KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2019 – 2020 MƠN TỐN – TỈNH HẢI DƯƠNG Câu A x 50 x 50 a) Rút gọn biểu thức b) Cho x 2 Tìm giá trị biểu thức x x 50 x 50 B x 3x 3x x 20 x 2018 Câu 4x 3x 6 a) Giải phương trình : x x x x x y xy 16 x y 10 b) Giải hệ phương trình sau : Câu 2 a) Với a, b số nguyên Chứng minh 4a 3ab 11b chia hết 4 cho a b chia hết cho b) Cho phương trình ax bx 0 với a, b số hữu tỉ Tìm a, b biết 5 x nghiệm phương trình Câu Cho điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua B, C O không nằm đường thẳng d ) Kẻ AM , AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M , N Gọi I trung điểm BC , AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P, Q P nằm A O), BC cắt MN K a) Chứng minh điểm O, M , N , I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Câu An n * 2n 1 2n Cho Chứng minh : A1 A2 A3 An ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: A x 50 x 50 x x 50 50 x 50 x 50 x x 50 A x x 50 x x 50 2 x x 50 100 A2 x 2 2 2 Nhưng theo giả thiết, ta thấy A x 50 x 50 x x 50 A 10 b) x 2 x x 3 x x 0 B x5 3x 3x x 20 x 2018 B x x x x x x x x 1 2013 B x3 x x 1 x x x 1 x x 1 2013 B 2013 Câu a) Nhận xét : x 0 khơng nghiệm phương trình Với x 0 , phương trình cho tương đương với 6 6 x 5 x 7 x x t x 6 t 0; t x phương trình trở thành: t t Đặt 4t 3t 6t 12t 6t 5t 0 x t x x 11x 12 0 (tm) 1 x x2 4 t x 3x 23x 18 0 x 23 313 (tm) x x y xy 16 b) I x, y 0 x y 10 Đặt S x y ; P xy S 0; P 0 hệ (I) có dạng S P 16 II S P 10 S 4 P 3 Giải hệ (II) đối chiếu điều kiện ta : x , y hai nghiệm phương trình : t 4t 0 Giải phương trình ta : t1 3; t2 1 Khi Từ suy hệ phương trình cho có hai nghiệm x; y 9;1 ; 1;9 Câu a)4a 3ab 11b 5 5a 5ab 10b 4a 3ab 11b 5 a 2ab b 5 a b 5 a b5 (vì số nguyên tố) a b a b a b a b 5 b) x 5 5 5 5 5 4 15 5 nghiệm phương trình nên ta có : x 15 b 15 0 a 15 8a b 31a 4b 0 a 31 15 b 15 0 Vì a, b 8a b , 31a 4b 1 Do Suy 8a b 0 15 8a b 0 31a 4b 0 31a 4b 8a b (vô lý) a 1 b Câu M P A H K B E O D Q I N C a) I trung điểm BC (dây BC không di qua O) OI BC OIA 900 Ta có: AMO 90 (do AM hai tiếp tuyến O ) ANO 900 (do AN hai tiếp tuyến O ) Suy điểm O, M , N , I thuộc đường trịn đường kính OA b) AM , AN hai tiếp tuyến (O) cắt A nên OA tia phân giác MON mà OMN cân O nên OA MN ANB ACN sd NB ABN ∽ ANC (do CAN chung) AB AN AB AC AN Nên AN AC ANO vuông N đường cao NH nên ta có: AH AO AN AB AC AH AO AHK ∽ AIO AHK AIO 900 , C chung AH AK AB AC AI AK AH AO AI AK AB AC AK AI AO AI Ta có A, B, C cố định nên I cố định suy AK cố định mà A cố định, K giao điểm dây BC dây MN nên K thuộc tia AB nên K cố định c) Ta có : PMQ 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét MHE QDM có MEH DMQ (cùng phụ với DMP) ME MH EMH MQD (cùng phụ với MPO) MQ DQ PMH ∽ MQH MP MH MH MP ME MQ HQ DQ MQ MQ ME 2MP P trung điểm ME Câu An An Vì An 2n 1 2n 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 2n 2n 2n n 2n 2n 1 2n 1 0 2n 1 2n 2n 2n nên 2n (với n *) Do : 1 1 3 2n 1 A1 A2 A3 An 1 2n A1 A2 A3 An 2n 1 2n