UBND HUYỆN KỲ ANH PHỊNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán Thời gian làm : 120 phút A Phần I Chỉ ghi kết vào tờ giấy thi Bài 1.Tìm n để giá trị biểu thức A n 2n 3n chia hết cho giá trị biểu thức B n n Bài 2.Phân tích đa thức P x x x x x 1 thành nhân tử 2 x x x 1 Bài 3.Tìm nghiệm phương trình Bài 4.Tìm nghiệm nguyên dương phương trình xy x y 6 P x xy x2 y2 Bài 5.Cho x y 4 z , 3x y 11z , x y 0 Tính giá trị Bài Cho dãy số 3;9;19;33;51; Tìm số hạng thứ 100 dãy số ? Bài 7.Tìm GTLN GTNN biểu thức P x2 2x x x 1 x 1 2x2 4x 2x P : 3 x x x x x x Bài 8.Rút gọn biểu thức Bài Mỗi cạnh viên gạch có hình vng chia thành đoạn thẳng (như hình vẽ), Tính tỷ số diện tích phần tơ màu với diện tích viên gạch (cạnh đáy tam giác màu đen cạnh viên gạch Bài 10 Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH 24cm H BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm M , N cho AM 3BM ; CN 5 AN Gọi I, J hình chiếu vng góc điểm M N lên đường thẳng AH Tính độ dài đoạn thẳng IJ B.Phần II Trình bày lời giải Bài 11 2x x a) Giải phương trình : x x x x a z y 2x y z b) Tìm a biết x y x z x z Bài 12 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Hai đường cao AD BE cắt H a) Chứng minh BC AD AC.EC b) Kẻ trung tuyến AM , BK cắt G Gọi O giao điểm ba đường trung trực Chứng minh AHB ∽ MOK T OM GO AH GH c) Tính giá trị biểu thức Bài 13 Cho a, b hai số không âm thỏa mãn 2a b 4 2a 3b 6 Tìm GTNN GTLN biểu thức P a 2a b ĐÁP ÁN A Phần I Chỉ ghi kết vào tờ giấy thi Bài 1.Tìm n để giá trị biểu thức A n 2n 3n chia hết cho giá trị biểu thức B n n Ta có : A n3 2n2 3n n3 n 2n 2n n n n AB 2 n n 2n n 1 n n 1 U Mà n nên để Mặt khác n; n hai số nguyên chẵn liên tiếp với số nguyên n nên n n 1 số tự nhiên chẵn n n n n 1 2 n n 0 n 2 n 1; 2 Vậy thỏa mãn đề Bài 2.Phân tích đa thức P x x x x x thành nhân tử 2 P x x x x x x x 12 x x x x x 1 Bài 3.Tìm nghiệm phương trình 2 1 x x x 1 2 ĐKXĐ: x 0, x Ta có : 2 x x 1 x 1 1 2 x x2 x 1 x x 1 x x2 x2 x x2 x x2 x 1 x 0 2 x2 x2 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 0 x 1 x 1 0 2 x x x x x x x S ;1 Vậy tập nghiệm phương trình Bài 4.Tìm nghiệm nguyên dương phương trình xy x y 6 Ta có xy x y 6 x y 1 ( y 1) 5 x 1 y 1 5 Mà x nguyên dương nên x nguyên dương Do x 1; y 1 cặp ước nguyên dương x 1 y x y 2 (ktm) (tm) Vậy nghiệm nguyên dương phương trình x; y 2; 2 Bài 5.Cho x y 4 z , 3x y 11z , x y 0 Tính giá trị x y 4 z x y 11 z Ta có 2 x y 4 z 5 x 15 z P x xy x2 y2 y 2 z x 3 z Khi x xy z 2.3 z.2 z z P 2 x y2 13 z 13 3z z P 13 Vậy Bài Cho dãy số 3;9;19;33;51; Tìm số hạng thứ 100 dãy số ? Ta có : a1 2.12 ; a2 2.22 1; a3 2.32 1; a4 2.42 a100 2.1002 20 001 Bài 7.Tìm GTLN GTNN biểu thức P x2 x x x 1 x2 x x2 x x 2 P 2 2 x x 1 x x 1 x x 1 Xét x 0 x x 2 0x P 0 P 2x 1 x x 1 x x x 0x 2 Do Dấu xảy x Max P 2 x x2 x 3x P2 2 x x 1 x x 1 Xét x 0 x 3x 0x 1 x x x x x x 2 Do P 0x P x Dấu xảy x 0 Min P x 0 Vậy Min P x 0, Max P 2 x x 1 2x2 4x 2x P : 3 x x x x x x Bài 8.Rút gọn biểu thức x 1 x2 4x x x 0 P : x3 x x x x 1 x x 1 ( x 1) x 1 x x x x x x2 x 2x : 2 x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 x x x 1 x3 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy P= với x 0, x 1 Bài Mỗi cạnh viên gạch có hình vng chia thành đoạn thẳng (như hình vẽ), Tính tỷ số diện tích phần tơ màu với diện tích viên gạch (cạnh đáy tam giác màu đen cạnh viên gạch) Gọi độ dài cạnh đáy tam giác màu đỏ x cạnh viện gạch là: 3x Diện tích viên gạch 9x Nhận thầy tam giác màu đỏ tam giác vuông cân có cạnh huyền x x Do cạnh góc vng x x x2 Vậy diện tích tam giác vng màu đỏ 2 x2 x Khi tổng diện tích phần tơ màu x2 Tỉ số diện tích phần tơ màu với diện tích viên gạch x AH 24cm H BC ABC , Bài 10 Cho tam giác nhọn đường cao Trên cạnh AB, AC lấy điểm M , N cho AM 3BM ; CN 5 AN Gọi I, J hình chiếu vng góc điểm M N lên đường thẳng AH Tính độ dài đoạn thẳng IJ A N J M I C H B Ta có : NJ AH BC AH NJ / / HC H BC AJ AN AH AC (định lý Talet) Xét AHC có AN AN AJ CN 5 AN 1 CN AC AH Lại có AI 2 Tương tự ta có AH AI AJ IJ 7 IJ AH 12 Từ (1) (2) suy AH AH 12 AH 12 AH 24cm IJ 24 14 12 Mà Vậy IJ 14cm NJ / / HC , N AC , J AH B.Phần II Trình bày lời giải Bài 11 2x x c) Giải phương trình : x x x x Nếu x 0 thay vào phương trình cho ta thấy x 0 không nghiệm pt Nếu x 0 phương trình Khi phương trình có dạng x 1 x x 1 x Đặt a x x 2a a a 3 2 a a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 3a 5a 5a 3a 14 0 5a 10a a 14 0 a 2 x x 2 x x 0 x 1(tm) a 5a 0 a 7 51 x x x 10 20 0(VN ) S 1 Vậy tập nghiệm phương trình a z y 2x y z d) Tìm a biết x y x z x z Do z y 0; x y z 0 nên áp dụng tính chất dãy tỉ số ta : a a a 3 a 3a x y x z z y x 2y z x z z y x 2y z Do x z a a z y x 2y z z y x 2y z 9 a a 4 a 2 Vậy a 2 Bài 12 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Hai đường cao AD BE cắt H A E K H G O C D M B d) Chứng minh BC AD AC.EC Xét CDA CEB có : C chung , CDA CEB 90 AC AD BC AD AC EC dfcm BC EB e) Kẻ trung tuyến AM , BK cắt G Gọi O giao điểm ba đường trung trực Chứng minh AHB ∽ MOK Do MB MC , M BC , KA KC , K AC ( gt ) MK đường trung bình ABC CDA ∽ CEB ( g.g ) MK / / AB, MK AB Xét ABC có O giao đường trung trực, MB MC , M BC OM đường trung trực BC OM BC Mặt khác AD BC OM / / AD Tương tự OK / / BE Ta có AB / / KM , BE / / KO, ABE , OKM hai góc nhọn ABE OKM (góc có cạnh tương ứng song song) hay ABH OKM Tương tự BAH OMK Xét AHB MOK có : BAH OMK , ABH OKM AHB ∽ MOK ( g g ) OM GO T AH GH f) Tính giá trị biểu thức OM MK MK OM cmt 1 AH AB mà AB AH Do GM GA (2) Xét ABC có AM trung tuyến , G trọng tâm GM OM Từ (1), (2) GA OH GM OM cmt , GAH GMO(do AH / /OM ) Xét GAH GMO có : GA AH GAH ∽ GMO (c.g c ) AHB ∽ MOK (cmt ) GO OM GO OM GH AH GH AH GO OM GO OM GH AH GH AH (Tính chất dãy tỉ số nhau) Bài 13 Cho a, b hai số không âm thỏa mãn 2a b 4 2a 3b 6 Tìm GTNN GTLN biểu thức P a 2a b *Tìm GTNN Áp dụng bđt AM-GM ta Dấu xảy a a2 4 a 3 4 4 P a 2a b a 2a b a 2a b 9 Khi Hay P 2a 3b 22 2a 3b 6 2a 3b P Lại có 14 a ;b Dấu xảy *Tìm GTLN Từ 2a b 4, b 0, a 0 a 2 a a 0 Mà b 0 b 0 Do P a 2a b 0 Dấu xảy b 0, a 0; Vậy Max P 0 b 0, a 0; 2