KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN ĐỨC THỌ - NĂM HỌC 2019 -2020 Bài a) Giải phương trình : x x x x 2 b) Với giá trị tham số a phương trình sau có nghiệm : a x 2a x x 2 * Bài 2 a) Tìm GTNN biểu thức : P x x x 12 x b) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm ngun : x ax a 0 Bài a) Chứng minh đường thẳng d có phương trình m 3 x m y m 0 (m tham số) qua điểm cố định A Tìm tọa độ A x y x 4 (1) x y xy x y 5 (2) b) Giải hệ phương trình : Bài Cho ABC cố định nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng d thay đổi qua A cắt cung nhỏ AB điểm E ( E A) Đường thẳng d cắt hai tiếp tuyến B, C đường tròn O M N, MC cắt BN F Chứng minh : a) CAN ∽ BMA, MBC ∽ BCN b) Tứ giác BMEF nội tiếp đường tròn c) Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định d thay đổi Bài Cho a, b, c Chứng minh : 1 1 1 a 3b b 3c c 3a a 2b c b 2c a c 2a b ĐÁP ÁN Bài 1 2x 2x x 0 2 a) Ta có: 1 x 2x 2x 2x 1 x 0 2 x 0 x Phương trình tương đương : ĐKXĐ: x 2x x x x 2 x 4 1 Ta có: 2x x 1 1 2 x 4 x x 4 2x x 1 2x Do dấu " " xảy x 0 x 3 x 3 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình b) DKXD : x 0 x 4 Phương trình tương đương: Ta có: a x 2a a x 2a x a x 2a x x 3 x (*) 3 ax 0 a x 2a x 0 x 0 x 0 a Để phương trình * có nghiệm phương trình có nghiệm x 4 2 2 a x 2a x 4 x 2a x 0 x 0 Do a 2a 1 0 a 0 a Bài a) P x x x 12 x x 1 x 3 2 x x x x 2 x x 4 Min P 4 x 1 x x x 0 x 2 b) Để phương trình có nghiệm ngun 0 a 4a 0 a 12 a 2 a 2 3; a 2 Khi gọi x1 , x2 nghiệm phương trình.Theo hệ thức Vi – et ta có: x1 x2 a x1 x2 a x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1 x2 1 3 x1 1 x2 1 3 x1 x2 ước Giả sử x1 x2 x1 x2 Ta có hai trường hợp x1 3 x2 1 x1 x1 a 6 va x2 2 x2 x1 0 a x2 Đối chiếu điều kiện ta có: a 2;6 Bài a) Ta có: m 3 x m y m 0 mx my m 3x y 0 m x y 1 y 3x 1 0 (*) với m * x y 0 2 x y 0 x 1 y 2 Vậy đường thẳng d qua điểm cố định A 1;2 b) Từ phương trình (2) suy x y 2 x y 9 x y 9 x y 3 x y Vậy x 4, y 3 x y 1 x 0, y x y x 4(VN ) x; y 4;3 ; 0; 1 Bài N A E M F O C B I K ACN sd AC ABC 60 a) Ta có : MBA sd AB ACB 60 ACN MBA 1 ANC sd EBC AC sd EBC BC sd BE BAM 2 Xét CAN BMA có: ACN MBA CAN ∽ BMA( g g ) ANC BAM CA CN BC CN BC BM BM BA BM CB CN CB BC BM MBC ∽ BCN (c.g c) CN CB Xét MBC BCN có: MBC BCN 120 b) Xét MBC BFC có : BMC CBF MBC ∽ BFC BCM chung (g.g) BFC MBC 120 BFM 600 Mặt khác BCA AEB 180 BEM AEB 1800 BEM BCA 600 Suy tứ giác BMEF nội tiếp c) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) K Ta có: BMF CBF (vì MBC ∽ BFC ), BMF BEF (cùng chắn cung BF ); BMF BCK (cùng chẵn cung BK) Do : CBF BCK BF / /CK (1) BKC sd BAC 1200 KBF 600 Ta lại có : Mà BFC 1200 BK / / FC Từ (1) (2) ta có : BFCK hình bình hành Do EF qua trung điểm I BC cố định Bài 1 x , y x y x y Với ta có: Thật 1 2 x y 4 xy x y 0 x y xy Dấu " " xảy x y Áp dụng toán phụ ta có: 1 a 3b b 2c a a 3b b 2c a a 2b c 1 b 3c c 2a b b 3c c 2a b b 2c a 1 c 3a a 2b c c 3a a 2b c c 2a b Cộng bất đẳng thức ta : 1 1 1 a 3b b 3c c 3a a 2b c b 2c a c 2a b a 3b b 2c a b 3c c 2a b a b c c 3a a 2b c Dấu " " xảy