111Equation Chapter Section 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS, NĂM HỌC 2020-2021 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 30/03/2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,00 điểm) 3 a) Chứng minh 13 13 1 3 b) Biết đa thức x x px 4qx r chia hết cho đa thức x x x Tính giá trị biểu thức p q r xy 2 x y xy 5 2 x y xy 10 4 xy Câu (3,50 điểm) Giải hệ phương trình : 2 Câu (2,50 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y 13 Câu (3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Tiếp tuyến B C cắt D Gọi E , F giao điểm DA với BC , H giao điểm OD với BC a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) K (khác A Chứng minh E , H , K thẳng hàng Câu (3,00 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức : P x y với x 0, y 0, 1 1 1 xy x y x xy y Câu (3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H trực tâm, I đường tròn nội tiếp Gọi D, E , F tiếp điểm I với BC , CA, AB Gọi K hình chiếu vng góc D EF a) Chứng minh FKB EKC b) Gọi P, Q giao điểm HB, HC với EF Chứng minh đẳng thức EK FP FK EQ c) Chứng minh KD phân giác HKI ĐÁP ÁN Câu a) Chứng minh Ta thấy A3 10 3 13 13 1 13 13 10 A A 1 A 1 A2 A 10 0 A A 10 0(VN ) Vậy A 1 b) Biết đa thức x x px 4qx r chia hết cho đa thức x3 x x Tính giá trị biểu thức p q r x x px 4qx r x a x x x Giả sử x a 3 x 3a x (9a 3) x 3a 4 a 6 p 3a q a r 3a Đồng thức hệ số bậ hai vế, ta : Suy p q r 15 a 1 p 2 q 3 r 3 xy x y xy 5 2 x y xy 10 4 xy Câu Giải hệ phương trình : Điều kiện : xy 0,2 x y xy 0 Đặt u xy, v 2 x y xy u, v 0 , hệ phương trình cho trở thành : u v 5 1 v 10 4 u Từ (2) v 4 10 4u 10 v u u Thay vào (1) ta : u 5u 5 u 10u 25 0 u 5 v 2 4u 10 Ta hệ phương trình : xy 5 2 x y xy 2 xy 5 2 x y 7 x x 5 2 x y 7 x 1 y 5 2 x x 0 y x x y 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ;2 x; y 1;5 , 2 Câu Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y 13 (*) * x 1 5 y Ta có : x 1 5 y 2 Do 2,5 1 nên 2 Đặt x 5k ,3 y 2l , ta có: 10k 10l k l k , l k x 5k 0 k l 1 x 2; y 1 y 3 2l 0 l Do Phương trình có nghiệm ngun x; y 2; 1 ; 2;1 ; 2; 1 ; 2;1 Câu Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Tiếp tuyến B C cắt D Gọi E , F giao điểm DA với BC , H giao điểm OD với BC K A O C B H F E D a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA Theo tính chất tiếp tuyến BC OD Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD, với CH đường cao ta có : OA OD OH OA OAH ∽ ODA(c.g c) b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) K (khác A Chứng minh E , H , K thẳng hàng OC OH OD OA2 OH OD Từ câu a) ta có OAH ∽ ODA OHA OAD OEA 1 OAEH tứ giác nội tiếp EHD EAO OAD Từ (1) (2) EHD OHA 3 Dễ thấy ABH KCH (c.g.c) HA HK hay AKH cân H (4) Vì OH BC , AK / / BC OH AK Từ (4) (5) suy OH phân giác AHK OHA OHK Từ (3) (6) OHK EHD Suy EHO OHK EHO EHD 180 , hay điểm E , H , K thẳng hàng Câu Tìm giá trị lớn biểu thức : P x y với x 0, y 0, 1 1 1 xy x y x xy y 1 1 1 x y x xy y x 0, y 0 xy x y x xy y Giả thiết P x3 y x y x xy y x y Do x y xy 2 Để ý : x y x xy y x y 3xy 2 x y x y x y x y x y Suy Hay x y 4 x y 16 Vậy Max P 16 x y 2 Câu Cho tam giác ABC nhọn, có H trực tâm, I đường tròn nội tiếp Gọi D, E , F tiếp điểm I với BC , CA, AB Gọi K hình chiếu vng góc D EF A F M Q E P K N I H B D C a) Chứng minh FKB EKC Gọi M , N theo thứ tự hình chiếu B, C lên EF Khi : BFM AFE AEF CEN BFM ∽ CEN BM BF BD CN CE CD Mặt khác, BM / / DK / / CN , theo định lý Ta – let ta có : BD MK BM MK BMK ∽ CNK (c.g c ) FKB EKC CD NK CN NK b) Gọi P, Q giao điểm HB, HC với EF Chứng minh đẳng thức EK FP FK EQ Dễ chứng minh BFP CEQ, FBP ECQ (cùng phụ BAC ) FB FP BFP ∽ CEQ( g g ) 1 EC EQ Do Theo a) FKB EKC Kết hợp với BFK CEK BFK ∽ CEK ( g g ) FB FK 2 Suy EC EK FP FK EK FP FK EQ(dfcm) EQ EK Từ (1) (2) c) Chứng minh KD phân giác HKI b) Theo FP FK FP FK KP EK FK EK FK EF 3 EQ EK EQ EK KQ QK PK QK PK QP Hơn nữa, IE / / HP, IF / / HQ, IE IF IEF HPQ IFE HQP Do IEF ∽ HQP ( g.g ) Ta có: IEF ∽ HQP IE EF 4 HQ QP EK IE IKE ∽ HKQ (c.g c ) IKE HKQ QK HQ Từ (3) (4) ta có : Suy IKD 90 IKE 90 HKQ HKD Hay KD phân giác IKH