103 đề hsg toán 8 hoằng hóa 2012 2013

PHỊNG GD&ĐT HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC: 2012-2013 Ngày thi: 17/04/2013 Bài (4 điểm)  x   2x  A    : 2   x  x  x x 1   Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A  A Bài (6 điểm) a) Giải phương trình: x  x  x  0 2 b) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x  x  10  y 3 c) Cho a  b  c 3abc với a, b, c 0 a  b  c  P          c  a  b  Tính giá trị biểu thức Bài (4 điểm) a) Tìm số có chữ số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x  y  z 1 1 M   16 x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB a 12cm, BC b 9cm Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD b) Tính độ dài đoạn thẳng AH c) Tính diện tích tam giác AHB Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC Gọi M , N điểm cạnh AB BC cho BM BN Gọi G trọng tâm BMN I trung điểm AN Tính góc tam giác ICG ĐÁP ÁN Bài 1 a) ĐKXĐ:   x  1  x     x   x2  A    x    2x  x2     x2  x  x x 1; x   x 1( ktm)  x 0(tm)   x ,   x A b) nguyên, mà nguyên nên từ tìm  Vậy x 0 c) Ta có: A  A  A 0   x   x   x  Kết hợp với điều kiện : Bài  x  1  x3  x  x   0 a) Phân tích   x  1  x    x  x   0 (1)  x  0  x 1 x  x     1     x  0  x  Vì x  x  10  y   x  1  y 11 (2) b) Ta có:   x   y   x   y  11 Vì x, y   nên x   y  x   y  (2) viết thành:  x   y   x   y  11.1  x   y 11    x   y 1 Vậy  x; y   5;5   x 5   y 5 c) Biến đổi giả thiết dạng: 2  a  b  c    a  b    b  c    c  a   0  a  b  c 0   a b c   c   a   b  P        b c     a  a  b  c  Với tính được: Với a b c tính được: P 2.2.2 8 Bài a) Gọi số có ba chữ số cần tìm abc Ta có: abc  98a  7b   2a  3b  c Vì abc7  2a  3b  c7 (3) Mặt khác, a  b  c7 (4), k ết hợp với (3) suy b  c7 Do b  c nhận giá trị  7;0;7 Với b  c   c b  Kết hợp với (4) ta chọn số 707;518;329 thỏa mãn Với b  c 7  b c  Đổi vai trò b c trường hợp ta cặp số 770,581,392 thỏa mãn toán Với b  c 0  b c mà (4) nên a  2b7 Do a  2b 27 nên a  2b nhận giá trị 7;14;21 Từ ta chọn 12 số thỏa mãn 133;322;511;700;266;455 ;644;833;399; 588; 777;966 Vậy có 18 số thỏa mãn tốn: 707;518;329;770;581;392 ;133;322;511;700 ;266 ;455;644;833;399;588;777;966 b) Vì x  y  z 1 nên: 1  1 1 M       x  y  z 16 x y z  16 x y z  21  x y  x z  y z          16  y 16 x   z 16 x   z y  Ta có: 2 x y 16 x  y  x  y   2.4 x.2 y  x  y  1        x , y   y 16 x 64 xy 64 xy 64 xy 4 x z y z   ;  1 x, y   z 16 x z y Tương tự:   x 7 4 x 2 y z      x  y  z 1   y   x, y , z     21 1 49 x  M    1    16 16 Dấu " " xảy Từ 49  x  ; y  ;z  7 Vậy GTNN M 16 Bài A D B H C a) Chứng minh AHB BCD( g g ) AH AB a.b AHB BCD (cmt )    AH  BC BD BD b) 2 Áp dụng định lý Pytago được: BD  AD  AB  225 15  cm  12.9 AH  7,2(cm) 15 Từ tính được: AH 7.2 k  BC  AHB   BCD c) theo tỉ số Gọi S , S ' diện tích BCD AHB , ta có: S 54cm 2 S'  7.2   7.2  k    S '   54 34,56(cm ) S     Vậy diện tích tam giác AHB 34,56(cm ) Bài B G M N P K I C A Ta có BMN tam giác , nên G trọng tâm BMN Gọi P trung điểm MN, GP  Ta có: GN (tính chất trọng tâm tam giác đều) PI PI GP PI     (1) Lại có: MA NC suy GN NC 0    Mặt khác: GPI GPM  MPI 90  60 150 0      Và GNC GNP  PNC 30  120 150 , : GPI GNC (2) GI  GC   Từ (1) (2) suy GPI GNC (c.g c )  PGI NGC    IGC 600 IGC PGN 600 Mà   1 IK  GC GI GK  GC , 2 Gọi K trung điểm GC suy GIK nên Điều chứng tỏ GIC vuông I    Vậy GIC 90 ; IGC 60 ; GCI 30