058 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh quảng bình

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN TỈNH QUẢNG BÌNH Năm học 2019 – 2020 P Câu Cho biểu thức x x  26 x  19 x x   x2 x  x1 x 3 a) Rút gọn P b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Câu Cho phương trình x  2mx  m  0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13  x23 26m b) Tìm m ngun để phương trình có hai nghiệm ngun Câu Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn  O  Đường thẳng d thay đổi qua A cắt cung nhỏ AB điểm thứ hai E  E  A  Đường thẳng d cắt hai tiếp tuyến B, C đường tròn (O) M , N MC cắt BN F Chứng minh rằng: a) CAN ∽ BMA, MBC ∽ BCN b) Tứ giác BMEF tứ giác nội tiếp c) Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định d thay đổi qua A Câu Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 6 Chứng minh rằng: b c 5 c a 4 a b 3   6 1 a 2b 3c Dấu đẳng thức xảy ? Câu 4 n Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n  hợp số ĐÁP ÁN Câu a) ĐK: x 1 Ta có: P   x x  26 x  19   x1 x 3  x x  x1 x 3  x x  26 x  19  x  x  x  x    x1 x x  x  16 x  16   x1 b) P  x 3   x 3     x  1 x   x  16  x 3   x  16 x 3 x  16 25 25  x  3  x 3 6 x 3 x 3 x 3 25  10  4 x 3 Vậy MinP 4  x 4 2   x 3 Câu a) x  2mx  m  0  15   ' m  m   m     2  Ta có: (với m)  x1  x2 2m  x x m  Theo định lý Viet ta có:  x13  x23 26m   x1  x2   x1 x2  x1  x2  26m  8m3  6m  m   26m  m  8m  6m   0 m 0; m 1; m  b) Gọi x1 , x2  x1  x2  hai nghiệm nguyên phương trình  x1  x2 2m  x x m  Ta có:   x1  x2  x1 x2 8   x1  x2   x1 x2  15   x1  1  x2  1  15 2 x    x1 0 Th1:    m 4 x   15 x    2 x    x1  Th2 :    m 0 x   x    2 x   15  x1  Th3:    m  2 x2  1  x2 1 2 x    x1  Th4 :    m 1 2 x2  5  x2 3 Thử lại m 0, m 1, m  3, m 4 thỏa mãn điều kiện toán Câu N A E M F O B I C a) Ta có: AC / / BM suy BMA CAN AB / /CN  BAM CNA Do CAN ∽ BMA MB AB MB BC    AC NC BC CN , mặt khác MBC BCN 120 Suy Nên MBC ∽ BCN 0 b) BFM BCM  NBC BCM  BMC 180  MBC 60 Mặt khác BEM BCA 60 (tính chất góc ngồi tứ giác nội tiếp)( Nên BFM BEM 60  BMEF tứ giác nội tiếp c) Gọi I giao điểm EF , BC Ta có: IBF BMF (câu a) nên IB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMEF Tương tự chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác CNEF 2 Từ đó: IB IE.IF ; IC IE.IF  IB IC hay I trung điểm BC Vậy d qua điểm cố định I Câu Đặt x a  1, y b  2, z c   x, y, z   VT  2 yz zx xy y x x z y z         x y z x y z x z y y x z x y z   6 x y x z z y Vậy MinVT 6  a 3, b 2, c 1 Câu  n 2k  n 2k  1, k   * n số tự nhiên lớn nên n có dạng  4 n 2k n Với n 2k , ta có: n   2k   lớn chia hết cho Do n  hợp số Với n 2k  1, ta có: 2 n  4n n  42 k.4 n   2.4 k   n  2.4k    2n.2k   n  2.4k  2.n.2k   n  2.4k  2.n.2k     n  2k   4k n2  k  4k  n Mỗi thừa số lớn Vậy n  hợp số