ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN CẨM THỦY NĂM 2019-2020 Bài ax a x 2ab P 3b a ; b a x a x b Xét biểu thức Cho số dương 1) Chứng minh P xác định Rút gọn P 2) Khi a, b thay đổi Hãy tìm giá trị nhỏ Bài Tìm x; y; z thỏa mãn hệ sau: x3 3x 2 y y y 4 z z z 6 x x 3 3 ;b 2 Bài Với số nguyên dương n 2008, đặt S a b a n 1 b n1 ab a n b n 1) Chứng minh với n 1, ta có: n2 2) Chứng minh với n thỏa mãn điều kiện đề bài, Sn số nguyên Sn a n b n , a 1 n n Sn Tìm tất số n để S n 3) Chứng minh số phương Bài Cho đoạn thẳng AB điểm E nằm điểm A B cho AE BE Vẽ đường trịn O1 đường kính AE đường trịn O2 đường kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN hai đường trịn nói trên, với M tiếp điểm thuộc O1 N tiếp điểm thuộc O2 1) Gọi F giao điểm đường thẳng AM , BN Chứng minh đường thẳng EF vng góc với đường thẳng AB 2) Với AB 18cm, AE 6cm Vẽ đường trịn (O) đường kính AB Đường thẳng MN cắt đường tròn O C D, cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD Bài Cho ABC đường thẳng d cắt AB, AC trung tuyến AM theo thứ tự E , F , N AB AC AM AN a) Chứng minh AE AF b) Giả sử đường thẳng d / / BC Trên tia đối tia FB lấy điểm K , đường thẳng KN cắt AB P, đường thẳng KM cắt AC Q Chứng minh PQ / / BC 3 2 Bài Cho a, b, c Chứng minh 2a 2b 2c a b b c c a ĐÁP ÁN Bài 1) Ta có: a, b, x a x a b 1 a x 0 2 b 1 Xét 1 3 Ta có a x a x 0 a x a x 0 Từ (1), (2), (3) suy P xác định Rút gọn : Ta có: 2ab a b 1 a a x a a x b 1 b 1 b 1 b 1 2ab a b 1 a a x a a x b b 1 b 1 b 1 a a b 1 b b 1 b b b P 3b b b 3b a a b 1 b b 1 b b 1 P 2b 3b 3b 3b b 1 P b 3b 3b 2) Xét hai trường hợp : 4 )0 b 1, a P P 3b b 2b )b 1, a P b 3b 3b b 3b , dấu " " xảy b 1 Ta có : 2b , 3 dấu " " xảy b 1 Mặt khác, 2 4 P b 1 MaxP 3 3 Vậy Bài Biên đổi tương đương hệ ta có : x x 1 2 y y y 1 2 z z z 1 3 x Nhân vế phương trình với ta : 2 x y z x 1 y 1 z 1 x y z x y z x 1 y 1 x 2 x y z 0 y 2 z 2 Thay vào hệ có x y z 2 Vậy x y z 2 z 1 0 Bài n 2 n 2 1) Với n 1 Sn2 a b (1) a b a n1 b n1 ab a n b n a n2 b n2 Mặt khác : Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh 2) Ta có: S1 3; S 7 Do a b 3, ab 1 nên theo 1) ta có: S n2 3Sn1 S n Do S1 , S2 nên S3 ; S2 , S3 S4 Tiếp tục trình ta S5 ; S6 ; ; S 2008 3) Ta có: n n 2 2 Sn 2 2 2 n 1 n n 1 2 n 1 n n (dfcm) 2 1 51 a1 ; b1 a1 b1 5; a1b1 1 2 Đặt n n Xét U n a1 b1 (2) U n2 a1 b1 a1n1 b1n1 a1b1 a1n b1n n Với U n 2 5U n1 U n Ta có : U1 1 ;U ;U 4 ;U 3 Tiếp tục trình ta U n nguyên nên n lẻ Vậy S n số phương n 2k với k và k 1003 Bài F I C M S A O1 EO D N O2 B 1) O1M ; O2 N MN O1M / /O2 N Do O1; E ; O2 thẳng hàng nên MO1E NO2 B Các tam giác O1ME , O2 NB cân O1 , O2 nên ta có: MEO1 NBO2 1 0 Mặt khác ta có : AME 90 MAE MEO1 90 MAE NBO2 900 AFB 900 Tứ giác FMEN có góc vng nên tứ giác FMEN hình chữ nhật NME FEM 3 Do MN MO1 MNE EMO1 90 Do tam giác O1ME cân O1 nên MEO1 EMO1 0 Từ (3), (4), (5) ta có: FEM MEO1 90 hay FEO1 90 (dfcm) 2) Ta có : EB 12cm O1M 3cm O2 N 6cm MN cắt AB S với A nằm S B CD CD OI OI / / O1M / /O2 N O1M SO1 O2 N SO2 Gọi I trung điểm SO2 2 SO1 SO1 O1O2 2SO1 SO1 O1O2 Do O1O2 3 9cm SO1 O1O2 9cm SO SO1 O1O 15cm OI SO OI 5cm O M SO Mặt khác Xét tam giác vuông COI vuông I ta có: CI OI CO CI 25 CO 2 Ta có: CO 9cm CI 25 81 CI 56cm CD 4 14cm Bài A F E B N I C M S a) Kẻ BI , CS / / EF I , S AM AB AI AC AS AB AC AI AS , (*) AE AF AN AN Ta có: AE AN AF AN Ta có: BIM CSM (c.g c) IM MS Vậy AI AS AI AI IM MS 2 AM Thay vào (*) ta đpcm b) A K L N E P F B Q C M Khi d / / BC EF / / BC N trung điểm EF Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP L Ta có: NFP NFL(c.g c) EP LF Do đó: EP LF KF (1) PB PB KB Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt KM H Ta có: BMH CMQ (c.g.c) BH QC FQ FQ KF (2) QC BH KB Do : FP FQ PQ / / BC (dfcm) PB QC Từ (1) (2) suy Bài Do a a b nên : 1 a 1 b a b a 2 b 0 hay a 2b a b 1 3 3 Mặt khác , a, b a a ; b b b a a b 3 3 3 Vậy a b a b, tương tự ta có: b c b c; a b c a 2a 2b3 2c3 a 2b b 2c c a