043 đề hsg toán 8 tân uyên 22 23

ĐỀ THI HSG MƠN TỐN LỚP – TÂN UN NĂM HỌC 2022-2023    x  1  x  3 x2 x2 A    x  x  x  3x   x  x 1  Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn A Bài (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : 3x  x  17 x  k b) Tìm số tự nhiên k để   số phương c) Cho đa thức f  x  ax3  bx  cx  d Tìm a, b, c, d biết chia đa thức f  x cho  x  1 ,  x   ,  x  3 có số dư x  đa thức nhận giá trị  18 Bài (4,0 điểm) a) Giải phương trình x  x  x   0 b) Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c 0 Chứng minh :  a  b5  c  5abc  a  b  c  Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD , M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bở AB chứa C dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, AH cắt d E, cắt DC F a) Chứng minh BM ND b) Chứng minh N , D, C thẳng hàng c) EMFN hình d) Chứng minh DF  BM FM chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi vị trí BC 2 Bài (2,0 điểm ) Cho x, y số thực không âm thỏa mãn x  y x  y Tìm giá trị lớn biểu thức M x y  x 1 y 1 ĐÁP ÁN    x  1  x  3 x2 x2 A    x  x  x  3x   x  x   Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 1, x 2, x 3    x  1  x  3 x2 x2 A     x  x  x  3x   x  x 1    x  1  x  3 x x x2      x  1  x    x  3  x  1  x    x  3  x  x  x2 2x  2x2   x  x2 1  x  2 x4  x2 1 d) Tìm giá trị lớn A Với x 0  A 0 1 x2  1 x  2 x x Với Ta có với x thỏa mãn điều kiện 2  A  A Max A   x   x 1 1 Vậy x x 0  A  Bài (4,0 điểm) d) Phân tích đa thức thành nhân tử : 3x  x  17 x  x3  x  17 x  3 x  x  x  x  15 x   x  x  1  x  x  1   x  1  x  1  x  x   e) Tìm số tự nhiên k để   số phương 7 Ta có 16, 128   144 12 k Để   số phương với q   k  2k  122 q  2k  q  12   q  12  m n Đặt q  12 2 , q  12 2 với m  n k ; q  12  q  12  n  m  q  12   q  12  2 n  2m  2n  m 24  2m  2n  m  1 24 8.3 m n m Vì  số lẻ nên 8 2  m 3 n m n m Suy  3  4 2  n  m 2  n 5 Vậy k 3  8 giá trị cần tìm f) Cho đa thức f  x  ax3  bx  cx  d Tìm a, b, c, d biết chia đa thức f  x  cho  x  1 ,  x   ,  x  3 có số dư x  đa thức nhận giá trị  18 Vì f  x  chia cho đa thức  x  1 ,  x   ,  x  3 có số dư nên ta có  f  1 6   f   6    f  3 6  a  b  c  d 6  8a  4b  2c  d 6  27a  9b  3c  d 6  Lại có x  f  x  có giá trị  18 nên  a  b  c  d  18 a  b  c  d 6 8a  4b  2c  d 6     27 a  b  c  d    a  b  c  d  18 b  d 0   a 1 c 11 Thử lại ta thấy f  x  thỏa mãn yêu cầu toán Vậy a 1, b  6, c 11, d 0 giá trị cần tìm Bài (4,0 điểm) c) Giải phương trình x  x  x   0 x  x  x   0  x  x   x   0   x  1  x   0  1 Đặt t  x  ,  t 0  Khi phương trình (1) trở thành :  t  1(ktm)   t  5t  0    t 6  x  6     x   x  6  x       x   7  5 S  ;  2  Vậy phương trình cho có tập nghiệm d) Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c 0 Chứng minh :  a  b5  c  5abc  a  b  c  3 Có a  b  c 0  a  b  c Khi  a  b   c  a  b3  c  3ab  a  b  3abc   a  b3  c   a  b  c  3abc  a  b  c   a  b5  c5  a  b  c   b3  a  c   c  b  a  3abc  a  b  c  2 2 Mà a  b  c   a  b  c  a  b c  2ab 2 2 2 Chứng minh tương tự, ta có : b  c a  2bc; a  c b  2ac Nên :  a  b5  c  a  a  2bc   b  b  2ac   c  c  2ab  3abc  a  b  c    a  b5  c   2abc  a  b  c  3abc  a  b  c    a  b5  c  5abc  a  b  c  Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD , M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bở AB chứa C dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, AH cắt d E, cắt DC F N A E D F H B M C e) Chứng minh BM  ND Xét ABM ADN có : AB  AD (vì ABCD hình vng) BAM DAN (cùng phụ với MAD ) ; AM  AN (vì AMHN hình vng)  ABM ADN (c.g c)  BM DN f) Chứng minh N , D, C thẳng hàng Vì ABM ADN nên ABM ADN Mà ABM 90 nên ADN 90  AD  DN , mà AD  DC Vậy N , D, C thẳng hàng g) EMFN hình Vì AM / / HN  MAE FHN Có ABM ADN nên BAM DAN Mà FNH DAN (cùng phụ với AND)) BAM AME (hai góc so le AB / / EM )  AME FNH Xét AEM HFN có : AME FNH , AM  NH (AMHN hình vng), MAE FHN  AEM HFN ( g.c.g )  EM FN Xét tứ giác EMFN có : EM / / FN (cùng // AB), EM=FN Suy tứ giác EMFN hình bình hành h) Chứng minh DF  BM FM chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi vị trí BC Có BM  ND  DF  BM DF  ND FN FM  EMFN hình thoi) Chu vi MFC MF  MC  CF MB  MC  CF  DF 2BC (không đổi) Vậy chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi vị trí BC 2 Bài (2,0 điểm ) Cho x, y số thực không âm thỏa mãn x  y x  y Tìm giá trị lớn biểu thức Ta có :  x  y 2 0  x  y M  x  y  x y  x 1 y 1 2 , mà x  y  x  y nên Đặt t x  y  t 0 x, y 0   t 2t  t  t   0 Mà t 0  t  0  t 2  x  y 2 Ta có :  x  y x y  2 M x y 1  1  1  2  x 1 y 1 x 1 y 1  1      x 1 y 1  Vì x, y 0  x 1  0; y   ta có : 1 4    M 2   M 2  1 x 1 y 1 x  y  x y 2 22 Vậy Max M 1  x  y 1