De thi HSG toan 11 THPT Vinh Dinh Quang Tri

Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.. Gọi O là trung điểm của BC.[r]

SỞ GD-ĐT QUẢNG TRỊ TRƯỜNG THPT VĨNH ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013-2014 MÔN: TOÁN- LỚP 11 ( Thời gian:120 phút, không tính thời gian giao đề) Câu (3,0 điểm) Giải phương trình: x2  3x    x  3 x  (1) Câu (1,5 điểm ) a) Cho các số dương x, y Chứng minh rằng: x3 2x  y (2)  2 x  y  xy b) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3 y3 z3 A   x  y  xy y  z  yz z  x  zx Câu 3: (1,5 điểm) Từ tập hợp tất các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số khác 0, lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Câu 4: (1,5 điểm) Chứng minh dãy số (un), với un  n 1 là dãy số tăng và bị chặn n3 Câu 5: (2,5 điểm) Trong mặt phẳng ( ) cho tam giác ABC vuông A, góc B = 600 , AB  a Gọi O là trung điểm BC Lấy S ngoài mặt phẳng ( ) cho SB  a và SB  OA Gọi M là điểm trên cạnh AB, mặt phẳng (  ) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA N, P, Q Đặt x = BM (0 < x  a) a Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b Tính diện tích hình thang này theo x và a Tìm x để diện tích này lớn ……………………Hết………………… Họ và tên thí sinh:…………………………………… SBD…………… SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ TRƯỜNG THPT VĨNH ĐỊNH HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HSG 11 Năm học: 2013– 2014 Câu Đáp án Điểm Giải phương trình: x  3x    x  3 x  (1) 2 Đặt t  x  ,  t  1  t  x2  1 (3,0 điểm) 0,5 0,5-0,5 t  x t  Khi đó (1) trở thành t   x  3 t  3x    0,5 0,5 Với t=x, (1) vô nghiệm Với t=3, (1) có nghiệm x  2 Vậy phương trình (1) có nghiệm x  2 a) Cho các số dương x, y Chứng minh rằng: 0,5 x 2x  y (2)  x  y  xy 3 Do x2  y  xy luôn dương nên (1,5 điểm)    3x3   x  y   x  y  xy   x3  x y  xy  y    x  y  x  y  0,5 0,25 Đẳng thức xảy x=y b) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3 y3 z3 A   x  y  xy y  z  yz z  x  zx Áp dụng BĐT (2) ta có 2x  y y  x 2z  x   3 x yz  1 A Đẳng thức xảy x=y=z=1 Vậy GTNN A là x=y=z=1 Từ tập hợp tất các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số khác 0, lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác (1,5điểm) Ta có:   95  59.049 Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có: Số cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số thập phân khác là C39 Chọn chữ số còn lại từ chữ số đó, có trường hợp rời sau đây: TH1 Cả chữ số còn lại cùng chữ số a, b, c: có cách; hoán vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo số tự nhiên n; 3! hoán vị các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì tạo cùng số n, nên TH1 này có thảy 3 5!  60 số tự nhiên 3! TH2 chữ số còn lại chữ số a, b, c và chữ số 0,5 0,5 0,5 chữ số khác chữ số đó: có cách; hoán vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo số tự nhiên n; 2! hoán vị các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì tạo cùng số n, nên TH2 này có thảy  5!  90 số tự nhiên 2!2! 9!  150     12600 3!6!  12.600 1.400 Kết luận: P  A  A    0,21  59.049 6.561 0,5 Vậy: A  (60  90)C39  150  Chứng minh dãy số (un), với un  (1,5 điểm) (2,5 điểm) n 1 là dãy số tăng và bị chặn n3 n 1  1 n3 n3 2 un1  un    nên dẫy số tăng n3 n4 1 Mặt khác   nên  un  Vậy dãy số bị chặn n3 2 Ta có un  0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 S P Q C A O M N B