PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang ĐỀ GIỚI THIỆU Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: a/ a2 – 7a + 12 b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz d/ (x2 - 8)2 + 36 Bài 2: (4,0 điểm) Tìm x, biết: a/ x 12 ; c/ x 4 ; : x ; 4 x x x x 1 d/ 2011 2012 2013 2014 b/ Bài 3: (2,0 điểm) a 4a Tìm a Z để A số nguyên a 2a a b/ Tìm số tự nhiên n để n5 + chia hết cho n3 + Bài 4: (2,0 điểm) a b 3 c a/ Tìm a, b, c biết 5a - 3b - 4c = 46 b/ Tìm số hữu tỉ a b biết: a + b = ab = a : b (b 0) Bài 5: (2,0 điểm) 1 a/ Cho a + b + c = = Tính a b c a b c 1 1 b/ Cho a + b + c = 2014 a b a c b c 2014 a b c Tính: S = b c a c a b Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ 90 Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ đường thẳng AB vẽ AF vng góc với AB AF = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ đường thẳng AC vẽ AH vng góc với AC AH = AC Gọi D trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm I cho DI = DA Chứng minh rằng: a/ AI = FH ; b/ DA FH Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự trung điểm AB, CD a/ Chứng minh đường thẳng AC, BD, EF cắt trung điểm đường b/ Gọi giao điểm AC với DE BF theo thứ tự M N Chứng minh EMFN hình bình hành Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: A x x 1 x 3 x x 10 a/ Cho A = HẾT - HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN Bài 1: (4 điểm) a/ a2 – 7a + 12 = a2 – 3a – 4a + 12 = a(a – 3) – 4(a – 3) = (a – 3)(a – 4) b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 + 2014x2 + 2014x + 2014 – x3 + = x2(x2 + x + 1) + 2014(x2 + x + 1)–(x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x4 + 2014 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x4– x + 2015) c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz = = (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) d/ (x2 - 8)2 + 36 = (x2+ 6x+10)(x2 -6x +10) Bài 2: (4 điểm) 2 a/ x 12 x 16 x 24 Vậy x = -24 3 1 15 15 1 x : x b/ : x : x Vậy x = 4 4 4 15 15 c/ x 4 Xét trường hợp: * Nếu x 5/3 ta có: 3x - = 3x = x = (t/m ĐK trên) * Nếu x < 5/3 ta có: 3x-5 = - 3x = x = 1/3 (t/m ĐK xét) Vậy x = ; x = 1/3 x x x x 1 x x x x 1 1 1 1 1 d/ 2011 2012 2013 2014 2011 2012 2013 2014 x 2015 x 2015 x 1015 x 2015 2011 2012 2013 2014 1 x 2015 0 2011 2012 2013 2014 1 1 x 2015 0 x 2015 0 2011 2012 2013 2014 Vậy x = - 2015 Bài 3: (2,0 điểm) a/ Rút gọn A = a a = 1; a = Để A nguyên nguyên a b/ n5 + n3 + n2 (n3 + 1) - (n2 - 1) (n3 + 1) (n + 1)(n - 1) (n3 + 1) (n + 1)(n - 1) (n + 1)(n2 – n + 1) (n - 1) (n2 – n + 1) (vì n + 0) + Nếu n = 1 + Nếu n > (n - 1) < n(n - 1) + < n2 – n + nên xảy n - n2 – n + Vậy giá trị n tìm n = Bài 4: (2,0 điểm) a/ Ta có: a b c 5a 3b 4c 20 10 12 24 a b c 5a 3b 4c 20 10 12 24 Vì 5a - 3b - 4c = 46 nên: a b c 46 52 2 26 26 Suy a - = - a = -3; b + = - b = -11; c - = -12 c = - Vậy a = -3; b = - 11 ; c = - b/ Ta có a + b = ab a = ab - b = b(a-1) Do đó: a : b = b(a - 1) = a - nên a + b = a - b = -1 a = -1(a - 1) a = -a + 2a = a = 0,5 Vậy a = 0,5 ; b = -1 Bài 5: (2,0 điểm) a/ Phân tích giả thiết để suy đfcm 1 Phần có a+b+c thay = a b c 1 1 b/ Ta có: a b a c b c 2011 a + b + c = 2014 a = 2014- (b + c); b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b) Do đó: 2014 b c 2014 a c 2014 a b S b c a c a b 2014 2014 2014 1 1 1 b c a c a b 1 2014 b c a c a b 1 = 2014 2014 Vậy S = - Câu 6: (3,0 điểm) H K Phân tích A F B D C a/ - Xét BDI CDA có: DB = DC (gt), I (đối đỉnh), DA = DI (gt) BDI CDA BDI = CDA (c.g.c) BI = CA (2 cạnh tương ứng), (2 góc tương ứng) Mặt khác góc vị trí so le nên suy BI//AC BID CAD - Xét ABI FAH có: AB=AF (gt), ABI FAH (cùng bù với BAC ), BI = AH (cùng = AC) ABI = EAH (c.g.c) AI = FH (2 cạnh tương ứng) b/ Gọi K giao điểm DA FH ta có: BAI FAK 900 , mà AFH BAI hay AFK BAI nên AFH FAK 900 - Xét AFK có AFH FAK 900 FKA 900 AK FK AI FH (vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH) Bài 7: (2 điểm) a/ - Hình vẽ: - Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD, ta có O trung điểm BD - Chứng minh BEDF hình bình hành - Có O trung điểm BD nên O trung điểm EF D - Vậy EF, BD, AC đồng quy O b/ Xét ABD có M trọng tâm, nên OM OA - Xét BCD có N trọng tâm, nên ON OC - Mà OA = OC nên OM = ON - Tứ giác EMFN có OM = ON OE = OF nên hình bình hành Bài 8: (1 điểm) A x x x x x 12 10 A E // // B M O N // F // C Đặt x x = t A t t t 10 t 6t t 3 1 A t Min 1 đạt t = -3 A x Min 1 đạt x x = -3 x2 - 7x + = x = 13 ; x = 13 2