ĐỀ THI HSG MƠN TỐN LỚP – TÂN UN NĂM HỌC 2022-2023 x 1 x 3 x2 x2 A x x x 3x x x 1 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn A Bài (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : 3x x 17 x k b) Tìm số tự nhiên k để số phương c) Cho đa thức f x ax3 bx cx d Tìm a, b, c, d biết chia đa thức f x cho x 1 , x , x 3 có số dư x đa thức nhận giá trị 18 Bài (4,0 điểm) a) Giải phương trình x x x 0 b) Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 0 Chứng minh : a b5 c 5abc a b c Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD , M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bở AB chứa C dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, AH cắt d E, cắt DC F a) Chứng minh BM ND b) Chứng minh N , D, C thẳng hàng c) EMFN hình d) Chứng minh DF BM FM chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi vị trí BC 2 Bài (2,0 điểm ) Cho x, y số thực không âm thỏa mãn x y x y Tìm giá trị lớn biểu thức M x y x 1 y 1 ĐÁP ÁN x 1 x 3 x2 x2 A x x x 3x x x Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 1, x 2, x 3 x 1 x 3 x2 x2 A x x x 3x x x 1 x 1 x 3 x x x2 x 1 x x 3 x 1 x x 3 x x x2 2x 2x2 x x2 1 x 2 x4 x2 1 d) Tìm giá trị lớn A Với x 0 A 0 1 x2 1 x 2 x x Với Ta có với x thỏa mãn điều kiện 2 A A Max A x x 1 1 Vậy x x 0 A Bài (4,0 điểm) d) Phân tích đa thức thành nhân tử : 3x x 17 x x3 x 17 x 3 x x x x 15 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x e) Tìm số tự nhiên k để số phương 7 Ta có 16, 128 144 12 k Để số phương với q k 2k 122 q 2k q 12 q 12 m n Đặt q 12 2 , q 12 2 với m n k ; q 12 q 12 n m q 12 q 12 2 n 2m 2n m 24 2m 2n m 1 24 8.3 m n m Vì số lẻ nên 8 2 m 3 n m n m Suy 3 4 2 n m 2 n 5 Vậy k 3 8 giá trị cần tìm f) Cho đa thức f x ax3 bx cx d Tìm a, b, c, d biết chia đa thức f x cho x 1 , x , x 3 có số dư x đa thức nhận giá trị 18 Vì f x chia cho đa thức x 1 , x , x 3 có số dư nên ta có f 1 6 f 6 f 3 6 a b c d 6 8a 4b 2c d 6 27a 9b 3c d 6 Lại có x f x có giá trị 18 nên a b c d 18 a b c d 6 8a 4b 2c d 6 27 a b c d a b c d 18 b d 0 a 1 c 11 Thử lại ta thấy f x thỏa mãn yêu cầu toán Vậy a 1, b 6, c 11, d 0 giá trị cần tìm Bài (4,0 điểm) c) Giải phương trình x x x 0 x x x 0 x x x 0 x 1 x 0 1 Đặt t x , t 0 Khi phương trình (1) trở thành : t 1(ktm) t 5t 0 t 6 x 6 x x 6 x x 7 5 S ; 2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm d) Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 0 Chứng minh : a b5 c 5abc a b c 3 Có a b c 0 a b c Khi a b c a b3 c 3ab a b 3abc a b3 c a b c 3abc a b c a b5 c5 a b c b3 a c c b a 3abc a b c 2 2 Mà a b c a b c a b c 2ab 2 2 2 Chứng minh tương tự, ta có : b c a 2bc; a c b 2ac Nên : a b5 c a a 2bc b b 2ac c c 2ab 3abc a b c a b5 c 2abc a b c 3abc a b c a b5 c 5abc a b c Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD , M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bở AB chứa C dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, AH cắt d E, cắt DC F N A E D F H B M C e) Chứng minh BM ND Xét ABM ADN có : AB AD (vì ABCD hình vng) BAM DAN (cùng phụ với MAD ) ; AM AN (vì AMHN hình vng) ABM ADN (c.g c) BM DN f) Chứng minh N , D, C thẳng hàng Vì ABM ADN nên ABM ADN Mà ABM 90 nên ADN 90 AD DN , mà AD DC Vậy N , D, C thẳng hàng g) EMFN hình Vì AM / / HN MAE FHN Có ABM ADN nên BAM DAN Mà FNH DAN (cùng phụ với AND)) BAM AME (hai góc so le AB / / EM ) AME FNH Xét AEM HFN có : AME FNH , AM NH (AMHN hình vng), MAE FHN AEM HFN ( g.c.g ) EM FN Xét tứ giác EMFN có : EM / / FN (cùng // AB), EM=FN Suy tứ giác EMFN hình bình hành h) Chứng minh DF BM FM chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi vị trí BC Có BM ND DF BM DF ND FN FM EMFN hình thoi) Chu vi MFC MF MC CF MB MC CF DF 2BC (không đổi) Vậy chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi vị trí BC 2 Bài (2,0 điểm ) Cho x, y số thực không âm thỏa mãn x y x y Tìm giá trị lớn biểu thức Ta có : x y 2 0 x y M x y x y x 1 y 1 2 , mà x y x y nên Đặt t x y t 0 x, y 0 t 2t t t 0 Mà t 0 t 0 t 2 x y 2 Ta có : x y x y 2 M x y 1 1 1 2 x 1 y 1 x 1 y 1 1 x 1 y 1 Vì x, y 0 x 1 0; y ta có : 1 4 M 2 M 2 1 x 1 y 1 x y x y 2 22 Vậy Max M 1 x y 1