KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG – NĂM 2019 – 2020 Bài a 1 a a a2 a a a a M a 1 a a a a a a Cho biểu thức a) Chứng minh M N M nhận giá trị nguyên b) Với giá trị a biểu thức Bài a) Cho hàm số bậc : y 0,5 x 3, y 6 x, y mx có đồ thị đường thẳng d1 , d , m Với giá trị tham số m đường thẳng m cắt hai đường thẳng d1 , d hai điểm A, B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương ? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M , N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I 1;2 Tìm hệ thức liên hệ hồnh độ M tung độ N ; từ suy giá trị nhỏ biểu thức Q 1 OM ON Bài 17 x y 2011 xy a) Giải hệ phương trình : x y 3xy x y z z x y 3 b) Tìm tất giá trị x, y, z cho Bài Cho đường tròn C với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động C cho M không trùng với điểm A, B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn C điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E , F thẳng hàng b) Chứng minh tích AM AN không đổi c) Chứng minh A trọng tâm BNF NF ngắn Bài Tìm ba chữ số tận tích 12 số nguyên dương ĐÁP ÁN Bài 1a ) Do a 0, a 1 nên : a a1 a a a a a a a 1 a1 a 1 a a a a a a 1 a 1 a a 1 a 1 a a a a a a a a a a a a M a 1 2 a Do a 0, a 1 nên : 1b) Ta có: 0N N 1 Mà a a 1 a M M N nhận giá trị nguyên a 1 a a 0 a 1 a a 2 hay Vậy N nguyên a 4 a a 2 a 2 a 3 3(tm) Bài a) Điều kiện để m đồ thị hàm số bậc m 0 Phương trình hồnh độ giao điểm d1 m : 0,5 x mx m 0,5 x 3 Điều kiện để phương trình có nghiệm âm m 0,5 m 0,5 Phương trình hồnh độ giao điểm d m : x mx m 1 x 6 Điều kiện để phương trình có nghiệm dương m hay m Vậy điều kiện cần tìm : m 0,5; m 0 * b) Đặt m xM , n y N m.n 0 m 1 Nên đường thẳng qua ba điểm M , I , N có dạng : y ax b 0 am b 2 a b n b hệ thức liên hệ m n 2m n mn 1 (**) Chia hai vế cho m.n 0 ta m n 2 4 1 2 5 m n mn n m n m n m 1 Q m n m n Kết hợp ** : m 5, n 2,5 tm (*) " " Dấu xảy Vậy giá trị nhỏ Q Bài 17 x y 2011 xy 1 x y xy 3a) Giải hệ phương trình 17 y x 2011 1 3 y x Nếu xy 1007 y 490 x 9 x 490 (tm) y 1007 17 y x 2011 xy 1 3 y x Nếu 1004 y xy 0(ktm) 1031 x 18 Nếu xy 0 1 x y 0(tm) Vậy 9 ; 490 1007 x; y 0;0 ; b) Tìm tất giá trị x, y, z cho y 3 Điều kiện : x 0, y z 0 y z x 0 x y z z x 2 2 x y z z x x y z z x x1 x 1 y z 1 z x 1 y z z x 0 x 1 y 3(tmdkxd ) z 2 Bài F M C O A E B (C ) N a) MN BF , BC NF A trực tâm tam giác BNF FA NB mà AE NB A, E , F thẳng hàng AN AC CAN MAB ACN ∽ AMB AB AM b) C Hay AM AN AB AC 2 R khơng đổi (với R bán kính đường tròn BA BC c) Ta có : nên A trọng tâm BNF C trung điểm NF 1 Mặt khác , CAN CFM CNA ∽ CBF CN AC CN CF BC AC 3R BC CF Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: NF CN CF 2 CN CF 2 R (không đổi) Nên NF ngắn CN CF C trung điểm NF Từ (1) (2) cho ta A trọng tâm BNF NF ngắn Bài Đặt S 1.2.3 11.12 S 3.4.5.6.7.9.11.12 1 100 số nguyên nên chữ số tân S 00 Mặt khác, suốt trình nhân liên tiếp thừa số vế phải (1), S để ý đến chữ số tận cùng, ta thấy 100 có chữ số tận (vì 3.4 12,2.6 12, 2.7 14, 4.8 32,2.9 18,8.11 88,8.12 96) Vậy ba chữ số tận S 600