019 đề thi hsg toán 9 2019 2020 huyện quan sơn

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP – HUYỆN QUAN SƠN NĂM HỌC 2019-2020 P Câu 1.Cho x x  2x  x  x x  2x  x   x x x x x  x 2 Rút gọn P Với giá trị x P  Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Câu Giải phương trình: 1)  x  x    x  10 x  18   12 x  39 0 2) x  x 2 x  x   Câu Tìm số nguyên x để biểu thức x  x  x  số phương Chứng minh với a, b, c dương ta ln có: 1    a   b  b   c  c   a   abc Câu Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H Chứng minh : AF AB  AH AD  AE AC H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Gọi M , N , P, I , K , Q trung điểm đoạn thẳng BC , AC , AB, EF , ED, DF Chứng minh đường thẳng MI , NQ, PK đồng quy Gọi độ dài đoạn thẳng AB, BC , CA a, b, c; độ dài đoạn thẳng AD, BE , CF a ', b ', c ' Tính giá trị nhỏ biểu thức  a  b  c a '2  b '2  c '2 Câu Cho hai số dương a, b thỏa mãn a  b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu 1 A  ab a  b thức ĐÁP ÁN Câu 1.P   x  1  x   x  1  x  1 x  1   x  1 x  1 x x     x  1  x  1  x  1  x  1 x1 x   x  1   x  1 2x      x 1 x1  x  1 x  1 x    x x  2x  x  x x  2x  x   x x x x x  x 2   x  2 x   x  1 2   x   x  1 2 2 P Ta có: 2 2x  2x   4  2  x x x x  có giá trị lớn  x  số nguyên dương P có giá trị lớn nhỏ  x  1  x 2 2 Câu x  x    x  10 x  18   12 x  39 0 2 Đặt x  x  a; x  10 x  18 b Ta có: a  b  x  x     x  10 x  18  4 x  10  12 x  39  12 x  30   3  x  10   3  a  b   Khi ta có phương trình : ab   a  b   0  ab  3a  3b  0   ab  3a    3b   0  a  b  3   b  3  b  3  a   0  b     a 3  x  10 x  18    x  x     x  10 x  21 0   x  x     x 3, x 7  x 1, x 5  2.x  x 2 x  x    x  x   x  x  0   x  x    x  x   0 3 Đặt x  x  a  x  x  a Khi ta có phương trình : a  2a  0   a    a  2a   0  a  0  Do a  2a     a   x  x    x  x    x 2  x  x  0    x 3 Câu x4  x2  x   x  x3  x    x3  x  x    x  x   x  x  x  1  x  x  x  1   x  x  1  x  1 x  2x  2 Đặt x  x  x   A  a   Vì  x  1 , A số phương nên suy x  x  phải số phương x  x  a  a    a   x  x  1 1  a   x  1 1   a  x  1  a  x  1 1  a  x  1  a  x  1 Do a, x       a  x     a  x    a  x 0   a  x 2   a  x    a  x 0  a 1    x 1  x 1  a     x 1 1    a   b  b   c  c   a   abc   abc  abc  abc   3 a 1  b b1  c c 1  a   abc  a  ab  abc  b  bc  abc  ca  c   6 a 1  b b1  c c1  a    Mà 2   a    ab  abc     c    bc  abc     a    ca  abc  6 a 1 b b1  c c 1  a    a   ab   c     c   bc   a     a   ca   b  6 a 1  b b1  c c 1  a a 1  b b1  c c1  a 1 a 1 b 1 c      6 a 1  b 1 a b 1  c 1 b c 1  a 1 c a 1  b b1  c c1  a 1 a 1 b 1 c      a 1  b 1 a b 1  c 1 b c 1  a 1 c  a a 1  b  b b1  c  c c 1  a  2 2 6 a 1  b  a b1  c  b c 1  a  c Câu (luôn đúng) AF AH   AF AB  AH AD AD AB AE AH AEH ADC ( g g )    AE AC  AH AD AD AC Do AF AB  AH AD  AE AC BF CB BF BD CFB ADB ( g g )     BD AB CB AB 2) Ta có: AFH ADB ( g g )  BF BD  , ABC Xét BFD BCA có: CB AB chung  BFD BCA(c.g.c)  BFD BCA  1 Chứng minh tương tự: AFE ACB (c.g c)  AFE BCA  2 Từ (1) (2) ta có: AFE BFD 0 Mà AFE  EFC 90 , CFD  DFB 90  EFC CFD Suy FC phân giác EFD (3) Chứng minh tương tự ta có EB phân giác DEF , DA phân giác EDF Mà H giao điểm ba đoạn thẳng AD, BE , CF (5) Từ (3), (4), (5) suy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF   FN DN   AC    mà FQ QD nên suy NQ đường trung trực 3) Ta có: FD Chứng minh tương tự ta có: IM đường trung trực FE , PK đường trung trực ED Suy MI , NQ, PK ba đường trung trực DFE , mà tam giác ba đường trung trực qua điểm nên đường thẳng MI , NQ, PK đồng quy 4) Vẽ Cx  CF , gọi A’ điểm đối xứng A qua Cx Tứ giác AFCO hình chữ nhật (vì F C O 90 )  BAA ' 900 , AA ' 2CF AA ' có Cx đường trung trực nên AC CA ' Với ba điểm B, C A ' ta có: BA ' BC  CA ' Dấu " " xảy BA ' BC  CA ' , AC CB ABA ' vng A có AB  AA '2 BA '2 mà BA ' BC  CA ', AA ' 2CF nên suy 2 AB  4CF  BC  CA ' 2  AB  4CF  BC  CA   4CF  BC  AC   AB 2  4c '  a  b   c Chứng minh tương tự ta có: 2 4a '2  b  c   a ;4b '2  a  c   b Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: 2  a '2  b '2  c '2   b  c   a   a  c   b   a  b   c   a '2  b '2  c '2   a  b  c    a  b  c 2 a '2  b '2  c '2 4 Dấu " " xảy AC CB  AB hay tam giác ABC Câu Ta có: A a  b 1  ab 1  ab  1  4          4  6   ab a  b  a  b 2ab  2ab  a  b  2ab 12 Dấu " " xảy a b 