x x Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A Bài (6,0 điểm) 2 a) Cho 4a b 5ab 2a b Tính P ab 4a b 2 1 1 b) Giải phương trình : x 3x x 5x x x 12 x x 20 2 c) Xác định a b để đa thức f x x x 21x ax b chia hết cho đa thức x x Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 60 , phân giác BD Gọi M , N , I theo thứ tự trung điểm BD, BC , CD a) Tứ giác AMNI hình ? Chứng minh ? b) Cho AB 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA ', BB ', CC ', H trực tâm HA ' HB ' HC ' a) Tính tổng AA ' BB ' CC ' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC Gọi IM , IN thứ tự phân giác góc AIC AIB Chứng minh AN BI CM BN IC AM ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) x 1 x2 4x x2 x A : 3 x x x x x x Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 0; x 1 Rút gọn d) Tìm giá trị x để A A x2 1 x 1 x2 1 x2 x A 1 1 0 x 1 x 1 Để 1 x x x x 1 x 2 x x x Do phải dấu mà Kết hợp với điều kiện xác định ta có x 1, x 0, x 1 A Bài (6,0 điểm) 2 d) Cho 4a b 5ab 2a b Tính P ab 4a b 2 b 4a 4a b 5ab 4a b a b 0 b a Mà 2a b 4a 2b b a b 2 Vậy 4a b 5ab 2a b P P a2 2 4a a 3 1 1 e) Giải phương trình : x 3x x x x x 12 x x 20 ĐKXĐ: x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 1 x 3x x x x x 12 x x 20 1 1 x 1 x x x 3 x 3 x x x 1 1 1 1 x 1 x x 4 x 5 x 1 x 8( x 5) 8( x 1) x 1 x x 40 x x x x x 27 0 x 3(tm) x 3 x 0 x 9(tm) Vậy tập nghiệm phương trình S 3; 9 f) Xác định a b để đa thức f x x x 21x ax b chia hết cho đa thức x2 x 2 Gọi thương phép chia đa thức f x cho đa thức x x P x Để đa thức f x chia hết cho đa thức x x ta có : x x3 21x ax b x x P x với x Hay x x 21x ax b x x 1 P x 1 với x Vì đẳng thức (1) với x Với x 2, ta có : 9.2 21.2 2a b 0 2a b 28 Với x 1 1 21 1 a b 0 b a 31 3 Thay (3) vào (2) ta : 2a a 31 28 a 1, b 1 31 30 a 1 Vậy với b 30 f x chia hết cho đa thức x x Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 60 , phân giác BD Gọi M , N , I theo thứ tự trung điểm BD, BC , CD B N M A D I C c) Tứ giác AMNI hình ? Chứng minh ? Chứng minh tứ giác AMNI hình thang Chứng minh AN MI , từ suy tứ giác AMNI hình thang cân d) Cho AB 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Tính Tính Tính AD , BD 2 AD cm AM BD cm 3 2 , NI AM AI cm, DC BC cm, MN DC cm 3 cm Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA ', BB ', CC ', H trực tâm A C' B' M H C N A' I B HA ' HB ' HC ' c) Tính tổng AA ' BB ' CC ' S HBC HA '.BC HA ' S HAB HC ' S HAC HB ' S ABC ; AA '.BC AA ' S CC ' S BB ' ABC ABC Ta có : Tương tự: HA ' HB ' HC ' S HBC S HAB S HAC 1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC S ABC d) Gọi AI phân giác tam giác ABC Gọi IM , IN thứ tự phân giác góc AIC AIB Chứng minh AN BI CM BN IC AM Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC , ABI , ACI BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AC AC BI BI AN CM BN IC AM