SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI OLYMPIC THÁNG LỚP THCS NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm : 120 phút Ngày thi : 23/3/2023 Câu (3,0 điểm) n 1 n 3 n n Chứng minh 4.5 2.5 chia hết cho 18 với số nguyên dương n 2 Phân tích đa thức 3x 13x y 13 y y thành nhân tử Câu (3,0 điểm) x y y2 x2 y x2 : xy x y x y x y x y x y với xy 0, x y Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức A A 3 2) Tính giá trị A x, y thỏa mãn x y xy x y Câu (3,0 điểm) x2 x 1 x2 5x 1 x 1 1) Giải phương trình x x; y 2) Tìm tất cặp số nguyên dương thỏa mãn phương trình xy xy 27 y x 0 Câu (3,0 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên n cho n 3n số phương Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm tùy ý cạnh BC (M khác B C) Kẻ tia Ax vng góc với tia AM cắt CD N Gọi H trung điểm MN , tia AH cắt CD K Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AK E 1) Chứng minh AM AN tứ giác EMKN hình thoi 2) Chứng minh NA NC.NK 3) Khi điểm M thay đổi cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC khơng đổi Câu (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC BD Vẽ CE vng góc với AB E CF vng góc với AD F Cho biết đường chéo AC a, tính AB AE AD.AF theo a ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) n 1 n 3 n n Chứng minh 4.5 2.5 chia hết cho 18 với số nguyên dương n Với số nguyên dương n ta có : 4.5n 1 2n 3 2.5n 2n 4.5n 1 2.5n n 2n 3 5n 4.5 2n 24 5n.18 n 1.18 5n.1818 2n 1.1818 18 n 18 18 n n 1 Vì nên hay 4.5 2 Phân tích đa thức 3x 13x y 13 y y thành nhân tử n 3 2.5n n chia hết cho 18 3x 13 x y 13xy y 3 x y 13 xy ( x y ) 3 x y x xy y 13 xy ( x y ) 3 x y x xy y 13 xy 3 x y x 12 xy y Câu (3,0 điểm) A Cho biểu thức x y y2 x2 y x2 : xy x y x y x y x y x y với xy 0, x y 3) Rút gọn biểu thức A Với xy 0, x y ta có : x y y2 2x2 y x2 A : xy x y x y x y x y x y y2 x y x2 x y x y 2x2 y : xy x y ( x y ) x y ( x y ) x y ( x y ) x y xy y x y x x y x y xy y x y x : : 2 xy xy x y ( x y)2 x y ( x y)2 x y x y x y y x x y : x y xy x y ( x y ) xy xy x3 y xy x y x , y A 4) Tính giá trị thỏa mãn Ta có : x y xy ( x y ) x y x y xy 0 x3 y xy y x y xy 0 x y xy y x y xy 0 x y x xy y y x y xy ( x y ) 0 x y x xy y 0 x 2 y (do x xy y 0) x 2 y A Thay Câu (3,0 điểm) x y xy y y 2y 2 x2 x 1 x2 5x 1 x 1 3) Giải phương trình x 1 x 1, x Khi : ĐKXĐ: x x 1 x 1 x 1 x 1 x 5x 1 x 1 x2 x 1 x2 5x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 0 x3 x x 0 x 1 x 1 x x 0 x 1 x x 0 x 2 (tmdk ) x 2 S 1; 2; 3 Vậy tập nghiệm phương trình : 4) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn phương trình xy xy 27 y x 0 xy xy 27 y x 0 x Từ 27 y 27 y * y y 1 y 1 2 0 27 y 27 27 0x 4 y 1 Mà x nguyên dương nên x 1; 2;3; 4;5;6 Thay x vào * x 6 tìm Vì y 1 nên y 1 4 Khi y 2 thỏa mãn yêu cầu tốn Câu (3,0 điểm) 2) Tìm tất số tự nhiên n cho n 3n số phương Xét A n 3n 8, A số phương 4A số phương Khi giả sử A a a * Suy : 4n 12n 32 a 2n 2.2n.3 32 23 a 2 2n 3 23 a a 2n 3 23 a 2n 3 a 2n 23 23.1 Vì n , a * nên a 2n a 2n a 2n a 2n 23 a 12 a n n 4 Do Thử lại thấy n 4 A 4 3.4 36 số phương Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm tùy ý cạnh BC (M khác B C) Kẻ tia Ax vuông góc với tia AM cắt CD N Gọi H trung điểm MN , tia AH cắt CD K Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AK E A B E M H N D K C 4) Chứng minh AM AN tứ giác EMKN hình thoi Xét ABM ADN có : AB AD, ABM ADN 90 , BAM DAN (cùng phụ với DAM ) Nên ABM ADN (ch gn) AM AN (cạnh tương ứng) (1) Mà ME / / AB ME / / DC ME / / NK Từ (1) (2) suy EMKN hình bình hành (3) Lại có AM AN nên AMN cân A, mà H trung điểm MN nên AH đường trung tuyến đồng thời đường cao Suy AH MN hay EK MN Từ (3) (4) suy EMKN hình thoi 5) Chứng minh NA NC.NK NK NH NK NC MN NH * MN NC Ta có AN NH ANH ∽ MNA( g.g ) NA2 MN NH (**) MN NA Từ (*), (**) suy NA NC.NK 6) Khi điểm M thay đổi cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC HNK ∽ CNM ( g g ) khơng đổi Ta có : Chu vi tam giác MKC MK MC KC Vì ABM ADN (câu 1) nên MB ND Mặt khác EMKN hình thoi nên MK NK Khi : MK MC KC NK MC KC ND DK KC MC MB DK KC MC MB MC DK KC BC DC 2BC (constast ) Vì B,C cố định nên BC cố định Do , M di chuyển BC chu vi tam giác MKC không đổi Câu (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC BD Vẽ CE vng góc với AB E CF vng góc với AD F Cho biết đường chéo AC a, tính AB AE AD.AF theo a E C B H D A F Kẻ BH AC H AC Ta có AEC ∽ ABH Achung AB AH AB AE AH AC 1 nên AC AE Xét hai tam giác vng AFC CHB có CAF BCH (so le ) Nên AFC ∽ CHB( g g ) AF AC AF BC AC.CH CH BC Mà BC AD AF AD AC.CH 2 Từ (1) (2) suy AB AE AF AD AC AH AC.CH AC AH CH AC a Vậy điều phải chứng minh