017 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh quảng trị

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM HỌC 2019-2020 Câu  a a    3a  1  P   :      a  a a  a a    Rút gọn biểu thức Tính giá trị P biết a 1 4 32  3 2 3 2 32 Câu 5 Cho a, b số thực thỏa mãn a  b 5, ab 1 Tính giá trị a  b Câu 2 Cho số nguyên m, n Chứng minh mn  mn  1   m  n  mn chia hết cho 36 Câu Cho số thực x thỏa mãn x 1 Chứng minh x x Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a  b  c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  5a   5b   5c  Câu Cho hình vng ABCD có E nằm đường chéo AC cho AE 3EC , F trung điểm AD Chứng minh tam giác BEF vuông cân Cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A BC E , F hình chiếu vng góc H AB, AC BE AB5  CF AC a) Chứng minh : b) Gọi S1 , S2 diện tích tam giác ABC diện tích hình chữ nhật S2 AHEF Tìm đặc điểm tam giác ABC để S1 đạt giá trị lớn ĐÁP ÁN Câu  a a    3a  1  P   :       a  a   a  3a a  a   a   a  3a   a   :  a2 a  3a  a  3 a  a  3 3a  a  3a  3a     a a    a    a  2a  2a  2  a 1 4   2 1  32  3 2   21    a 1  P  3 2 32  3 2  32 9 2  1    1   2  3.1   2.1  Câu a  b5  a  b   a  a 3b  a 2b  ab3  b  5  a  a   b  b  5   a  b   2a 2b    a  b     2 5   a  b   a  b  1  1 5   a  b   2ab    a  b   2ab  1     5. 25    25   1  2525 Câu Ta có: 2 2 A mn  mn  1   m  n  mn mn   mn  1   m  n     mn  mn   m  n   mn   m  n  mn  m  n  1  n  1  m  n  1   n  1  mn  m  1  n  1  n  1  m  1 Ta có: m  1, m, m  1là số nguyên liên tiếp nên  m  1 m  m  1 6  1 n  1, n, n  số nguyên liên tiếp nên  n  1 n  n  1 6   Từ (1), (2) suy A36 Câu 1  x 0 x 1    x   x  0  1 x 0  2 Giả sử : x  x  x  x   x   x   (mâu thuẫn với (1)) Nên giả sử sai Vậy x x Ta có a, b, c 0 mà a  b  c 1  a, b, c 1 Ta chứng minh bất đẳng thức 5a  a  Với a   0;1 ta có: 5a  a   5a  a  4a   a  a 0  a  a  1 0 (đúng) Chứng minh tương tự, ta có: 5b  b  2, 5c  c   5a   5b   5c  a   b   c  7 Đẳng thức xảy a 1, b c 0 hoán vị   Min 5a   5b   5c  7 Vậy Câu Chứng minh tam giác BEF vuông cân A B P F D E M N C Vẽ FP  BC  P  BC  , BE  DC M , FE  BC N Đặt độ dài cạnh hình vng ABCD a Ta có: F trung điểm AD mà FP  BC  FP  AB a AF AE AF a a AD / / BC   3  NC   PC  NC EC mà a2 10 10 2  NP  a  FN  FP  PN  FN  a   a  EF  a  1 AB AE a a2 10 10 AB / / CD   3  MC   MB  a   a  BE  a MC EC  10   1 ,    BE EF   a   BEF   3  Từ cân E  a 5a 2 2  FB  AB  AF a        BE  EF 2. 10  5a    Ta có:   BEF vuông E (định lý Pytago đảo) (4) Từ (3), (4)  BEF vuông cân  2 B E A H F C a) Ta có:  CF AB 2  AC HC  CF  AC HC BE AB BH AB BC AB      AC BE CF AC HC AC AC 2  BH  BE  AB.BH  AB BC b) Ta có: AH AH S2 AE AF AH BH CH  BH CH AB AC 2 AH  2      S1 AB AC AB AC AB AC BC BC BC  BC BC Đẳng thức xảy BH CH  H trung điểm BC mà AH  BC nên ABC vuông cân S2 Vậy S1 đạt giá trị lớn ABC vuông cân   