053 đề hsg toán 8 ân thi 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ÂN THI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN _ NĂM HỌC 2022-2023 Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau : a) x  214 x  132 x  54   6 86 84 82 b) 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 Bài (2,0 điểm) a) Cho a, b, c ba cạnh tam giác a b c   3 b c  a a c  b a b  c Chứng minh a b c x2 y2 z x y z   0 B    1   1 a b c b) Cho a b c x y z Chứng minh A Bài (1,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số ? AC  AB AH H  BC   , đường cao  Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A,  tia HC lấy điểm D cho HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Trên 1) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng , Tính độ dài đoạn BE theo m  AB 2) Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM GB HD  3) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH  HC Bài (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2010 x  2680 x2 1 Bài (1,0 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi ĐÁP ÁN Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau : x  214 x  132 x  54   6 86 84 82 x  214 x  132 x  54   1  2  0 86 84 82 x  214  86 x  132  2.84 x  54  3.82    0 86 84 82 x  300 x  300 x  300  1     0   x  300      0 86 84 82  86 84 82   x 300 a) Vậy phương trình có tập nghiệm S  300 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18 1 1      x  4;  5;  6;    x    x    x  5  x    x    x   18 b) 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1 x 7 x       x  x  18 x  11x  28 18  x 2  x  11x  28 54  x  11x  26 0   (tmdk )  x  13  Vậy phương trình có tập nghiệm S  2;  13 Bài (2,0 điểm) c) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh A a b c   3 b c  a a c  b a b  c Với a, b, c la ba cạnh tam giác yz  a   x b  c  a   x  y 2c  zx     y a  c  b    y  z 2a  b   z a  b  c   z  x 2b    x y  c   Đặt Thay vào ta có : A a b c yz zx xy      b c  a a c  b a b  c 2x 2y 2z 1 y z z x x        2 x x y y z y    z y   y x   x z                      3 z    y z   x y   z x  Vậy Min A 3  x  y z  a b c a b c x2 y2 z x y z    B    1   1 a b c d) Cho a b c x y z Chứng minh a b c ayz  bxz  cxy   0  0  ayz  bxz  cxy 0  1 xyz Từ x y z x y z   1  a b c Do x y z     1  a b c 2  x  y  z  xy yz xz     1          2 a b c  ab bc ac  x2 y z cxy  ayz  bxz x2 y z     (1)    1  dfcm    a2 b2 c2 abc a b2 c2 Bài (1,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số ? Gọi tử số phân số x  x  , x  11 mẫu số phân số dó x  11 Ta có phân số x phải tìm x  11 Vì bớt đơn vị tử tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo với phân số ban đầu nên ta có phương trình : x x  11   x  x  x  26 x  165  33x  165  x  5(tmdk ) x  11  x 5 Vậy phân số phải tìm AC  AB AH H  BC  , đường cao   Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A,  Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E B H G M A D E C 4) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng , Tính độ dài đoạn BE theo m  AB Xét CDE ∽ CAB (hai tam giác vng có góc C chung) CD CE  CA CB (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ ) C chung  ADC ∽ BEC (c.g.c)  BEC ADC 180  ADH 180  45 135 (vì AHD vuông cân H nên  ADH 45 )  AEB 180  BEC 180  135 45 (hai góc kề bù)   ABE vuông cân A nên BE  AB m 5) Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM BM BE AD ADC ∽ BEC (cm cau a )    BC BC AC Ta có Mà AD  AH (tam giác AHD vuông cân H) BM AD AH AH     1 BC AC AC AC Nên AH BH CHA ∽ AHB ∽ CAB    2 AC AB BM BH BH   AB BE mà HBM chung  BHM ∽ BEC (c.g c) Từ (1) (2) suy BC  BHM BEC 135  AHM BHM  BHA 135  90 45 Vậy AHM 45 GB HD  6) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH  HC Tam giác ABE vuông cân A nên AM vừa trung tuyến, vừa phân giác BAC  AG phân giác ABC  GB AB  GC AC (tính chất đường phân giác) (3) AB DE   CAB ∽ CDE   Mà AC DC Và DE / / AH  DE AH DE DH     5 DC AC (hệ định lý Talet) DC HC GB HD GB HD GB HD      Từ (3), (4) (5) ta có GC HC GB  GC HD  HC GC AH  HC Bài (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2010 x  2680 x2 1 Ta có : 2010 x  2680 335 x  2010 x  3015  335 x  335  x2 1 x 1 335  x  x   335  x  1 335  x  3     335 x2 1 x2 1 x2 1 A x  3 Vì  0 với x suy 335  x  3 0 335  x  3 A  335  335 x 1 với x với x mà x   với x nên Vậy Min A  335  x  Bài (1,0 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Gọi cạnh tam giác vuông Theo định lý Pytago : x, y, z  x, y , z  ,1  x  y z  x  y  z  1 Theo : số đo diện tích số đo chu vi Từ (1) ta có :  xy 2  x  y  z    z  x  y  x  y   xy  x  y    x  y  z  2   x  y   4( x  y )   z  z    x  y    z    x  y   z   x  y 2   z  x  y  Thay vào (2) ta có : xy 2  x  y   x  y   xy 4 x  y   xy  x  y  16   16  x  y     y   8   x    y   8 Vì  x  y nên ta có :  x   y   x     y  1 8   x 5   y 12    x 6 2  4   y 8 Với x 5; y 12  z 13; x 6, y 8  z 10 Vậy tam giác vuông cần tìm có số đo cạnh 5,12,13 6,8,10 Ta có :