023 đề thi hsg toán 9 2019 2020 huyện cẩm thủy

CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN CẨM THỦY NĂM HỌC 2019-2020 Câu  x x  2 2 x  P    :   x  x  1  x x x  x   1) Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P 2) Với a, b, c số thực đôi phân biệt Chứng minh rằng:  2a  b   2b  c    2b  c   2c  a    2c  a   2a  b   2a  b  2b  c  2c  a 3 a b b c c a  a  b  b  c  b  c  c  a  c  a  a  b Câu 2 a) Giải phương trình: 3x    x  x  14 x  0 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x  x  y Câu p p2  khơng tích hai a) Chứng minh với số nguyên tố p số tự nhiên liên tiếp b) Cho hàm số bậc y ax  b có đồ thị đường thẳng qua M  1;4  Biết đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm A có hồnh độ dương, cắt trục tung điểm B có tung độ dương Tìm a, b cho OA  OB nhỏ (với O gốc tọa độ) Câu Cho đường tròn  O; r  nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với cạnh BC D Vẽ đường kính DN  O; r  Tiếp tuyến  O  N cắt AB, AC theo thứ tự P K a) Chứng minh NK CD r b) Gọi E giao điểm AB BC Chứng minh BD CE OA  OB  OC r c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu a, b, c  a 4b b 4c c4a  S     abc 1 a2  b2  c  Cho  Chứng minh ĐÁP ÁN Câu 1)ĐKXĐ: x    x 1     x x 1  x x 1   x  x x  2 2 x  a) P   :   :    x  x x  x x  x   x  x  x x 1     x2 x   x1  x 1 x   x 1 x2 x    x x1 Co  Si x x  1 1 b) P    x 1   x  1 2  x1 x1 x1 x1 x  1 Dấu " " xảy   x1   x1  4 x1  x 4(tm)  x 0(tm)  Vậy Pmin 4  m 4  2a  b  a  b x   2b  c y   b  c   2c  a  c  a z 2) Đặt   3a  a  b x    3b y 1   b  c   3c  c  a z    3b  a  b x    3c y   b  c   3a  c  a z     x  1  y  1  z  1  x    y    z      xy  yz  zx  3  x  y  z    xy  yz  zx x  y  z (dfcm) Câu a) 3x   ( DK :  x 6)  x  x  14 x  0  1 Ta có:  1     3x       x   x  14 x   0 3x   16    x     3x  1  x   0 3x     x 3 x  5 x     3x  1  x   0 3x     x     x  5    x  1 0  3x     x   1    x 5(tm)    3x   vs  x 6  3x     x   Vậy phương trình có nghiệm x 5 b) Có: x  x  y  1  x  x    y Với y 0  x 0( x  2) 2  x   x2    x x4  2x2 x2  y 0   1  1     1  1     y3 y y y y       Với (vô nghiệm) Vậy  x; y   0;0  Câu a) Với tiếp) Với tiếp) p 2  p  p 3  p  p 2 2   2 (khơng phải tích số tự nhiên liên p  3 3  10 2.5 2 (khơng phải tích hai só tự nhiên liên  p 3k  p 3   k   * p 3k   Với p 3k   3k p 3k   p   3k  1  9k  6k   2 Nếu 18k  12k   3k 18k  15k   6k  1  3k      2 (khơng phải tích hai số tự nhiên liên tiếp) p 3k   3k  p 3k   p   3k    9k  12k   2 Nếu 18k  24k   3k  18k  27 k  9     2k  3k  1 2   2k  1  k  1 (khơng phải tích số tự nhiên liên tiếp) p  p2  p tích hai số tự nhiên Vậy với số nguyên tố liên tiếp b) Vì đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm A có hồnh độ dương,  1 cắt trục tung điểm B có tung độ dương  a  Do đồ thị đường thẳng qua M  1;4   a  b 4  b    (do a  0) Cosi Có : OA  OB  OA.OB Dấu " " xảy  OA OB hay OAB cân O b OA OB  b   b  a  1 0  a  1(do b  0) a Vì Với a   b 5  y  x  Vậy a   b 5 OA  OB đạt giá trị nhỏ :  10 Câu A x N P K O B D E C a) Có PK / / BC   DN   AKN ACB (đồng vị) Gọi Kx tia phân giác AKN  Kx / / CO (vì CO tia phân giác ACB ) Mà Kx  KO (tia phân giác phân giác ngoài)  CO  KO  OCK OCB NOK (cùng phụ với NKO) NK NO  DO DC  NK DC NO.DO  NK CD r (dfcm)  NKO DOC ( g g )  b) Ta có: NK CD NP.BD r (cmt ) NK NP  EC BE (vì KP / / BC ) Mà  EC.CD BE.BD  EC  EC  ED   BD  DE  BD  EC  EC.ED BD  ED.BD  EC  BD  EC.ED  ED.BD 0   EC  BD   EC  DB  ED  0  EC  BD 0  EC BD c) A P C' N K B' O C B D A' Gọi SOAC S1 , SOBC S , SOAB S3 OA OB OC OA OB OC      r r OA ' OB ' OC ' Ta có: r OA S S S  S3    S2 Mà OA ' SOA ' C SOA ' B OB S2  S3 OC S1  S2  ;  OB ' S OC ' S3 Tương tự:  OA OB OC S1  S3 S  S3 S1  S      OA ' OB ' OC ' S2 S1 S3 S S  S S  S S             6  S2 S1   S3 S   S1 S3  Dấu " " xảy  S1 S2 S3  ABC OA OB OC   6  ABC r r Vậy r Câu Ta có: a 4b b 4c c 4a 1   a 2b   b 2c   c 2a  2 2 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1  Co  si 2 1     a 2b  b 2c  c a           a b.b c.c a    a 1 b 1 c 1   2a 2b 2c  S  1  3  3abc   3  3   (dfcm) 2  2a 2b 2c  Co  si Dấu " " xảy a b c 1