ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 2019-2020 HUYỆN KỲ ANH Bài A a) Tính giá trị biểu thức : b) Cho xy 3 10 x y 1 Tính giá trị 2 3 10 2 : x y y x Bài Giải phương trình sau : a) x 12 x x 36 b) x 3x x 3 x Bài 3x y 35 a) Tìm số thực x, y thỏa : x y 1 1 x y z x 6 2018 2019 2009 y x z b) Cho : Tính P x y z Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH AB , CH BH 10 a) Biết AC Tính BC b) Lấy điểm D đối xứng với C qua A Gọi I trung điểm AH Chứng minh BI DH HC c) Gọi K điểm đối xứng với I qua A, biết HB Chứn Bài Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức : P ab bc ca a b 2c b c 2a a c 2b ĐÁP ÁN Bài a) A 3 10 3 10 A 3 3 2 56 5 3 3 6 A 11 11 b) Từ giả thiết xy x y 1 x y x y xy x y 1 2 2 2 2 2 (bình phương vế) x y x y xy x y 0 Mặt khác: x y2 y x2 2 x y x y xy 1 x 1 y 2 Vậy x y y x 0 Bài a) x 12 x x 36 x x 36 12 x x x 1 x x 6 x x x 1 2 Giải (1) vô nghiệm x x Giải (2) b) x 3x x 3 x x 3x x x x 0 2 Đặt a x, b x ta có: b 3a ab 3b 0 b a 1 b a b 3 0 b 3 Giải 1 vô nghiệm Giải x 2 Bài 3x y a) Ta có: 4x2 y2 35 9 x y 1 x y 1 35 2 27 27 x y 1 x y x y x y 4 x y 12 xy 3 27 x y 12 xy 0 9 x y xy 0 4 2 3 x y 0 x 4 y 2 4y 4y 35 x y 1 y 1 y x 9 35 35 Hay b) Áp dụng x2 1 1 1 2; y 2; z 2 x y z x 6 x y z y x z 2 Đẳng thức xảy x 1, y 1, z 1 x 1, y 1, z 1 Khi x 2018 x 1009 y 2019 z 2009 y. y 12009 1 1009 z z 1004 y.1 z.1 y z +)Nếu y z 1 P 1 3 +)Nếu y 1, z 1hay y 1, z 1 P 1 1 +)Nếu y z P 1 Bài B H M I D K A C AB BH CH 49 a) Đặt CH x BH x 10 mà AC x 10 x 12,25 BC 14,5 x 49 b) Gọi M trung điểm HC suy IM / / AC IM AB Vậy I trực tâm tam giác MBA BI AM mà AM / / DH BI DH a a2 IH a a a2 2 BH a CH AH IH IC 4 4 c) Đặt a a a2 IA.IK IC IK IA IKC ICA(c.g c ) IAC ICK CKA CAI HIC 450 (do HIC vuông cân) Bài Ta có: a b 2c a c b c 2 a c b c (bất đẳng thức Cô si) ab a b 1 a b 1 a b a b 2c a c b c 2 a c b c a c b c (Cô si) bc 1 b c ac 1 a c Tương tự ta có: b c 2a a b a c a c 2b a b b c Cộng vế theo vế tương ứng ta có: P ab bc ac 1 a b b c c a a b 2c b c 2a a c 2b a b b c c a Pmax a b c Vậy