ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ĐỨC THỌ MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2019-2020 Bài Rút gọn biểu thức sau : a) A 10 10 x2 y b) B xy x y x2 x x y x y y2 xy 0, x y y x y Bài 2.Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y xy x 12 0 Bài Giải phương trình sau : 5 x x a) x x 6 x 1 x 1 b) x 10 2013 x 2014 14 1 Bài Cho ABC vuông A AC AB , đường cao AH H BC Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh BEC ∽ ADC Tính BE theo m AB b) Gọi M trung điểm BE Chứng minh BHM ∽ BEC Tính AHM GB HD c) Tia AM cắt BC G Chứng minh : BC AH HC Bài a) Cho x3 y x y x y 0, xy 1 M x y Tìm GTLN b) Với a, b, c số thực dương Chứng minh : a5 b5 c5 a b3 c3 a ab b b bc c c ca a ĐÁP ÁN Bài a) Đặt x 10 10 x 8 8 6 x A 1 x y x x y y b) B 1 x x y y x y Xét trường hợp x y 0; y x 0; x y 0; y x B 1 Bài y xy x 12 0 y xy 28 x 48 0 y 49 x y y y x 2 y 1 x 2 y x y 4 2 y x 2 y x 1 y 3 Bài 5 x x 2 a) x x 6 x x x 6 x 1 x 1 x 1 x x 11x 13 x 0 x x3 11x 13 x 0 x x x x 3 0 S 1;2 b) x 10 2013 x 2014 10 1 x 2013 x 2014 1 Ta có: x 2013, x 2014 hai nghiệm phương trình Ta chứng minh nghiệm Xét x 2013 x 2014 x 2014 7 x 2014 x 2013 x 2014 0 x 2013 2013 x 2014 x 2014 Xét 0 x 2013 0 x 2014 x 2013 x 2013 x 2014 x 2014 x 2013 x 2014 x 2013 x 2014 x 2013 2014 x 1 Xét x 2014 x 2014 x 2013 x 2013 x 2013 x 2014 Vậy phương trình có nghiệm x 2013; x 2014 Bài A m B M H G E D EDC BAC 900 ( gt ) EDC BAC a) Xét có: C chung C EDC ∽ BAC ( g g ) EC BC DC AC Xét BEC & ADC có: EC BC DC AC BEC ∽ ADC (c.g.c) BEC ADC C chung Mặt khác AH HD ( gt ) AD 45 ADC 1350 BEC 1350 AEB 450 AEB vuông cân A Do BE m AHB CAB 900 ( gt ) AHB ∽ CAB ( g g ) B chung CAB AHB b) Xét có AB BH AB BH BC AB 2 BH BC BC AB BE BH BM BH BE 2.BH BC BC BE BC BE (Vì BE 2 BM ) BM BH BHM ∽ BEC (c.g c) BC BE MBH chung 0 Xét BHM BEC có: BHM BEC 135 AHM 45 c) Xét AHC BAC có : AHC BAC 900 ( gt ) AHC ∽ BAC ( g g ) AH AB 1 HC AC C chung Mặt khác AEB vng cân A có AM trung tuyến AM phân giác GB AB 2 GC AC AG ABC đường phân giác Suy Từ (1) (2) ta có: GB AH GB.HC AH GC GB.HC GC HC AH BC GB GB.HC AH BC AH GB AH GB GB.HC HD.BC Do HD AH GB. AH HC HD.BC GB HD BC AH HC Bài a) x y x y x y 0 x y x xy y x xy y x xy y x y 0 2 x y x y x 1 y 1 2 0 x y 0 x y mà xy x, y Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: x y x y 1 xy 1 2 xy 1 x y M Max M x y x y xy Vậy b) Áp dụng BĐT Bunhia mở rộng ta có: a5 b5 c5 a6 b6 c6 a ab b b bc c c ca a a a 2b ab b b 2c bc c c 2a ca a b3 c a b3 c a 2b ab b 2c bc c 2a ca Mặt khác a b 0 a ab b ab a b ab a b 3 3 b c bc b c , c a ca c a Tương tự : Suy : a b3 c3 ab a b bc b c ca c a a b3 c3 a b3 c ab a b bc b c ca c a a b3 c3 a b3 c 3 a b c a 2b ab b 2c bc c a ca