059 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh quảng nam

ĐỀ THI HỌC SIN GIỎI CẤP TỈNH TOÁN TỈNH QUẢNG NAM – NĂM HỌC 2019 – 2020 Bài 2 a) Cho a; b hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn 2a  a 3b  b a b Chứng minh 2a  2b  phân số tối giản 2 b) Tìm cặp số nguyên dương  x; y  thỏa mãn 15 x  y 9 Bài a) Cho  3 x  , x 0 2  2x   x a   4x P x Tính giá trị biểu thức theo a 1   2 b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn  a  b  c Tìm giá trị lớn Q abc Bài a) Giải phương trình :  x  1  x     x  1 x2 12 x     x 1  3 y     1 x  y x  y     b) Giải hệ phương trình : Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định EF dây cung di động AB EF  R nửa đường tròn cho E thuộc cung AF Gọi H giao điểm AF , BE , C giao điểm AE BF ; I giao điểm CH AB a) Tính số đo CIF b) Chứng minh biểu thức AE AC  BF BC có giá trị khơng đổi EF di động nửa đường trịn c) Xác định vị trí EF nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R Bài Tìm cạnh hình vng nhỏ nhất, biết rằng: hình vng chứa đường trịn có bán kính đường trịn đơi khơng có q điểm chung ĐÁP ÁN Bài 1)2a  a 3b  b2a  a  2b  b b  a  b   2a  2b  1 b Goij  a  b;2a  2b  1 d Ta có: a  bd ,2a  2b  1d   a  b   2a  2b  1 d  b d  bd Mà a  bd  ad ad , bd mà 2a  2b  1d  1d  d 1 Vậy phân số cho tối giản 2) Giả sử cặp số nguyên dương (x;y) nghiệm phương trình : 15 x  y 9(1)  15 x  7 y  y 3  y 3  y 3 2 2 Đặt y 3z thay vào (1) ta có: 15 x  63 z 9  x  21z 3 (2)  x3 2 2 Đặt x 3t     45t  21z 3  15 x  z 1  z 0(mod3)  VP 0(mod3),VT 1(mod3),( ktm) z 1(mod3)  z 1(mod3)   z 2(mod3) VP 2(mod3),VT 1(mod3)( ktm) z 2(mod3)  z 1(mod3)   z 2(mod3) VP 2(mod3),VT 1(mod3)( ktm) Vậy không tìm cặp số nguyên dương (x;y) nghiệm phương trình cho Bài a) P      2x    2x    x  2x   2x  x 4x x   2x  b) Ta có: 2x    2x  2x     2x   2x x a 1 b c 1  1    2 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c Tương tự : 2 1 b ca , 2 1  c 1  a  c bc 1  b 1  c ab 1  a  1  b Nhân bất đẳng thức vừa nhận , ta có: 1 abc 8 1 a 1 b 1 c 1  a  1  b  1  c  Hay abc  1 a b c  MaxQ  Dấu " " xảy Bài a) Giải phương trình :   x  1  x     x  1  x     x  1 x2 12  DK : x  2, x  1 x  x    x  1  12 0  t 2(tm) t  4t  12 0   t   x    x  1  t  6( ktm) Đặt ta có phương trình  x 2(tm)  x    x  1 2  x  x  0    x  3(tm)    2 x    3 x  y     2 y    1   x  y    b) Giải hệ phương trình :    2 x    3 x  y        2 y    1  x  y     1         x y  xy 2    1       x  y y  x  y x y   ( Nhan ve)  x  xy  y 0   x  y   x  y  0 x  y 4x y  x y     x 1  y 1   x x   x  y (ktm) Vậy nghiệm hệ x  y 1 Bài C F E H A I O B  HIF HBF  sd EF 30 a) Tứ giác BFHI nội tiếp nên (tam giác OEF đều) b) Ta có : AE AC  AC. AC  CE   AC  AC AE BF BC BC. BC  CF  BC  BC CF AE AC  BF BC  AC  BC  AC AE  BC.CF Do AC AE BC CF CO  R 2 AC  BC  AB AB 2 2 CO   AC  BC 2CO  4 AB  AE AC  BF BC 2CO   CO  R  CO  R 3R AE AC  BF BC 3R cố định c) Ta có : S ABEF S AOF  S FOE  S EOB S FOE R2  (Vì tam giác FOE tam giác cạnh R) 1 FM  EN S AOF  S EOB  OA.FM  OB.EN R R.PQ PQ 2 ( đường trung bình hình thang EFMN ) S ABEF Do R2 R   R.PQ PQ OP  mà S ABEF  R R 3R    Q O hay EF / / AB 4 Bài Gọi cạnh hình vng ABCD nhỏ chứa bên đường trịn có bán kính 1cm đơi khơng có q điểm chung x  cm  Từ suy tâm đường tròn nằm hình vng MNPQ có cạnh x  2(cm) (Vì tâm đường trịn cách cạnh hình vng 1cm) x (cm) Chia hình vng MNPQ thành hình vng nhỏ có độ dài cạnh (hình vẽ) B A O3 O1 O2 O4 c1 O5 C D Vì hai đường trịn có khơng q điểm chung nên O1O2 không nhỏ x (cm) lần bán kính khơng lớn độ dài đường chéo hình vng cạnh Hay O1O2   x  2 2   x  2 2 2 x  2  x 2  2 Vậy cạnh hình vng nhỏ chứa đường trịn có bán kính Đường trịn đơi khơng có điểm chung  2