039 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh thanh hóa

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM 2019-2020 TỈNH THANH HÓA Câu I  x x    x  1 P     : 10  x  x  x      Cho biểu thức 1) Rút gọn P 2) Tính giá trị P Câu II x 4 32  3 2   x 1 3 2 32 2 Trong hệ tọa độ, cho đường thẳng d : y x  parabol  P  : y  x Gọi A, B giao điểm  d   P  1) Tính độ dài AB 2) Tìm m để đường thẳng d ' : y  x  m cắt  P  hai điểm C , D cho CD  AB Câu III  x2  y  x 2    y  y 1  1) Giải hệ phương trình  x 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình x  y  x y 320 Câu IV Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  Gọi M trung điểm BC ; H trực tâm; AD, BE , CF đường cao tam giác ABC Ký hiệu  C1  ,  C2  đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF , DKE , K giao điểm EF , BC Chứng minh rằng: 1) ME tiếp tuyến chung  C1  ,  C2  2) KH  AM Câu V Với x; y; z 1 Tìm tất nghiệm phương trình: x y z     y  zx  z  xy  x  yz x  y  z ĐÁP ÁN Câu I 1)a) DK :1  x 10 P P P x  19  x   4 :  10  x x 1   x  x  3 10  x  x   x 1 2  10  x   x    32  3 2  x 1    x 1 x 14 x   x  10  b) x    3  x  13 10  x  x  x 1  x 14   3 x    x  5 3 2  32 32     3 2   32  3 2   2  x  1  P 0 Câu II 1) Phương trình hồnh độ giao điểm phương trình  x 1 x  x  0    x 2  A  1;  1 ; B   2;    A   2;   ; B  1;  1 Vậy  2) Để  d ' cắt  P  hai điểm phân biệt phương trình x  x  m 0  1 có  D 0 m hai nghiệm phân biệt Ta có khoảng cách : AB 18 để 2 CD  AB   x1  x2    y1  y2  18   x1  x2  9   x1  x2   x1 x2 9   4m  0  m  2(tm) Vậy C   1;  3 , D  2;0  D   1;  3 C  2;0  Câu III 1) ĐK: x 0; y 0 Đặt x ky  k 0   x2  k  k  y 2  y  x 2        1  y  y 1   1 y    k  x Nếu k  hệ phương trình (1) vơ nghiệm nên hệ phương trình cho vô nghiệm   1 k   x ; y  k  k  k     ;     1  4    3 k 1  k    x; y    2;1 Nếu k  2) Từ    x 1  y  ( ktm)   y    x 2     y 6   x    y   y 2   Vậy phương trình cho có cặp nghiệm  x; y    2;   ;  2;6  ;   2;   ;   2;2   Câu IV 2 x  y  x y 320   x3  y    x  320   x  320  x 2 A F C1 E H K C N D M B C2 1) Ta có E F 90  AEHF nội tiếp đường trịn tâm  C1  AH  EAH  sdEH  1 trung điểm mà EAH CBE   (cùng phụ với ACD) MEB CBE  3 (do đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)   MEH  sd EH  ME Từ (1), (2), (3) tiếp tuyến đường tròn  C1  2) Ta thấy AFE ACB, ANE AFE  ANE ACB  C , M , N , F thuộc đường trịn nên AENB nội tiếp, KNM 90  KH  AM Câu V Nếu x 0  y   z           z y  z    zy y  z  y  z   y  1  y   z   z2  1    z   y  z    yz   y  z  y  z Nếu x 0 ma` x  y z 1   z  1   x  0   zx x  z   x  z  zx  0  x  zx  z  0 (đúng với x, z 1) Dấu " " xảy x z 1 x x   Ta có:  zx x  z   y  zx x  y  z  y  zx x  y  z y y z z  ;  Tương tự :  z  xy x  y  z  x  yz x  y  z x y z xyz  VT     1 (1)  y  zx  z  xy  x  yz x  y  z Mặt khác, x  y z 1  x  y  z 3 3  1 xyz Dấu " " xảy x  y z 1  Từ (1) (2)  VT VP  VT VP 1 , x  y z 1 Vậy phương trình có nghiệm  x; y; z   1;1;1  VP 